数学卷·2018届山东省临沂市临沭一中高二下学期开学数学试卷（理科） （解析版）

数学卷·2018届山东省临沂市临沭一中高二下学期开学数学试卷（理科） （解析版）

‎2016-2017学年山东省临沂市临沭一中高二（下）开学数学试卷（理科）‎ ‎　‎ 一、选择题（本大题共12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）‎ ‎1．命题：“∀x∈[0，+∞），x3+2x≥0”的否定是（　　）‎ A．∀x∈（﹣∞，0），x3+2x＜0 B．∃x∈[0，+∞），x3+2x＜0‎ C．∀x∈（﹣∞，0），x3+2x≥0 D．∃x∈[0，+∞），x3+2x≥0‎ ‎2．设z=+i，则|z|=（　　）‎ A． B． C． D．2‎ ‎3．函数f（x）=2x﹣lnx的单调递减区间为（　　）‎ A． B． C． D．（0，+∞）‎ ‎4．已知等差数列{an}前9项的和为27，a10=8，则a100=（　　）‎ A．97 B．98 C．99 D．100‎ ‎5．在两个变量y与x的回归模型中，分别选择了四个不同的模型，它们的相关指数R2如下，其中拟合效果最好的为（　　）‎ A．模型①的相关指数为0.976 B．模型②的相关指数为0.776‎ C．模型③的相关指数为0.076 D．模型④的相关指数为0.351‎ ‎6．若变量x，y满足，则x2+y2的最大值是（　　）‎ A．4 B．9 C．10 D．12‎ ‎7．在△ABC中，内角A，B，C所对应的边分别为a，b，c，若c2=（a﹣b）2+6，C=，则△ABC的面积（　　）‎ A．3 B． C． D．3‎ ‎8．已知双曲线的左右焦点分别为F1，F2，以|F1F2|为直径的圆与双曲线渐近线的一个交点为（1，2），则此双曲线方程为（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎9．如图所示，程序框图（算法流程图）的输出结果是（　　）‎ A．34 B．55 C．78 D．89‎ ‎10．设函数f（x）=x﹣lnx（x＞0），则函数f（x）（　　）‎ A．在区间（0，1）内有零点，在区间（1，+∞）内无零点 B．在区间（0，1）内有零点，在区间（1，+∞）内有零点 C．在区间（0，3），（3，+∞）均无零点 D．在区间（0，3），（3，+∞）均有零点 ‎11．为了解高中生作文成绩与课外阅读量之间的关系，某研究机构随机抽取60名高中生做问卷调查，得到以下数据：‎ 作文成绩优秀 作文成绩一般 总计 课外阅读量较大 ‎22‎ ‎10‎ ‎32‎ 课外阅读量一般 ‎8‎ ‎20‎ ‎28‎ 总计 ‎30‎ ‎30‎ ‎60‎ 由以上数据，计算得到K2的观测值k≈9.643，根据临界值表，以下说法正确的是（　　）‎ A．在样本数据中没有发现足够证据支持结论“作文成绩优秀与课外阅读量大有关”‎ B．在犯错误的概率不超过0.001的前提下认为作文成绩优秀与课外阅读量大有关 C．在犯错误的概率不超过0.05的前提下认为作文成绩优秀与课外阅读量大有关 D．在犯错误的概率不超过0.005的前提下认为作文成绩优秀与课外阅读量大有关 ‎12．学生的语文、数学成绩均被评定为三个等级，依次为“优秀”“合格”“不合格”．若学生甲的语文、数学成绩都不低于学生乙，且其中至少有一门成绩高于乙，则称“学生甲比学生乙成绩好”．如果一组学生中没有哪位学生比另一位学生成绩好，并且不存在语文成绩相同、数学成绩也相同的两位学生，则这一组学生最多有（　　）‎ A．2人 B．3人 C．4人 D．5人 ‎　‎ 二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填在答题卷的横线上..‎ ‎13．曲线y=ex+2在P（0，3）处的切线方程是　　．‎ ‎14．回归方程=2.5+0.31在样本（4，1.2）处的残差为　　．‎ ‎15．