数学文卷·2018届北京市西城区外国语学校高二上学期期中考试数学（文）试题（解析版）x

数学文卷·2018届北京市西城区外国语学校高二上学期期中考试数学（文）试题（解析版）x

北京市西城外国语学校 ‎2016-2017学年第一学期阶段测试试卷 高二年级 数学模块2‎ A卷（本卷共100分）‎ 一、选择题（本题共10小题，每题只有一个正确答案，每题4分，共40分）‎ ‎1. 直线的倾斜角为（ ）．‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】直线，‎ ‎，‎ 倾斜角．‎ 故选．‎ ‎2. 过点且与直线平行的直线方程是（ ）．‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】设直线，‎ 代入点解出，‎ 故直线方程为．‎ 故选．‎ ‎3. 直线与圆的位置关系为（ ）．‎ A. 相切 B. 相交但直线不过圆心C．直线过圆心 D．相离 ‎【答案】B ‎【解析】圆心到直线的距离，‎ ‎，‎ 说明两者相交，且直线不经过．‎ 故选．‎ ‎4. 已知，是两条不同直线，，，是三个不同平面，下列命题中正确的是（ ）．‎ A. 若，，则 B. 若，，则 C. 若，，则 D. 若，，则 ‎【答案】D ‎【解析】试题分析：由题意得，A中，若，则与平行、相交或异面，所以不正确；B中，若，则与可能是相交平面，所以不正确；C中，若，则与可以是相交平面，所以不正确；D中，根据垂直与同一平面的两直线是平行的，所以“若，则”是正确的，故选D.‎ 考点：线面位置的判定与证明.‎ ‎5. 若一个正三棱柱的三视图如图所示，则这个正三棱柱的高和底面边长分别为（ ）．‎ A. ， B. ， C. ， D. ，‎ ‎【答案】D ‎【解析】由左视图知，棱柱高为，‎ 底面三角形高为，‎ 正三角形边长为．‎ 故选．‎ ‎6. 直线与直线平行，那么的值是（ ）．‎ A. B. C. 或 D. 或 ‎【答案】A ‎【解析】两直线平行，则，‎ 解出或，‎ 当时，直线分别为，‎ ‎，‎ 当时，直线分别为，‎ ‎．重合（舍去）‎ ‎7. 设直线过点，其斜率为，且与圆相切，则的值为（ ）．‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】直线为，‎ 圆心到直线距离，‎ 解出．‎ 故选．‎ ‎8. 己知正方体棱长为，则它的内切球的表面积为（ ）．‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】设球的半径为，‎ 球是正方体的内切球，，‎ 表面积．‎ 故选．‎ 点睛:空间几何体与球接、切问题的求解方法 ‎(1)求解球与棱柱、棱锥的接、切问题时，一般过球心及接、切点作截面，把空间问题转化为平面图形与圆的接、切问题，再利用平面几何知识寻找几何中元素间的关系求解．‎ ‎(2)若球面上四点构成的三条线段两两互相垂直，且，一般把有关元素“补形”成为一个球内接长方体，利用求解．‎ ‎9. 如图，将无盖正方体纸盒展开，线段，‎ 所在直线在原正方体中的位置关系是（ ）．‎ A. 平行 B. 相交且垂直 C. 异面 D. 相交成 ‎【答案】D ‎【解析】在原正方体中，，相聚为一点，‎ 连接，则，‎ 为等边三角形，‎ ‎、相交成．‎ 故选．‎ ‎10. 一个空间几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（ ）．‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】由三视图可知，几何体为棱锥，‎ 底面积，‎ 高，‎ 体积．‎ 故选．‎ 二、填空题（本题共6小题，每题4分，共24分）‎ ‎11. 在空间直角坐标系中，点到原点的距离为__________．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】距离 ‎12. 直线与圆相交于、两点，则__________．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】圆心到直线的距离，‎ ‎，‎ 圆半径，‎ ‎．‎ 点睛：处理直线与圆的弦长问题时多用几何法，即弦长的一半、弦心距、半径构成直角三角形．代数方法：运用根与系数的关系及弦长公式：‎ ‎13. 圆与圆的位置关系是__________．‎ ‎【答案】外切 ‎【解析】圆心分别为、，‎ 半径分别为，，‎ 圆心距，‎ 等于两圆半径之和，外切．‎ ‎14. 为圆上的动点，则点到直线的距离的最小值为__________．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】圆心到直线距离 ‎，‎ 圆上动点到直线距离最小值为 ‎．‎ 点睛：与圆有关的最值问题的常见类型及解题策略 ‎(1)与圆有关的长度或距离的最值问题的解法．一般根据长度或距离的几何意义，利用圆的几何性质数形结合求解．‎ ‎(2)与圆上点有关代数式的最值的常见类型及解法．①形如型的最值问题，可转化为过点和点的直线的斜率的最值问题；②形如型的最值问题，可转化为动直线的截距的最值问题；③形如型的最值问题，可转化为动点到定点的距离平方的最值问题．‎ ‎15. 底面边长是，高为的正四棱锥的侧棱长为__________，侧面积为__________．‎ ‎【答案】 (1). (2). ‎ ‎【解析】侧棱长，‎ 侧面三角形的高，‎ 侧面积．‎ ‎16. 下列条件中，能判定互异的平面与平面平行的条件可以是__________．（写出所有正确条件的序号）‎ ‎①内有无穷多条直线都与平行； ②内的任何一条直线都与平行；‎ ‎③直线，直线，且；④直线，直线，．‎ ‎【答案】②④‎ ‎ ‎ ‎②成立．‎ ‎③一条直线平行于平面，无法判断．‎ ‎④成立．‎ 三、解答题（本题共3小题，每题12分，本题共36分）‎ ‎17. 已知平面上有三个定点，，．‎ ‎（I）已知、分别为、中点，求所在直线方程．‎ ‎（II）求的边的高所在直线方程．‎ ‎【答案】(1) (2) ‎ ‎【解析】试题分析：（1）先根据中点坐标公式求、坐标，再根据两点式求所在直线方程．（2）先求斜率，再根据负倒数得的高斜率，最后根据点斜式写高所在直线方程．‎ 试题解析：（I），，，‎ ‎，‎ ‎，‎ ‎∴，‎ ‎，‎ 整理得．‎ ‎（II）∵，‎ ‎∴边上高斜率为，‎ ‎∵高经过，‎ ‎∴，‎ 整理得：．‎ ‎18. 如图，四棱柱中，底面是正方形，侧棱底面，为的中点．‎ ‎（）求证：平面．‎ ‎（）求证：．‎ ‎【答案】(1)见解析(2) 见解析 ‎【解析】试题分析：（1）连接交于点，根据中位线性质得，再根据线面平行判定定理得结论（2）先根据正方形性质得，再根据侧棱底面得，最后根据线面垂直判定定理得平面，即得结论 试题解析：（）‎ 证明：连接交于点，‎ ‎∵在中，‎ ‎、分别是，中点，‎ ‎∴，‎ ‎∴平面，‎ 平面，‎ ‎∴平面．