【数学】四川省宜宾市第四中学校2019-2020学年高二下学期第四学月考试（理）

【数学】四川省宜宾市第四中学校2019-2020学年高二下学期第四学月考试（理）

四川省宜宾市第四中学校 2019-2020 学年 高二下学期第四学月考试（理） 第 I 卷 选择题（60 分） 一、选择题：本题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分。在每小题给的四个选项中，只有一项 是符合题目要求的。 1．已知复数 满足 ，则复数 的虚部为 A． B． C． D． 2．命题“ ”的否定形式是 A． ，使得 B． ，使得 C． ，使得 D． ，使得 3．如图是当 σ 取三个不同值 σ1,σ2,σ3 时的三种正态曲线,那么 σ1,σ2,σ3 的大小关系是 A．σ1>1>σ2>σ3>0 B．0<σ1<σ2<1<σ3 C．σ1>σ2>σ3>0 D．0<σ1<σ2=1<σ3 4．双曲线 上 点到左焦点的距离是 ，则 到右焦点的距离是 A．12 B．14 C．16 D．18 5．某单位在国家科研部门的支持下，进行技术攻关，采用新工艺把二氧化碳转化为一种可 利用的化工产品已知该单位每月的处理量最少为 400 吨，最多为 600 吨，月处理成本 y（元） 与月处理量 x（吨）之间的函数关系可近似地表示为 ，为使每吨的 平均处理成本最低，该单位每月处理量应为 A．200 吨 B．300 吨 C．400 吨 D．600 吨 z ( )2 1 2z i i+ = − z i− 1− i 1 [1, ),x∀ ∈ +∞ 2 1 0x x+ − ≥ ( ,1)x∃ ∈ −∞ 2 1 0x x+ − < [1 )x∃ ∈ + ∞ 2 1 0x x+ − < ( ,1)x∀ ∈ −∞ 2 1 0x x+ − ≥ [1 )x∀ ∈ + ∞ 2 1 0x x+ − < 2 2 116 9 x y− = P 6 P 21 200 800002y x x= − + 6．有甲、乙两个班级进行数学考试，按照大于等于 85 分为优秀，85 分以下为非优秀统计 成绩，得到如下所示的列联表： 优秀 非优秀 总计 甲班 10 b 乙班 c 30 总计 105 已知在全部 105 人中随机抽取 1 人，成绩优秀的概率为 ，则下列说法正确的是 参考公式： 附表： P(K2≥k) 0.050 0.010 0.001 k 3.841 6.635 10.828 A．列联表中 c 的值为 30，b 的值为 35 B．列联表中 c 的值为 15，b 的值为 50 C．根据列联表中的数据，若按 95%的可靠性要求，能认为“成绩与班级有关系” D．根据列联表中的数据，若按 95%的可靠性要求，不能认为“成绩与班级有关系” 7．“ ”是“函数 为奇函数”的 A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 8．圆 上的点到直线 的距离的最大值是 2 7 ( ) ( )( )( )( ) 2 2 n ad bcK a b c d a c b d −= + + + + 2a = 2( ) lg( 1 2 )f x x ax= + − 2 2 244 2 05x y x y+ + − + = 3 4 0x y+ = A． B． C． D． 9．在直角坐标平面内，由曲线 ， ，和 所围成的封闭图形的面积为 A． B． C． D． 10．某科研小组有 20 个不同的科研项目，每年至少完成一项。有下列两种完成所有科研项 目的计划： A 计划：第一年完成 5 项，从第一年开始，每年完成的项目不得少于次年，直到全部完成为 止； B 计划：第一年完成项数不限，从第一年开始，每年完成的项目不得少于次年，恰好 5 年完 成所有项目。 那么，按照 A 计划和 B 计划所安排的科研项目不同完成顺序的方案数量 A．按照 A 计划完成的方案数量多 B．按照 B 计划完成的方案数量多 C．按照两个计划完成的方案数量一样多 D．无法判断哪一种计划的方案数量多 11．设 ， 是抛物线 上两点，抛物线的准线与 轴交于点 ，已知弦 的中 点 的横坐标为 3，记直线 和 的斜率分别为 和 ，则 的最小值为 A． B．2 C． D．1 12．对于三次函数 ，给出定义：设 是函数 的导数， 是 的导数，若方程 有实数解 ，则称点 为 函数 的“拐点”．某同学经过探究发现：任何一个三次函数都有“拐点”；任何一个 3 5 1 5 2 5 5 + 2 5 5 − 1xy = y x= 3x = 1 ln32 + 4 ln3− 1 ln3+ 2 ln3− A B 2 4y x= x N AB M AB MN 1k 2k 2 2 1 2k k+ 2 2 2 ( ) ( )3 2 0f x ax bx cx d a= + + + ≠ ( )'f x ( )y f x= ( )''f x ( )'f x ( )'' 0f x = 0x ( )( )0 0,x f x ( )y f x= 三次函数都有对称中心，且“拐点”就是对称中心．设函数 ，则 A．2014 B．2013 C． D．