以模型y=cekx去拟合一组数据时，为了求出回归方程，设z=lny，将其变换后得到线性方程z=0.3x+4，则c，k的值分别是　　和　　．‎ ‎16．已知a，b，c分别为△ABC的三个内角A，B，C的对边，a=2且（2+b）（sinA﹣sinB）=（c﹣b）sinC，则△ABC面积的最大值为　　．‎ ‎　‎ 三、解答题：本大题共6小题，满分70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 ‎17．（10分）如图，在△ABC中，AC=10，，BC=6，D是边BC延长线上的一点，∠ADB=30°，求AD的长．‎ ‎18．（12分）某班主任对全班50名学生学习积极性和对待班级工作的态度进行了调查，统计数据如下表所示：‎ 积极参加班级工作 不太主动参加班级工作 合计 学习积极性高 ‎18‎ ‎7‎ ‎25‎ 学习积极性一般 ‎6‎ ‎19‎ ‎25‎ 合计 ‎24‎ ‎26‎ ‎50‎ ‎（1）如果随机抽查这个班的一名学生，那么抽到积极参加班级工作的学生的概率是多少？抽到不太主动参加班级工作且学习积极性一般的学生的概率是多少？‎ ‎（2）试运用独立性检验的思想方法点拨：学生的学习积极性与对待班级工作的态度是否有关系？并说明理由．（参考下表）‎ p（K2≥k0）‎ ‎0.50‎ ‎0.40‎ ‎0.25‎ ‎0.15‎ ‎0.10‎ ‎0.05‎ ‎0.025‎ ‎0.010‎ ‎0.005‎ ‎0.001‎ k0‎ ‎0.455‎ ‎0.708‎ ‎1.323‎ ‎2.072‎ ‎2.706‎ ‎3.841‎ ‎5.024‎ ‎6.635‎ ‎7.789‎ ‎10.828‎ ‎19．（12分）已知{an}是等差数列，满足a1=3，a4=12，数列{bn}满足b1=4，b4=20，且{bn﹣an}为等比数列．‎ ‎（1）求数列{an}和{bn}的通项公式；‎ ‎（2）求数列{bn}的前n项和．‎ ‎20．（12分）某种产品的广告费支出x与销售额y（单位：百万元）之间有如下对应数据：‎ x ‎2‎ ‎4‎ ‎5‎ ‎6‎ ‎8‎ y ‎30‎ ‎40‎ ‎60‎ ‎50‎ ‎70‎ ‎（1）画出散点图；‎ ‎（2）求回归直线方程；‎ ‎（3）试预测广告费支出为10百万元时，销售额多大？‎ 参考公式：b==．‎ ‎21．（12分）已知函数f（x）=（x﹣2）ex+a（x﹣1）2．‎ ‎（Ⅰ）讨论f（x）的单调性；‎ ‎（Ⅱ）若f（x）有两个零点，求a的取值范围．‎ ‎22．（12分）已知椭圆两焦点，并且经过点．‎ ‎（1）求椭圆的方程；‎ ‎（2）若过点A（0，2）的直线l与椭圆交于不同的两点M、N（M在A、N之间），试求△OAM与△OAN面积之比的取值范围．‎ ‎　‎ ‎2016-2017学年山东省临沂市临沭一中高二（下）开学数学试卷（理科）‎ 参考答案与试题解析 ‎　‎ 一、选择题（本大题共12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）‎ ‎1．命题：“∀x∈[0，+∞），x3+2x≥0”的否定是（　　）‎ A．∀x∈（﹣∞，0），x3+2x＜0 B．∃x∈[0，+∞），x3+2x＜0‎ C．∀x∈（﹣∞，0），x3+2x≥0 D．∃x∈[0，+∞），x3+2x≥0‎ ‎【考点】命题的否定．‎ ‎【分析】由全称命题的否定的规则可得．‎ ‎【解答】解：∵命题：“∀x∈[0，+∞），x3+2x≥0”为全称命题，‎ 故其否定为特称命题，排除A和C，‎ 再由否定的规则可得：“∃x∈[0，+∞），x3+2x＜0”‎ 故选：B．‎ ‎【点评】本题考查全称命题的否定，属基础题．‎ ‎　‎ ‎2．设z=+i，则|z|=（　　）‎ A． B． C． D．2‎ ‎【考点】复数代数形式的乘除运算．‎ ‎【分析】先求z，再利用求模的公式求出|z|．‎ ‎【解答】解：z=+i=+i=．‎ 故|z|==．‎ 故选B．‎ ‎【点评】本题考查复数代数形式的运算，属于容易题．‎ ‎　‎ ‎3．