2020年高中数学第一讲不等式和绝对值不等式达标检测新人教A版选修4-5
第一讲 不等式和绝对值不等式
达标检测
时间：120分钟 满分：150分
一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1．若a>b>c，则－( )
A．大于0 B．小于0
C．小于等于0 D．大于等于0
解析：∵a>b>c，∴a－c>b－c>0，
∴<，∴－>0.故选A.
答案：A
2．已知a＋b>0，b<0，那么a，b，－a，－b的大小关系是( )
A．a>b>－b>－a B．a>－b>－a>b
C．a>－b>b>－a D．a>b>－a>－b
解析：∵a＋b>0，b<0，
∴a>－b>0,0>b>－a，
∴a>－b>b>－a.
答案：C
3．若logxy＝－2，则x＋y的最小值是( )
A. B．
C. D．
解析：由logxy＝－2得y＝，而x＋y＝x＋＝＋＋≥3＝3＝.
答案：A
4．已知|x－a|
0，b>0，a＋b＝1，则的最小值是( )
A．6 B．7
C．8 D．9
解析：
＝
＝＝＋1，
∵a＋b＝1，∴2≤1.
∴ab≤，∴≥9.
答案：D
11．不等式|x＋3|－|x－1|≤a2－3a对任意实数x恒成立，则实数a的取值范围为( )
A．(－∞，－1]∪[4，＋∞)
B．(－∞，－2]∪[5，＋∞)
C．[1,2]
D．(－∞，1]∪[2，＋∞)
解析：因为－4≤|x＋3|－|x－1|≤4，且|x＋3|－|x－1|≤a2－3a对任意x恒成立，
所以a2－3a≥4，即a2－3a－4≥0，
解得a≥4，或a≤－1.
答案：A
12．设0时，原不等式转化为4x≤6⇒x≤；
当－≤x≤时，原不等式转化为2≤6，恒成立；
当x<－时，原不等式转化为－4x≤6⇒x≥－.
由上综合知，原不等式的解集为.
法二：原不等式可化为|x－|＋|x＋|≤3，其几何意义为数轴上到，－两点的距离之和不超过3的点的集合．数形结合知，当x＝或x＝－时，到，－两点的距离之和恰好为3，故当－≤x≤时，满足题意，则原不等式的解集为.
答案：
14．已知x>0，y>0，x，a，b，y成等差数列，x，c，d，y成等比数列，则的最小值是________．
解析：因为x，a，b，y成等差数列，所以x＋y＝a＋b，
又x，c，d，y成等比数列，所以xy＝cd，＝＝＝＋＋2≥2＋2＝4，当且仅当x＝y时，取等号．
答案：4
15．已知不等式(x＋y)≥9对任意正实数x，y恒成立，则正实数a的最小值为________．
解析：(x＋y)＝1＋a＋＋≥1＋a＋2，
∴1＋a＋2≥9，即a＋2－8≥0，故a≥4.
答案：4
16. 下面四个命题：①若a>b，c>1，则alg c>blg c；
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②若a>b，c>0，则alg c>blg c；
③若a>b，则a·2c>b·2c；
④若a0，则>.
其中正确命题有________．(填序号)
解析：②不正确，因为00，且x＋3y＋4z＝6，求x2y3z的最大值．
解析：∵6＝x＋3y＋4z＝＋＋y＋y＋y＋4z≥6，
∴x2y3z≤1(当＝y＝4z时，取“＝”)．
∴x＝2，y＝1，z＝时，x2y3z取得最大值1.
18．(12分)已知ab≠0，且a>b，试比较与的大小．
解析：－＝，
∵ab≠0，a>b，∴b－a<0，
如果ab<0，>0，∴>，
如果ab>0，<0，∴<.
19．(12分)解不等式|2x－4|－|3x＋9|<1.
解析：①当x>2时，原不等式等价于
⇒x>2.
②当－3≤x≤2时，原不等式等价于
⇒－0，b>0，求证：≥9.
