高考数学（理）试题精解精析专题7 平面向量

高考数学（理）试题精解精析专题7 平面向量

‎1.【2012高考真题重庆理6】设R，向量且，则 ‎（A） （B） （C） （D）10‎ ‎2.【2012高考真题浙江理5】设a，b是两个非零向量。‎ A.若|a+b|=|a|-|b|，则a⊥b B.若a⊥b，则|a+b|=|a|-|b|‎ C.若|a+b|=|a|-|b|，则存在实数λ，使得b=λa D.若存在实数λ，使得b=λa，则|a+b|=|a|-|b|‎ ‎3.【2012高考真题四川理7】设、都是非零向量，下列四个条件中，使成立的充分条件是（ ）‎ A、 B、 C、 D、且 ‎ 【答案】C ‎【解析】A.可以推得为既不充分也不必要条件；B.可以推得 或为必要不充分条件；C．为充分不必要条件；D同B.‎ ‎4.【2012高考真题辽宁理3】已知两个非零向量a，b满足|a+b|=|ab|‎ ‎，则下面结论正确的是 ‎(A) a∥b (B) a⊥b ‎ ‎(C){0,1,3} (D)a+b=ab ‎5.【2012高考真题江西理7】在直角三角形中，点是斜边的中点，点为线段的中点，则=‎ A．2 B．4 C．5 D．10‎ ‎6.【2012高考真题湖南理7】在△ABC中，AB=2，AC=3，= 1则.[来源:Zxxk.Com]‎ A. B. C. D.‎ ‎【答案】A ‎【解析】由下图知.‎ ‎.又由余弦定理知，解得.‎ ‎[来源:学科网]‎ ‎7.【2012高考真题广东理3】若向量=（2,3），=（4,7），则=‎ A．（-2,-4） B． (3,4) C． (6,10) D． (-6,-10)‎ ‎【答案】A ‎ 【解析】．故选A．‎ ‎8.【2012高考真题广东理8】对任意两个非零的平面向量α和β，定义．若平面向量a，b满足|a|≥|b|＞0，a与b的夹角，且和都在集合中，则=‎ A． B.1 C. D. ‎ ‎9.【2012高考真题安徽理8】在平面直角坐标系中，，将向量按逆时针旋转后，得向量，则点的坐标是（ ）‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎10.【2012高考真题天津理7】已知为等边三角形，AB=2，设点P，Q满足，，，若，则=‎ ‎（A） （B）‎ ‎ （C） （D）‎ ‎【答案】A ‎【解析】如图，设 ，则，又，，由得，即，整理，即，解得 选A.‎ ‎11.【2012高考真题全国卷理6】△ABC中，AB边的高为CD，若a·b=0，|a|=1，|b|=2，则 ‎(A) （B） (C) (D)‎ ‎12.【2012高考真题新课标理13】已知向量夹角为 ，且；则 ‎13.【2012高考真题浙江理15】在△ABC中，M是BC的中点，AM=3，BC=10，则=________.‎ ‎【答案】-16‎ ‎【解析】法一此题最适合的方法是特例法．‎ 假设ABC是以AB＝AC的等腰三角形，如图，‎ AM＝3，BC＝10，AB＝AC＝．‎ cos∠BAC＝．＝‎ 法二：‎ ‎.‎ ‎14.【2012高考真题上海理12】在平行四边形中，，边、的长分别为2、1，若、分别是边、上的点，且满足，则的取值范围是 。‎ ‎15.【2012高考真题山东理16】如图，在平面直角坐标系中，一单位圆的圆心的初始位置在，此时圆上一点的位置在，圆在轴上沿正向滚动。当圆滚动到圆心位于时，的坐标为______________.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】因为圆心移动的距离为2，所以劣弧，即圆心角,‎ ‎,则,所以，，所以，，所以。‎ ‎16.【2012高考真题北京理13】已知正方形ABCD的边长为1，点E是AB边上的动点，则的值为________，的最大值为______。‎ ‎17.【2012高考真题安徽理14】若平面向量满足：，则的最小值是。‎ ‎18.【2012高考江苏9】（5分）如图，在矩形中，点为 的中点，点在边上，若，则的值是 ▲ ．