函数f（x）=2x﹣lnx的单调递减区间为（　　）‎ A． B． C． D．（0，+∞）‎ ‎【考点】利用导数研究函数的单调性．‎ ‎【分析】求出f′（x），在定义域内解不等式f′（x）＞0即得单调增区间．‎ ‎【解答】解：f（x））=2x﹣lnx的定义域为（0，+∞）．‎ f′（x）=2﹣=，‎ 令f′（x）＜0，解得x＜，‎ 所以函数f（x）=2x﹣lnx的单调减区间是（0，）．‎ 故选：C．‎ ‎【点评】本题考查运用导数研究函数的单调性，注意考函数虑定义域．‎ ‎　‎ ‎4．已知等差数列{an}前9项的和为27，a10=8，则a100=（　　）‎ A．97 B．98 C．99 D．100‎ ‎【考点】等差数列的性质．‎ ‎【分析】根据已知可得a5=3，进而求出公差，可得答案．‎ ‎【解答】解：∵等差数列{an}前9项的和为27，‎ ‎∴9a5=27，a5=3，‎ 又∵a10=8，‎ ‎∴d=1，‎ ‎∴a100=a5+95d=98，‎ 故选：B．‎ ‎【点评】本题考查的知识点是数列的性质，熟练掌握等差数列的性质，是解答的关键．‎ ‎　‎ ‎5．在两个变量y与x的回归模型中，分别选择了四个不同的模型，它们的相关指数R2如下，其中拟合效果最好的为（　　）‎ A．模型①的相关指数为0.976 B．模型②的相关指数为0.776‎ C．模型③的相关指数为0.076 D．模型④的相关指数为0.351‎ ‎【考点】相关系数．‎ ‎【分析】相关指数R2的值越大，模型拟合的效果越好，可得答案．‎ ‎【解答】解：根据相关指数R2的值越大，模型拟合的效果越好，‎ 比较A、B、C、D选项，A的相关指数最大，∴模型①拟合的效果最好．‎ 故选：A．‎ ‎【点评】本题考查了回归分析思想，在两个变量的回归分析中，相关指数R2的值越大，模型拟合的效果越好．‎ ‎　‎ ‎6．若变量x，y满足，则x2+y2的最大值是（　　）‎ A．4 B．9 C．10 D．12‎ ‎【考点】简单线性规划．‎ ‎【分析】由约束条件作出可行域，然后结合x2+y2的几何意义，即可行域内的动点与原点距离的平方求得x2+y2的最大值．‎ ‎【解答】解：由约束条件作出可行域如图，‎ ‎∵A（0，﹣3），C（0，2），‎ ‎∴|OA|＞|OC|，‎ 联立，解得B（3，﹣1）．‎ ‎∵，‎ ‎∴x2+y2的最大值是10．‎ 故选：C．‎ ‎【点评】本题考查简单的线性规划，考查了数形结合的解题思想方法和数学转化思想方法，是中档题．‎ ‎　‎ ‎7．在△ABC中，内角A，B，C所对应的边分别为a，b，c，若c2=（a﹣b）2+6，C=，则△ABC的面积（　　）‎ A．3 B． C． D．3‎ ‎【考点】余弦定理．‎ ‎【分析】根据条件进行化简，结合三角形的面积公式进行求解即可．‎ ‎【解答】解：∵c2=（a﹣b）2+6，‎ ‎∴c2=a2﹣2ab+b2+6，‎ 即a2+b2﹣c2=2ab﹣6，‎ ‎∵C=，‎ ‎∴cos===，‎ 解得ab=6，‎ 则三角形的面积S=absinC==，‎ 故选：C ‎【点评】本题主要考查三角形的面积的计算，根据余弦定理求出ab=6是解决本题的关键．‎ ‎　‎ ‎8．已知双曲线的左右焦点分别为F1，F2，以|F1F2|为直径的圆与双曲线渐近线的一个交点为（1，2），则此双曲线方程为（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎【考点】双曲线的简单性质．‎ ‎【分析】由题意知c==，点（1，2）在y=x上，由此能求出双曲线的方程．‎ ‎【解答】解：∵双曲线的左右焦点分别为F1，F2，‎ 以|F1F2|为直径的圆与双曲线渐近线的一个交点为（1，2），‎ ‎∴由题意知c==，‎ ‎∴a2+b2=5，①‎ 又点（1，2）在y=x上，∴，②‎ 由①②解得a=1，b=2，‎ ‎∴双曲线的方程为=1．‎ 故选：C．‎ ‎【点评】本题考查双曲线方程的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意双曲线简单性质的合理运用．