1007 第 II 卷 非选择题（90 分） 二、填空题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分。 13．若函数 在 处取得极值，则实数 ______． 14．有甲、乙两台机床生产某种零件，甲获得正品乙不是正品的概率为 ，乙获得正品甲 不是正品的概率为 ，且每台获得正品的概率均大于 ，则甲乙同时生产这种零件，至少 一台获得正品的概率是____. 15．光线通过一块玻璃，其强度要失掉原来的 ，要使通过玻璃的光线强度为原来的 以 下，至少需要重叠这样的玻璃板的块数为__________．（ ， ） 16．已知点 ，抛物线 ： （ ）的准线为 ，点 在 上，作 于 ，且 ， ，则 __________． 三．解答题：共 70 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 17．（12 分）已知函数 （ ）， . （1）求曲线 在点 处的切线方程； （2）若函数 ， ，求 的单调区间和最小值. ( ) 3 21 1 533 2 12g x x x x= − + − 1 2 2014 2015 2015 2015g g g     + + + =           2015 2 ( ) 3 2f x x ax x b= + + + 1x = a = 1 4 1 6 1 2 1 10 1 2 lg 2 0.3010= lg3 0.4771= ( )4,0A C 2 2y px= 0 4p< < l P C PH l⊥ H PH PA= 120APH∠ = ° p = ( ) 3 21 3f x x ax bx= − + ,a b R∈ ( ) ( )0 2 1f f′ ′= = ( )y f x= ( )( )3, 3f ( ) ( ) 4g x f x x= − [ ]3,2x∈ − ( )g x 18．(12分)某企业有 ， 两个分厂生产某种产品，规定该产品的某项质量指标值不低于130 的为优质品.分别从 ， 两厂中各随机抽取 100 件产品统计其质量指标值，得到如下频率 分布直方图： （1）填写 列联表，并根据列联表判断有多大的把握认为这两个分厂的产品质量有差异？ 优质品 非优质品 合计 合计 （2）（i）从 分厂所抽取的 100 件产品中，利用分层抽样的方法抽取 10 件产品，再从这 10 件产品中随机抽取 2 件，已知抽到一件产品是优质品的条件下，求抽取的两件产品都是优质 品的概率； （ii）将频率视为概率，从 分厂中随机抽取 10 件该产品，记抽到优质品的件数为 ，求 的数学期望. 附： ， . A B A B 2 2× A B B B x x 2 2 ( ) ( )( )( )( ) n ad bcK a b c d a c b d −= + + + + n a b c d= + + + 0.100 0.050 0.025 0.010 0.001 2.706 3.841 5.024 6.635 10.828 19．（12 分）如图，在直三棱柱 中， ， 为棱 的中点， . （1）证明： 平面 ； （2）设二面角 的正切值为 ， ， ，求 异面直线 与 所成角的余弦值. 20．（12 分）已知直线 ，椭圆 分别为椭圆 的左、右焦点. (1)当直线 过右焦点 时，求椭圆 的标准方程； ( )2P K k> k 1 1 1ABC A B C− 2AC BC= = D 1CC 1 1AB A B O∩ = 1 / /C O ABD D AB C− − 2 2 AC BC⊥ 1 2A E EB=  1C O CE 2: 2 2 0( 1)l x ay a a− − = > 2 2 1 22: 1, ,xC y F Fa + = l 2F C (2)设直线 与椭圆 交于 两点， 为坐标原点，且 ，若点 在以线段 为直径的圆内，求实数 的取值范围. 21．（12 分）已知函数 （1）求函数 的单调区间； （2）当 时，对任意的 ，都有 ， 求实数 的取值范围. （二）选考题：共 10 分。请考生在第 22、23 题中任选一题作答。如果多做，则按所做的第 一题计分。 22．[选修 4-4：坐标系与参数方程]（10 分） l C ,A B O 2 , 2 .AG GO BH HO= =    O GH a ( ) ln 1( )f x a x x a= − + ∈R ( )f x 0a < ( )1 2 1 2, (0,1],x x x x∈ < ( ) ( )1 2 1 2 1 14f x f x x x  − < −   a 在直角坐标系 xOy 中，曲线 C 的参数方程为 （m 为参数），以坐标原点 O 为 极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线 的极坐标方程为 （1）求曲线 C 和直线 的直角坐标系方程； （2）已知 直线 与曲线 C 相交于 A，B 两点，求 的值. 23．[选修 4-5：不等式选讲]（10 分） 已知函数 ． （1）求证： ； （2）求不等式 的解集． 1 1 x m m y m m  = +  = − l 3 sin cos 3 0.