‎ ‎【2011年高考试题】‎ 一、选择题:[‎ ‎1. (2011年高考山东卷理科12)设，，，是平面直角坐标系中两两不同的四点，若 (λ∈R)，(μ∈R)，且,则称，调和分割， ,已知点C(c，o),D(d，O) (c，d∈R)调和分割点A(0，0)，B(1，0)，则下面说法正确的是 ‎(A)C可能是线段AB的中点 ‎ ‎(B)D可能是线段AB的中点 ‎(C)C，D可能同时在线段AB上 ‎ ‎(D) C，D不可能同时在线段AB的延长线上 ‎3. (2011年高考全国新课标卷理科10)已知a与b均为单位向量，其夹角为，有下列四个命题 ‎ ‎ ‎ ‎ 其中的真命题是 ‎（A） （B） （C） （D）‎ ‎5. (2011年高考四川卷理科4)如图，正六边形ABCDEF中，=( )‎ ‎(A)0 (B) (C) (D)‎ 答案：D 解析：.‎ ‎6. (2011年高考全国卷理科12)设向量满足||=||=1, ,，=，则的最大值等于 ‎ (A)2 (B) (c) (D)1‎ ‎【答案】A ‎【解析】如图，构造, , ,[来源:Zxxk.Com]‎ ‎，所以四点共圆，‎ 可知当线段为直径时，最大，最大值为2.‎ ‎7．(2011年高考上海卷理科17)设是空间中给定的5个不同的点，则使成立的点的个数为 （ ）‎ ‎ A．0 B．1 C．5 D．10 ‎ ‎【答案】B 二、填空题:‎ ‎1. (2011年高考浙江卷理科14)若平面向量，满足，，且以向量，为邻边的平行四边形的面积为，则与的夹角的取值范围是 。‎ ‎2.(2011年高考安徽卷理科13)已知向量a，b满足（a+2b）·（a-b）=－6，且，，则a与b的夹角为 .‎ ‎3. (2011年高考天津卷理科14)已知直角梯形ABCD中,AD∥BC,,AD=2,BC=1,P是腰DC上的动点,则的最小值为 .[‎ ‎6.(2011年高考重庆卷理科12)已知单位向量的夹角为，则 ‎ 解析：。 ‎ ‎7.(2011年高考安徽卷江苏10)已知是夹角为的两个单位向量， 若，则k的值为 .[‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎0,解得.‎ ‎【2010年高考试题】‎ ‎（2010全国卷2理数）（8）中，点在上，平方．若，，，，则 ‎（A） （B） （C） （D）‎ ‎（2010辽宁理数）(8)平面上O,A,B三点不共线，设，则△OAB的面积等于 ‎ (A) (B) ‎ ‎(C) (D) ‎ ‎（2010重庆理数）(2) 已知向量a，b满足，则 A. 0 B. C. 4 D. 8‎ 解析：‎ ‎（2010四川理数）（5）设点M是线段BC的中点，点A在直线BC外，则 ‎（A）8 （B）4 （C） 2 （D）1‎ ‎（2010山东理数） (12)定义平面向量之间的一种运算“”如下，对任意的，，令 ‎，下面说法错误的是（ ）‎ A.若与共线，则 B. ‎ C.对任意的，有 D. ‎ ‎（2010湖南理数）4、在中，=90°AC=4，则等于 A、-16 B、-8 C、8 D、16‎ ‎1.(2010年安徽理数)[来源:Zxxk.Com]‎ ‎2. （2010湖北理数）5．已知和点M满足.若存在实数m使得成立，则m=‎ A．2 B．3 C．4 D．5‎ ‎（2010浙江理数）（16）已知平面向量满足，且与的夹角为120°，则的取值范围是__________________ .‎ 解析：利用题设条件及其几何意义表示在三角形中，即可迎刃而解，本题主要考察了平面向量的四则运算及其几何意义，突出考察了对问题的转化能力和数形结合的能力，属中档题。‎ ‎（2010天津理数）（15）如图，在中，,,‎ ‎,则 .‎ ‎（2010广东理数）10.若向量=（1,1,x）, =(1,2,1), =(1,1,1),满足条件=-2,则= .‎ ‎10．C．，，解得．‎ ‎（2010江苏卷）15、（本小题满分14分）‎ 在平面直角坐标系xOy中，点A(－1,－2)、B(2,3)、C(－2,－1)。‎ (1) 求以线段AB、AC为邻边的平行四边形两条对角线的长；‎ (2) 设实数t满足()·=0，求t的值。‎ ‎[解析]本小题考查平面向量的几何意义、线性运算、数量积，考查运算求解能力。满分14分。‎ ‎（1）（方法一）由题设知，则 所以 故所求的两条对角线的长分别为、。‎ ‎（2010江苏卷）15、（本小题满分14分）‎ 在平面直角坐标系xOy中，点A(－1,－2)、B(2,3)、C(－2,－1)。‎ (1) 求以线段AB、AC为邻边的平行四边形两条对角线的长；‎ (2) 设实数t满足()·=0，求t的值。‎ ‎[解析]本小题考查平面向量的几何意义、线性运算、数量积，考查运算求解能力。满分14分。