‎ ‎　‎ ‎9．如图所示，程序框图（算法流程图）的输出结果是（　　）‎ A．34 B．55 C．78 D．89‎ ‎【考点】程序框图；程序框图的三种基本逻辑结构的应用．‎ ‎【分析】写出前几次循环的结果，不满足判断框中的条件，退出循环，输出z的值．‎ ‎【解答】解：第一次循环得z=2，x=1，y=2；‎ 第二次循环得z=3，x=2，y=3；‎ 第三次循环得z=5，x=3，y=5；‎ 第四次循环得z=8，x=5，y=8；‎ 第五次循环得z=13，x=8，y=13；‎ 第六次循环得z=21，x=13，y=21；‎ 第七次循环得z=34，x=21，y=34；‎ 第八次循环得z=55，x=34，y=55；退出循环，输出55，‎ 故选B ‎【点评】本题考查程序框图中的循环结构，常用的方法是写出前几次循环的结果找规律，属于一道基础题．‎ ‎　‎ ‎10．设函数f（x）=x﹣lnx（x＞0），则函数f（x）（　　）‎ A．在区间（0，1）内有零点，在区间（1，+∞）内无零点 B．在区间（0，1）内有零点，在区间（1，+∞）内有零点 C．在区间（0，3），（3，+∞）均无零点 D．在区间（0，3），（3，+∞）均有零点 ‎【考点】利用导数研究函数的单调性；根的存在性及根的个数判断；利用导数研究函数的极值．‎ ‎【分析】求出函数的导数，判断函数的极值以及单调性，然后利用零点判定定理推出选项．‎ ‎【解答】解：函数，‎ 则f′（x）=，令=0可得x=3，显然x∈（0，3）时，f′（x）＜0，函数是减函数，‎ x∈（3，+∞）f′（x）＞0，函数是增函数．‎ 并且f（1）=，f（3）=1﹣ln3＜0，‎ 函数在在区间（0，3），（3，+∞）均有零点．‎ 故选：D．‎ ‎【点评】‎ 本题考查函数的导数的应用，函数的零点判定定理的应用，考查转化思想以及计算能力．‎ ‎　‎ ‎11．为了解高中生作文成绩与课外阅读量之间的关系，某研究机构随机抽取60名高中生做问卷调查，得到以下数据：‎ 作文成绩优秀 作文成绩一般 总计 课外阅读量较大 ‎22‎ ‎10‎ ‎32‎ 课外阅读量一般 ‎8‎ ‎20‎ ‎28‎ 总计 ‎30‎ ‎30‎ ‎60‎ 由以上数据，计算得到K2的观测值k≈9.643，根据临界值表，以下说法正确的是（　　）‎ A．在样本数据中没有发现足够证据支持结论“作文成绩优秀与课外阅读量大有关”‎ B．在犯错误的概率不超过0.001的前提下认为作文成绩优秀与课外阅读量大有关 C．在犯错误的概率不超过0.05的前提下认为作文成绩优秀与课外阅读量大有关 D．在犯错误的概率不超过0.005的前提下认为作文成绩优秀与课外阅读量大有关 ‎【考点】独立性检验的应用．‎ ‎【分析】根据所给的观测值，同临界值表中的临界值进行比较，根据P（k≈9.643＞7.879）=0.005，可得结论．‎ ‎【解答】解：∵k≈9.643＞7.879，‎ P（k≈9.643＞7.879）=0.005‎ ‎∴在犯错误的概率不超过0.005的前提下认为作文成绩优秀与课外阅读量大有关．‎ 故选：D．‎ ‎【点评】本题考查独立性检验的应用，本题解题的关键是正确理解临界值对应的概率的意义．‎ ‎　‎ ‎12．学生的语文、数学成绩均被评定为三个等级，依次为“优秀”“合格”“不合格”．若学生甲的语文、数学成绩都不低于学生乙，且其中至少有一门成绩高于乙，则称“学生甲比学生乙成绩好”．如果一组学生中没有哪位学生比另一位学生成绩好，并且不存在语文成绩相同、数学成绩也相同的两位学生，则这一组学生最多有（　　）‎ A．2人 B．3人 C．4人 D．5人 ‎【考点】进行简单的合情推理．‎ ‎【分析】分别用ABC分别表示优秀、及格和不及格，根据题干中的内容推出文成绩得A，B，C的学生各最多只有1个，继而推得学生的人数．‎ ‎【解答】解：用ABC分别表示优秀、及格和不及格，显然语文成绩得A的学生最多只有1个，‎ 语文成绩得B得也最多只有一个，‎ 得C最多只有一个，‎ 因此学生最多只有3人，‎ 显然（AC）（BB）（CA）满足条件，‎ 故学生最多有3个．