证明：因为a>0，b>0，所以
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a＋b＋≥3＝3>0. ①
同理可证a2＋＋≥3>0. ②
由①，②结合不等式的性质得
≥3×3＝9，
当a＝b＝1时，取等号．
21．(13分)已知函数f(x)＝|x－a|.
(1)若不等式f(x)≤3的解集为{x|－1≤x≤5}，求实数a的值；
(2)在(1)的条件下，若f(x)＋f(x＋5)≥m对一切实数x恒成立，求实数m的取值范围．
解析：(1)由f(x)≤3得|x－a|≤3，
解得a－3≤x≤a＋3.
又已知不等式f(x)≤3的解集为{x|－1≤x≤5}，
所以解得a＝2.
(2)法一：当a＝2时，f(x)＝|x－2|.
设g(x)＝f(x)＋f(x＋5)，
于是g(x)＝|x－2|＋|x＋3|＝
所以当x<－3时，g(x)>5；
当－3≤x≤2时，g(x)＝5；
当x>2时，g(x)>5.
综上所述，g(x)的最小值为5.
从而，若f(x)＋f(x＋5)≥m，即g(x)≥m对一切实数x恒成立．
则m的取值范围为(－∞，5]．
法二：当a＝2时，f(x)＝|x－2|.
设g(x)＝f(x)＋f(x＋5)．
由|x－2|＋|x＋3|≥|(x－2)－(x＋3)|＝5(当且仅当－3≤x≤2时等号成立)得，g(x)的最小值为5.
从而，若f(x)＋f(x＋5)≥m即g(x)≥m对一切实数x恒成立，则m的取值范围为
(－∞，5]．
22．(13分)在平面直角坐标系xOy中，将从点M出发沿纵、横方向到达点N的任一路径称为M到N的一条“L路径”．如图所示的路径MM1M2M3N与路径MN1N都是M到N的“L
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路径”．某地有三个新建的居民区，分别位于平面xOy内三点A(3,20)，B(－10,0)，C(14,0)处．现计划在x轴上方区域(包含x轴)内的某一点P处修建一个文化中心．
(1)写出点P到居民区A的“L路径”长度最小值的表达式(不要求证明)；
(2)若以原点O为圆心，半径为1的圆的内部是保护区，“L路径”不能进入保护区，请确定点P的位置，使其到三个居民区的“L路径”长度之和最小．
解析：设点P的坐标为(x，y)．
(1)点P到居民区A的“L路径”长度最小值为|x－3|＋|y－20|，
x∈R，y∈[0，＋∞)．
(2)由题意知，点P到三个居民区的“L路径”长度之和的最小值为点P分别到三个居民区的“L路径”长度最小值之和(记为d)的最小值．
①当y≥1时，d＝|x＋10|＋|x－14|＋|x－3|＋2|y|＋|y－20|.
因为d1(x)＝|x＋10|＋|x－14|＋|x－3|≥|x＋10|＋|x－14|，(*)
当且仅当x＝3时，不等式(*)中的等号成立．
又因为|x＋10|＋|x－14|≥24，(**)
当且仅当x∈[－10,14]时，不等式(**)中的等号成立，
所以d1(x)≥24，当且仅当x＝3时，等号成立．
d2(x)＝2|y|＋|y－20|≥21，当且仅当y＝1时，等号成立．
故点P的坐标为(3,1)时，P到三个居民区的“L路径”长度之和最小，且最小值为45.
②当0≤y≤1时，由于“L路径”不能进入保护区，所以d＝|x＋10|＋|x－14|＋|x－3|＋1＋|1－y|＋|y|＋|y－20|，此时，d1(x)＝|x＋10|＋|x－14|＋|x－3|，
d2(y)＝1＋|1－y|＋|y|＋|y－20|＝22－y≥21.
由①知，d1(x)≥24，故d1(x)＋d2(y)≥45，当且仅当x＝3，y＝1时等号成立．
综上所述，在点P(3,1)处修建文化中心，可使该文化中心到三个居民区的“L路径”长度之和最小．
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