‎ ‎（方法二）设该平行四边形的第四个顶点为D，两条对角线的交点为E，则:‎ E为B、C的中点，E（0，1）‎ 又E（0，1）为A、D的中点，所以D（1，4）‎ ‎ 故所求的两条对角线的长分别为BC=、AD=；‎ ‎【2009年高考试题】‎ ‎10.（2009·广东理6）一质点受到平面上的三个力（单位：牛顿）的作用而处于平衡状态．已知，成角，且，的大小分别为2和4，则的大小为 ‎ A. 6 B. 2 C. D. ‎ 解析：，所以，选D.‎ ‎11.（2009·浙江理7）设向量，满足：，，．以，，的模为边长构成三角形，则它的边与半径为的圆的公共点个数最多为 ( ) ‎ A． B． C． D．‎ ‎12.（2009·浙江文5）已知向量，．若向量满足，，则 （ ）‎ A． B． C． D． ‎ ‎13.(2009·山东理7;文.8)设P是△ABC所在平面内的一点，，则（　　　）‎ A. B. C. D.‎ 解析：:因为，所以点P为线段AC的中点，所以应该选B。‎ 答案：B。‎ ‎【命题立意】:本题考查了向量的加法运算和平行四边形法则，‎ 可以借助图形解答。‎ ‎14.（2009·宁夏海南理9）已知O，N，P在所在平面内，且，且，则点O，N，P依次是的 ‎ （A）重心 外心 垂心 （B）重心 外心 内心 ‎ ‎（C）外心 重心 垂心 （D）外心 重心 内心 ‎（注：三角形的三条高线交于一点，此点为三角型的垂心）‎ ‎23.（2009·辽宁文理3）平面向量a与b的夹角为，a＝(2,0), | b |＝1，则 | a＋2b |＝‎ ‎（A） （B）2 （C）4 （D）12‎ ‎16.（2009·福建理9，文12）设，，为同一平面内具有相同起点的任意三个非零向量，且满足与不共线，‎ ‎ ∣∣=∣∣,则∣ •∣的值一定等于 ‎ A．以，为邻边的平行四边形的面积 B. 以，为两边的三角形面积 C．，为两边的三角形面积 D. 以，为邻边的平行四边形的面积 解析： 假设与的夹角为，∣ •∣=︱︱·︱︱·∣cos<，>∣=︱︱·︱︱•∣cos(90‎ ‎)∣=︱︱·︱︱•sin,即为以，为邻边的平行四边形的面积，故选A。‎ ‎4.（2009·江苏）已知向量和向量的夹角为，，则向量和向量的数量积= 。‎ 解析： 考查数量积的运算。 ‎ ‎5.（2009·安徽理14）给定两个长度为1的平面向量和，它们的夹角为.‎ 如图所示，点C在以O为圆心的圆弧上变动.‎ 若其中,则 的最大值是________.‎ ‎14.(天津理.15)在四边形ABCD中，==（1，1），，则四边形ABCD的面积是 ‎ 解析：因为==（1，1）,所以四边形ABCD为平行四边形,所以 ‎ ‎ 则四边形ABCD的面积为 ‎15.(天津文15)若等边的边长为，平面内一点M满足,则________.‎ ‎3.（2009·浙江理18）（本题满分14分）在中，角所对的边分别为，且满足，‎ ‎ ． （I）求的面积； （II）若，求的值．‎ ‎5.（2009·江苏15）（本小题满分14分） ‎ 设向量 ‎ ‎（1）若与垂直，求的值； ‎ ‎（2）求的最大值; ‎ ‎（3）若，求证：∥. ‎ 解析： 本小题主要考查向量的基本概念，同时考查同角三角函数的基本关系式、二倍角的正弦、两角和的正弦与余弦公式，考查运算和证明得基本能力。满分14分。‎ ‎6.（2009·广东理16）(本小题满分12分）‎ 已知向量与互相垂直，其中．‎ ‎（1）求和的值；‎ ‎（2）若，求的值． ‎ ‎【2008年高考试题】‎ ‎5、（2008·广东理科）在平行四边形中，与交于点是线段的中点，的延长线与交于点．若，，则（）[来源:学+科+网]‎ A． B． C． D．‎ 解析：此题属于中档题.解题关键是利用平面几何知识得出,然后利用向量的加减法则易得答案B.‎ 答案：B ‎7、（2008·海南、宁夏）平面向量，共线的充要条件是（ ）‎ A. ，方向相同 B. ，两向量中至少有一个为零向量 ‎ C. ， D. 存在不全为零的实数，，‎ ‎1．（2008·海南、宁夏理）已知向量，，且，则　　　　．‎ 解析：由题意 答案：3‎ ‎2、（2008·江苏2）的夹角为，，则 ▲ 。‎ ‎【2007年高考试题】‎ ‎2、（2007·广东理10）若向量满足，的夹角为60°，则=______；‎ 答案：；‎ 解析：，‎ ‎3、（2007·山东理11）在直角中，是斜边上的高，则下列等式不成立的是 ‎（A） （B） ‎ ‎（C） （D） ‎ ‎4、（2007·海、宁理2）已知平面向量，则向量（　　）‎ Ａ． Ｂ． ‎ Ｃ． Ｄ．‎ 答案：：D 解析：‎