‎ 故选：B．‎ ‎【点评】本题主要考查了合情推理，关键是找到语句中的关键词，培养了推理论证的能力．‎ ‎　‎ 二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填在答题卷的横线上..‎ ‎13．曲线y=ex+2在P（0，3）处的切线方程是　x﹣y+3=0　．‎ ‎【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程．‎ ‎【分析】欲求在点（0，3）处的切线的方程，只须求出其斜率即可，故先利用导数求出在x=0处的导函数值，再结合导数的几何意义即可求出切线的斜率．从而问题解决．‎ ‎【解答】解：∵y=ex+2，‎ ‎∴y′=ex，‎ ‎∴曲线y=ex+2在点（0，3）处的切线的斜率为：k=e0=1，‎ ‎∴曲线y=ex+2在点（0，3）处的切线的方程为：y=x+3，‎ 故答案为x﹣y+3=0．‎ ‎【点评】小题主要考查利用导数研究曲线上某点切线方程、直线方程的应用等基础知识，考查运算求解能力，考查数形结合思想、化归与转化思想．属于基础题．‎ ‎　‎ ‎14．回归方程=2.5+0.31在样本（4，1.2）处的残差为　﹣9.11　．‎ ‎【考点】线性回归方程．‎ ‎【分析】由题意，预报值=10.31，从而可得残差．‎ ‎【解答】解：由题意，预报值=10.31，‎ 故残差为1.2﹣10.31=﹣9.11．‎ 故答案为：﹣9.11．‎ ‎【点评】本题考查了残差的定义应用，属于基础题．‎ ‎　‎ ‎15．以模型y=cekx去拟合一组数据时，为了求出回归方程，设z=lny，将其变换后得到线性方程z=0.3x+4，则c，k的值分别是　e4　和　0.3　．‎ ‎【考点】线性回归方程．‎ ‎【分析】我们根据对数的运算性质：loga（MN）=logaM+logaN，logaNn=nlogaN，即可得出结论．‎ ‎【解答】解：∵y=cekx，‎ ‎∴两边取对数，可得lny=ln（cekx）=lnc+lnekx=lnc+kx，‎ 令z=lny，可得z=lnc+kx，‎ ‎∵z=0.3x+4，‎ ‎∴lnc=4，k=0.3‎ ‎∴c=e4．‎ 故答案为：e4，0.3．‎ ‎【点评】本题考查的知识点是线性回归方程，其中熟练掌握对数的运算性质，是解答此类问题的关键．‎ ‎　‎ ‎16．已知a，b，c分别为△ABC的三个内角A，B，C的对边，a=2且（2+b）（sinA﹣sinB）=（c﹣b）sinC，则△ABC面积的最大值为　　．‎ ‎【考点】余弦定理；正弦定理．‎ ‎【分析】由正弦定理化简已知可得2a﹣b2=c2﹣bc，结合余弦定理可求A的值，由基本不等式可求bc≤4，再利用三角形面积公式即可计算得解．‎ ‎【解答】解：因为：（2+b）（sinA﹣sinB）=（c﹣b）sinC ‎⇒（2+b）（a﹣b）=（c﹣b）c ‎⇒2a﹣b2=c2﹣bc，‎ 又因为：a=2，‎ 所以：，‎ ‎△ABC面积，‎ 而b2+c2﹣a2=bc ‎⇒b2+c2﹣bc=a2‎ ‎⇒b2+c2﹣bc=4‎ ‎⇒bc≤4‎ 所以：，即△ABC面积的最大值为．‎ 故答案为：．‎ ‎【点评】本题主要考查了正弦定理，余弦定理，基本不等式，三角形面积公式在解三角形中的应用，考查了计算能力和转化思想，属于中档题．‎ ‎　‎ 三、解答题：本大题共6小题，满分70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 ‎17．（10分）（2016秋•临淄区校级期末）如图，在△ABC中，AC=10，，BC=6，D是边BC延长线上的一点，∠ADB=30°，求AD的长．‎ ‎【考点】余弦定理．‎ ‎【分析】利用余弦定理，求出∠ACB=60°，∠ACD=120°，在△ACD中，AC=10，∠ADB=30°，∠ACD=120°，利用正弦定理可得结论．