‎ ‎（）∵在正方形中，‎ ‎，‎ 在四棱柱中，‎ 平面，‎ 平面，‎ ‎∴，‎ ‎∵点，‎ ‎，平面，‎ ‎∴平面，‎ ‎∵平面，‎ ‎∴．‎ 点睛:垂直、平行关系证明中应用转化与化归思想的常见类型.‎ ‎(1)证明线面、面面平行，需转化为证明线线平行.‎ ‎(2)证明线面垂直，需转化为证明线线垂直.‎ ‎(3)证明线线垂直，需转化为证明线面垂直.‎ ‎19. 如图，四棱锥中，四边形为矩形，为等腰三角形，，平面平面，且，，、分别为和的中点．‎ ‎（）证明：平面．‎ ‎（）证明：平面平面．‎ ‎（）当上的动点满足什么条件时，使三棱锥的体积与四棱锥体积的比值为，并证明你的结论．‎ ‎【答案】(1) 见解析(2) 见解析(3) 在中点 ‎【解析】试题分析：（1）根据三角形中位线性质得，再由线面平行判定定理得结论（2）由矩形性质得，再根据面面垂直性质定理得平面，最后根据面面垂直判定定理得结论（3）‎ 两锥体体积高之比为1：2，所以对应底面面积之比为1：8，在正方形中易得点中点 试题解析：（）证明：连接，‎ 在矩形中 为中点，‎ 同为中点，‎ ‎∵为中点，‎ ‎∴，‎ ‎∵平面，‎ 平面，‎ ‎∴平面．‎ ‎（）在矩形中，‎ ‎，‎ ‎∵平面平面，‎ 平面平面，‎ 平面，‎ ‎∴平面，‎ ‎∵平面，‎ ‎∴平面平面．‎ ‎（）当动点在中点时，‎ ‎，‎ ‎， ‎ ‎，‎ 即．‎ 点睛：(1)探索性问题通常用“肯定顺推法”，将不确定性问题明朗化.其步骤为假设满足条件的元素(点、直线、曲线或参数)存在，用待定系数法设出，列出关于待定系数的方程组，若方程组有实数解，则元素(点、直线、曲线或参数)存在；否则，元素(点、直线、曲线或参数)不存在.(2)反证法与验证法也是求解探索性问题常用的方法.‎ B卷 一、填空题（本题共5小题，每题4分，共20分）‎ ‎20. 正四棱锥底面外接圆半径为，斜高为，则棱锥侧面积为__________．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】∵正四棱锥底面为正方形，‎ 正方形边长为，‎ 侧面积．‎ ‎21. 已知、满足方程，则的最大值为__________．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】在圆中，‎ 过原点作直线与圆相切，‎ 圆心到直线的距离，‎ ‎，‎ 解得或，‎ 即最大值为．‎ 点睛：与圆有关的最值问题的常见类型及解题策略 ‎(1)与圆有关的长度或距离的最值问题的解法．一般根据长度或距离的几何意义，利用圆的几何性质数形结合求解．‎ ‎(2)与圆上点有关代数式的最值的常见类型及解法．①形如型的最值问题，可转化为过点和点的直线的斜率的最值问题；②形如型的最值问题，可转化为动直线的截距的最值问题；③形如型的最值问题，可转化为动点到定点的距离平方的最值问题．‎ ‎22. 一个圆柱的侧面展开图是一个正方形，这个圆柱的全面积与侧面积的比是__________．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】设底面圆的半径为，‎ 圆柱高为，‎ 则，‎ 侧面积，‎ 全面积，‎ ‎∴．‎ ‎23. ．如图：点在正方体的面对角线上运动，下列四个命题：‎ ‎①三棱锥的体积不变；②平面；‎ ‎③；④平面平面．‎ 其中正确命题的序号是__________．‎ ‎【答案】①②④‎ ‎【解析】①正确，∵面积不变，‎ 且点到平面的距离不变，‎ ‎∴三棱锥体积不变．