ρ θ ρ θ− − = l ( )0,1P l 1 1 PA PB + ( ) | 2 | | 1|f x x x= + + − ( ) 3f x ≥ 2( )f x x≥ 参考答案 1．B 2．B 3．D 4．B 5．C 6．C 7．A 8．C 9．A 10．C 11．D 12．A 13． 14． 15．6 16． 17．（1）因为 ，由 即 ，得 ， 则 的解析式为 ，即有 ， 所以所求切线方程为 . （2）∵ ，∴ ，由 ，得 或 ， 由 ，得 ，∵ ， ∴ 的单调增区间为 ，减区间为 ，∵ ， ∴ 的最小值为 . 18．（1） 分厂的质量指标值的众数的估计值为 ， 设 分厂的质量指标值的中位数的估计值为 ，则 ，解得 ． （2） 列联表： 优质品 非优质品 合计 2− 11 12 8 5 ( ) 2 2f x x ax b= − +′ ( ) ( )0 2 1f f′ ′= = 1{4 4 1 b a b = − + = 1{ 1 a b = = ( )f x ( ) 3 21 3f x x x x= − + ( )3 3f = ( )3 4f ′ = 4 9 0x y− − = ( ) 3 21 33g x x x x= − − ( ) 2 2 3g x x x= − −′ ( ) 2 2 3 0g x x x= − − >′ 1x < − 3x > ( ) 2 2 3 0g x x x= − − <′ 1 3x− < < [ ]3,2x∈ − ( )g x [ ]3, 1− − ( ]1,2− ( ) ( ) 223 9 2 3g g− = − < = − ( )g x 9− A ( )1 110 120 1152 + = A x ( )0.18 0.23 110 0.030 0.5x+ + − × = 113x = 2 2× 5 95 100 20 80 100 合计 25 175 200 由列联表可知 的观测值为： ， 所以有 的把握认为两个分厂的产品质量有差异． （3）（i）依题意， 厂的 100 个样本产品利用分层抽样的方法抽出 10 件产品中，优质品 有 2 件，非优质品有 8 件， 设“从这 10 件产品中随机抽取 2 件，已知抽到一件产品是优质品”为事件 ，“从这 10 件产 品中随机抽取2件，抽取的两件产品都是优质品”为事件 ，则 ， 所以已知抽到一件产品是优质品的条件下，抽取的两件产品都是优质品的概率是 ． （ii）用频率估计概率，从 分厂所有产品中任取一件产品是优质品的概率为 0.20，所以随 机变量 服从二项分布，即 ，则 ． 19．：（1）证明：取 的中点 ，连接 ， ， ∵侧面 为平行四边形，∴ 为 的中点， ∴ ，又 ，∴ ， ∴四边形 为平行四边形，则 . ∵ 平面 ， 平面 ，∴ 平面 . A B 2K ( ) ( )( )( )( ) 2 2 n ad bcK a b c d a c b d −= + + + + ( )2200 5 80 95 20 72 10.286 6.635100 100 25 175 7 × × − ×= = ≈ >× × × 99% B M N 2 2 2 1 1 2 2 8 1( | ) 17 CP N M C C C = =+ 1 17 B X ( )~ 10,0.20X B ( ) 10 0.20 2E X = × = AB F OF DF 1 1ABB A O 1AB 1 1/ / 2OF BB 1 1 1/ / 2C D BB 1/ /OF C D 1OFDC 1 / /C O DF 1C O ⊄ ABD DF ⊂ ABD 1 / /C O ABD （2）解：过 作 于 ，连接 ， 则 即为二面角 的平面角. ∵ ， ，∴ . 以 为原点，建立空间直角坐标系 ，如图所示，则 ， ， ， ， 则 ， ， . ∵ ，∴ ， ∴异面直线 与 所成角的余弦值为 . 20．解：(1)由已知可得直线 与 轴的交点坐标 ，所以 ①， 又 ②，由①②解得 ， ，所以椭圆 C 的方程为 ． (2)设 ， ， 由 得 ， 由 ，又 ，解得 ①， 由根与系数关系，得 ， C CH AB⊥ H DH DHC∠ D AB C− − 2CH = 2tan 2 CDDHC CH ∠ = = 1CD = C C xyz− ( )1 0,0,2C ( )0,2,0B ( )0,0,1D ( )1 2,0,2A ( )1,1,1O 1 1 2 2 2, ,3 3 3 3BE BA  = = −     2 4 2, ,3 3 3CE BE BC  = − =       ( )1 1,1, 1C O = − 1 1 1 4 23cos , 32 63 3 C O CEC O CE C O CE ⋅= = = ⋅ ×      1C O CE 2 3 l x 2 ( ,0)2 a 2 2 a c= 2 21a c− = 2 2a = 2 1c = 2 2 12 x y+ = ( )1 1,A x y ( )2 2,B x y 2 2 2 2 2 2 0, 1, x ay a x ya  − − = + = 2 2 3 4 28 4 4 0a y a y a a+ + − = ( ) ( )23 2 4 2 6 44 4 8 4 16 +128 0a a a a a a∆ = − × −× = > 1a > 1 2 2a< < 3 1 2 2 4 8 2 a ay y a + = − = − 4 2 2 1 2 2 4 4 8 8 a a ay y a − −= = 由 ， 可得 ， ， ， 设 是 的中点，则 ， 由已知可得 ，即 ， 整理得 ， 又 ， 所以 ， 所以 ， 即 ，即 ，所以 ②， 综上所述，由①②得 a 的取值范围为 ． 