2018届二轮复习不等式、推理与证明：基本不等式学案（全国通用）

2018届二轮复习不等式、推理与证明：基本不等式学案（全国通用）

基本不等式 ‎【考点梳理】‎ ‎1．基本不等式≤ ‎(1)基本不等式成立的条件：a>0，b>0.‎ ‎(2)等号成立的条件：当且仅当a＝b.‎ ‎2．几个重要的不等式 ‎(1)a2＋b2≥2ab(a，b∈R)；‎ ‎(2)＋≥2(a，b同号且不为零)；‎ ‎(3)ab≤2(a，b∈R)；‎ ‎(4)2≤(a，b∈R)．‎ ‎3．算术平均数与几何平均数 设a>0，b>0，则a，b的算术平均数为，几何平均数为，基本不等式可叙述为：两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数．‎ ‎4．利用基本不等式求最值问题 已知x>0，y>0，则 ‎(1)如果xy是定值p，那么当且仅当x＝y时，x＋y有最小值是2(简记：积定和最小)．‎ ‎(2)如果x＋y是定值q，那么当且仅当x＝y时，xy有最大值是(简记：和定积最大)．‎ ‎【考点突破】‎ 考点一、利用基本不等式求最值 ‎【例1】(1)若实数a，b满足＋＝，则ab的最小值为(　　)‎ A.　　　 B．2‎ C．2 D．4‎ ‎(2)已知正数x，y满足x2＋2xy－3＝0，则2x＋y的最小值是__________．‎ ‎[答案] (1)C　(2)3‎ ‎[解析] (1)由＋＝知a>0，b>0，所以＝＋≥2，即ab≥2，‎ 当且仅当即a＝，b＝2时取“＝”，所以ab的最小值为2.‎ ‎(2)由x2＋2xy－3＝0得y＝＝－x，则2x＋y＝2x＋－x＝＋≥2＝3，当且仅当x＝1时，等号成立，所以2x＋y的最小值为3.‎ ‎【类题通法】‎ ‎1.利用基本不等式求函数最值时，注意“一正、二定、三相等，和定积最大，积定和最小”．‎ ‎2．在求最值过程中若不能直接使用基本不等式，可以考虑利用拆项、配凑、常数代换、平方等技巧进行变形，使之能够使用基本不等式．‎ ‎【对点训练】‎ ‎1．已知a>0，b>0，且2a＋b＝1，若不等式＋≥m恒成立，则m的最大值等于(　　)‎ A．10 B．9‎ C．8 D．7‎ ‎[答案] B ‎[解析]∵＋＝＋＝4＋＋＋1＝5＋2≥5＋2×2＝9，当且仅当a＝b＝时取等号．又＋≥m，∴m≤9，即m的最大值等于9，故选B.‎ ‎2．已知实数m，n满足m·n>0，m＋n＝－1，则＋的最大值为__________．‎ ‎[答案]－4‎ ‎[解析]∵m·n>0，m＋n＝－1，∴m<0，n<0，‎ ‎∴＋＝－(m＋n) ‎ ＝－≤－2－2＝－4，‎ 当且仅当m＝n＝－时，＋取得最大值－4.‎ 考点二、利用基本不等式证明不等式 ‎【例2】已知a>0，b>0，a＋b＝1，求证：‎ ‎(1)＋＋≥8；‎ ‎(2)≥9.‎ ‎[解析]证明：(1)＋＋＝2，‎ ‎∵a＋b＝1，a>0，b>0，‎ ‎∴＋＝＋＝2＋＋≥2＋2＝4，‎ ‎∴＋＋≥8(当且仅当a＝b＝时等号成立).‎ ‎(2)法一：∵a>0，b>0，a＋b＝1，‎ ‎∴1＋＝1＋＝2＋，同理1＋＝2＋，‎ ‎∴＝ ‎＝5＋2≥5＋4＝9，‎ ‎∴≥9(当且仅当a＝b＝时等号成立).‎ 法二：＝1＋＋＋，‎ 由(1)知，＋＋≥8，‎ 故＝1＋＋＋≥9.‎ ‎【类题通法】‎ ‎1.“‎1”‎的代换是解决问题的关键，代换变形后能使用基本不等式是代换的前提，不能盲目变形．‎ ‎2．利用基本不等式证明不等式，关键是所证不等式必须是有“和”式或“积”式，通过将“和”式转化为“积”式或将“积”式转化为“和”式，达到放缩的效果，必要时，也需要运用“拆、拼、凑”的技巧，同时应注意多次运用基本不等式时等号能否取到．‎ ‎【对点训练】‎ 设a，b均为正实数，求证：＋＋ab≥2. ‎ ‎[解析]证明：由于a，b均为正实数，‎ 所以＋≥2＝，‎ 当且仅当＝，即a＝b时等号成立，‎ 又因为＋ab≥2＝2，‎ 当且仅当＝ab时等号成立，‎ 所以＋＋ab≥＋ab≥2，‎ 当且仅当即a＝b＝时取等号.‎ 考点三、基本不等式的实际应用 ‎【例3】运货卡车以每小时x千米的速度匀速行驶130千米，按交通法规限制50≤x≤100(单位：千米/时)．假设汽油的价格是每升2元，而汽车每小时耗油升，司机的工资是每小时14元．‎ ‎(1)求这次行车总费用y关于x的表达式；‎ ‎(2)当x为何值时，这次行车的总费用最低，并求出最低费用的值．‎ ‎[解析] (1)设所用时间为t＝(h)，‎ y＝×2×＋14×，x∈[50,100].‎ 所以这次行车总费用y关于x的表达式是 y＝＋x，x∈.‎ ‎(或y＝＋x，x∈).‎ ‎(2)y＝＋x≥26 ，‎ 当且仅当＝x，‎ 即x＝18，等号成立.‎ 故当x＝18千米/时，这次行车的总费用最低，最低费用的值为26元.‎ ‎【类题通法】‎ ‎1．设变量时一般要把求最大值或最小值的变量定义为函数．‎ ‎2．根据实际问题抽象出函数的解析式后，只需利用基本不等式求得函数的最值．‎ ‎3．在求函数的最值时，一定要在定义域(使实际问题有意义的自变量的取值范围)内求解．‎ ‎【对点训练】‎ 某化工企业2016年年底投入100万元，购入一套污水处理设备．该设备每年的运转费用是0.5万元，此外每年都要花费一定的维护费，第一年的维护费为2万元，由于设备老化，以后每年的维护费都比上一年增加2万元．设该企业使用该设备x年的年平均污水处理费用为y(单位：万元)．‎ ‎(1)用x表示y；‎ ‎(2)当该企业的年平均污水处理费用最低时，企业需重新更换新的污水处理设备．则该企业几年后需要重新更换新的污水处理设备．‎ ‎[解析] (1)由题意得，‎ y＝，‎ 即y＝x＋＋1.5(x∈N*).‎ ‎(2)由基本不等式得：‎ y＝x＋＋1.5≥2＋1.5＝21.5，‎ 当且仅当x＝，即x＝10时取等号．‎ 故该企业10年后需要重新更换新的污水处理设备.‎