‎ ‎②正确，∵在正方体中，‎ ‎，‎ 平面，‎ 平面，‎ ‎∴平面，‎ ‎∵，‎ 平面，‎ 平面，‎ ‎∴平面，‎ ‎∵点，‎ ‎、平面，‎ ‎∴平面平面，‎ ‎∵平面，‎ ‎∴平面．‎ ‎③错误，在上移动，‎ 当在处时，有．‎ ‎④正确，连接交于点，‎ ‎∵在正方形中，‎ ‎，‎ 在正方体中，‎ 面，‎ ‎∴，‎ ‎∵点，‎ ‎、平面，‎ ‎∴平面，‎ ‎∴，‎ 同理可证，‎ ‎∵点，‎ ‎、平面，‎ ‎∴平面，‎ ‎∵平面，‎ ‎∴平面平面．‎ 综上①②④正确．‎ ‎24. ．已知平面上的线段及点，任取上一点，线段长度的最小值称为点到线段的距离，记作．则点到线段的距__________．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】过点作直线①，‎ ‎∵，‎ ‎∴，‎ ‎∴，‎ 整理得②，‎ 联立两直线方程①②，‎ 解得，，交点，‎ ‎∵，即点不在线段上，‎ ‎∴当时，．‎ 二、解答题（本题共3小题，每题10分，共30分）‎ ‎25. ．已知圆的方程为．‎ ‎（I）求过点的圆的切线方程．‎ ‎（II）求平行于直线且被圆截得的弦长为的直线方程．‎ ‎【答案】(1) 或．(2) 直线方程为或．‎ ‎【解析】试题分析：（1）设切线点斜式方程，根据圆心到切线距离等于半径可得斜率，最后验证斜率不存在时是否满足题意（2）根据平行关系可设直线方程，再根据垂径定理列等量关系，求参数 试题解析：（I）设切线方程，‎ 整理得，‎ 圆心，半径，‎ ‎∴圆心到切线距离，‎ 解出，‎ 即切线方程为，‎ 当切线斜率不存在时，切线平行于轴，‎ 切线方程为，符合要求，‎ 综上，切线方程为或．‎ ‎（II）设直线方程，‎ 圆心到直线的距离，‎ ‎，‎ 代入解出，‎ ‎∴直线方程为 或．‎ 点睛：1．圆的切线问题的处理要抓住圆心到直线的距离等于半径，从而建立关系解决问题．‎ ‎2．过圆上一点作圆的切线有且只有一条；过圆外一点作圆的切线有且只有两条，若仅求得一条，除了考虑运算过程是否正确外，还要考虑斜率不存在的情况，以防漏解．‎ ‎26. 关于，的方程为．‎ ‎（）若上述关于，的方程表示圆，求的取值范围．‎ ‎（）若圆与直线的两个交点为，，且满足其中（为坐标原点），求此时的值．‎ ‎【答案】(1) (2) ‎ ‎【解析】试题分析：（1）根据一般式条件得，解得的取值范围．（2）由条件可得圆心到直线距离，再根据点到直线距离公式求的值．‎ 试题解析：（）‎ 化成标准方程为 ‎，‎ ‎∴，‎ 解出．‎ ‎（）∵，‎ 在中，，‎ ‎∴，‎ 解出．‎ ‎27. ．某几何体如图所示，平面，，是边长为的正三角形，，，点、分别是、的中点．‎ ‎（I）求证：平面．‎ ‎（II）求证：平面平面．‎ ‎（III）求该几何体的体积．‎ ‎【答案】(1)见解析(2) 见解析(3) ‎ ‎【解析】试题分析：（1）根据三角形中位线性质得，再根据线面平行判定定理得结论（2）由正三角形性质得，由平面，得，再由线面垂直判定定理得平面，最后根据面面垂直判定定理得结论（3）几何体为四棱锥，C到直线AB距离为高，根据锥体体积公式可得结论 试题解析：（I）证明：‎ 连接，‎ 在中，‎ ‎、分别是、中点，‎ ‎∴，‎ ‎∵平面，‎ 平面，‎ ‎∴平面．‎ ‎（II）∵在等边中，‎ 是边中点，‎ ‎∴，‎ 又∵平面，‎ ‎∴，‎ ‎∵点，‎ 且、平面，‎ ‎∴平面平面．‎ ‎（III）将直角梯形看成底面，‎ 过点作于点，‎ 看成几何体的高，‎ ‎∴‎ ‎，‎ ‎，‎ ‎．‎