21．（1）定义域为 ， ， 当 时， ，所以 在 上单调递减； 当 时，由 解得 ，由 解得 ， 即 在 上单调递增，在 上单调递减. 综上所述，当 时， 的单调减区间为 ，无增区间； 2AG GO=  2BH HO=  1 1,3 3 x yG     2 2,3 3 x yH      ( ) ( )2 2 1 2 1 22| | 9 9 x x y yGH − −= + M GH 1 2 1 2,6 6 x x y yM + +     1 2MO GH< ( ) ( )2 22 2 1 2 1 21 2 1 2 1 6 6 4 9 9 x x y yx x y y + ++ +   + < +             1 2 1 2 0x x y y+ < ( )2 3 42 2 1 2 1 21 2 1 2 4 22 2 2 2 4 a y y a y y aay a ay ax x + + ++ += ⋅ = ( )2 3 4 1 2 1 2 1 2 4 2 04 a y y a y y a y y + + + + < ( ) ( )2 3 4 1 2 1 24 4 2 0a y y a y y a+ + + + < ( ) 2 2 3 444 4 2 08 2 a aa a a −  + × + × − + <   2 4 0a − < 2 2a− < < 1 2a< < (0, )+∞ ( ) 1a a xf x x x ′ −= − = 0a ( ) 0f x′ < ( )f x (0, )+∞ 0a > ( ) 0f x′ < x a> ( ) 0f x′ > 0 x a< < ( )f x (0, )a ( , )a +∞ 0a ( )f x (0, )+∞ 当 时， 的单调增区间为 ，减区间为 （2） ，即 ， 令 ，则可知函数 在 上单调递增， 所以 在 上恒成立， 即 在 上恒成立，只需 ，而函数 在 单调递增， 所以 ，综上所述，实数 的取值范围为 . 22．（1）由题知 ， ，消去 有 ， 即曲线 ，因为 ， 即直线 ； （2）易知点 在直线 上，且直线 的倾斜角为 ， 则直线 的参数方程为 （t 为参数）， 因为直线 与曲线 C 相交于 A，B 两点， 0a > ( )f x (0, )a ( , )a +∞ ( ) ( )1 2 1 2 1 14f x f x x x  − < −   ( ) ( )1 2 1 2 4 4f x f xx x − < − 4( ) ( )g x f x x = − ( )g x (0,1] 2 2 4 4( ) ( ) 1 0ag x f x x x x ′ ′= + = − +  (0,1] 4a x x − (0,1] max 4a x x  −   4y x x = − (0,1] max 4 1 4 3a x x  − = − = −   a [ 3,0)− 2x y m+ = 2x y m − = m 2 2 2 2 4 14 4 x yx y− = ⇒ − = 2 2 14 4 x yC : − = 3 sin cos 3 0 cos 3 3 0 sin x y x y ρ θ ρ θ ρ θ ρ θ  − − =  = ⇒ − − =  = 3: 3 0y xl − − = ( )0,1P l l 6 π l 3 2 11 2 x t y t  =  = + l 所以有 ，解得 ， ， 根据参数的几何意义有 ， , 有 ， ， . 23．（1）证明： ． （2） 所以 或 或 解得 ，故解集为 ． 2 2 23 1 11 4 5 02 2 2t t t t    − + = ⇒ − − =        1 1 11t = − 2 1+ 11t = 1 = 11 1PA t= − 2 1 11PB t= = + 1 2 2 11t t+ = 1 2 10t t⋅ = 1 2 1 2 1 2 1 1 1 1 2 11 11 10 5PA PB t t t t tt + =⋅+ = + = = ( ) ( ) ( )2 1 2 1 3f x x x x x= + + − ≥ + − − = ( ) 2 1, 2, 3, 2 1, 2 1, 1, x x f x x x x − − ≤ − = − < <  + ≥ 2 2, 2 1 , x x x ≤ − − − ≥ 2 2 1, 3 , x x − < <  ≥ 2 1, 2 1 , x x x ≥  + ≥ 3 1 2x− ≤ ≤ + { }| 3 1 2x x− ≤ ≤ +