‎ ‎【解答】解：在△ABC中，AB=10，AC=14，BC=6，‎ 由余弦定理得，‎ 所以∠ACB=60°，∠ACD=120°，‎ 在△ACD中，AC=10，∠ADB=30°，∠ACD=120°，…8分 由正弦定理得，‎ 所以…12分．‎ ‎【点评】本题考查正弦、余弦定理的运用，考查学生的计算能力，属于中档题．‎ ‎　‎ ‎18．（12分）（2007•潍坊二模）某班主任对全班50名学生学习积极性和对待班级工作的态度进行了调查，统计数据如下表所示：‎ 积极参加班级工作 不太主动参加班级工作 合计 学习积极性高 ‎18‎ ‎7‎ ‎25‎ 学习积极性一般 ‎6‎ ‎19‎ ‎25‎ 合计 ‎24‎ ‎26‎ ‎50‎ ‎（1）如果随机抽查这个班的一名学生，那么抽到积极参加班级工作的学生的概率是多少？抽到不太主动参加班级工作且学习积极性一般的学生的概率是多少？‎ ‎（2）试运用独立性检验的思想方法点拨：学生的学习积极性与对待班级工作的态度是否有关系？并说明理由．（参考下表）‎ p（K2≥k0）‎ ‎0.50‎ ‎0.40‎ ‎0.25‎ ‎0.15‎ ‎0.10‎ ‎0.05‎ ‎0.025‎ ‎0.010‎ ‎0.005‎ ‎0.001‎ k0‎ ‎0.455‎ ‎0.708‎ ‎1.323‎ ‎2.072‎ ‎2.706‎ ‎3.841‎ ‎5.024‎ ‎6.635‎ ‎7.789‎ ‎10.828‎ ‎【考点】独立性检验．‎ ‎【分析】（1）是一古典概型问题，把基本事件的总数与满足要求的个数找出来，代入古典概率的计算公式即可．‎ ‎（2）是独立性检验的应用，由题中的数据，计算出k2与临界值比较即可得出结论 ‎【解答】解：（1）积极参加班级工作的学生有24人，总人数为50人，概率为；‎ 不太主动参加班级工作且学习积极性一般的学生有19人，概率为．‎ ‎（2）k2==≈11.5，‎ ‎∵K2＞6.635，‎ ‎∴有99%的把握说学习积极性与对待班级工作的态度有关系．‎ ‎【点评】本题把独立性检验，概率的求法，列联表等知识联系在一起，是道综合性题，难度不大，符合新课标对于本部分的要求，希望通过本题把相关知识掌握好．‎ ‎　‎ ‎19．（12分）（2016春•东城区期末）已知{an}是等差数列，满足a1=3，a4=12，数列{bn}满足b1=4，b4=20，且{bn﹣an}为等比数列．‎ ‎（1）求数列{an}和{bn}的通项公式；‎ ‎（2）求数列{bn}的前n项和．‎ ‎【考点】数列的求和；数列递推式．‎ ‎【分析】（1）利用等差数列、等比数列的通项公式先求得公差和公比，即可求数列的通项公式；‎ ‎（2）利用分组求和的方法求解数列的和，由等差数列及等比数列的前n项和公式即可求解数列的和．‎ ‎【解答】解：（1）设等差数列{an}的公差为d，由题意得 d===3．‎ ‎∴an=a1+（n﹣1）d=3n（n=1，2，…）．‎ ‎∴数列{an}的通项公式为：an=3n；‎ 设等比数列{bn﹣an}的公比为q，由题意得：‎ q3===8，解得q=2．‎ ‎∴bn﹣an=（b1﹣a1）qn﹣1=2n﹣1．‎ 从而bn=3n+2n﹣1（n=1，2，…）．‎ ‎∴数列{bn}的通项公式为：bn=3n+2n﹣1；‎ ‎（2）由（1）知bn=3n+2n﹣1（n=1，2，…）．‎ 数列{3n}的前n项和为n（n+1），数列{2n﹣1}的前n项和为=2n﹣1．‎ ‎∴数列{bn}的前n项和为n（n+1）+2n﹣1．‎ ‎【点评】本题考查了等差数列、等比数列的通项公式，考查了利用分组求和的方法求解数列的前n项和，是中档题．‎ ‎　‎ ‎20．（12分）（2015春•文昌校级期末）某种产品的广告费支出x与销售额y（单位：百万元）之间有如下对应数据：‎ x ‎2‎ ‎4‎ ‎5‎ ‎6‎ ‎8‎ y ‎30‎ ‎40‎ ‎60‎ ‎50‎ ‎70‎ ‎（1）画出散点图；‎ ‎（2）求回归直线方程；‎ ‎（3）试预测广告费支出为10百万元时，销售额多大？‎ 参考公式：b==‎ ‎．‎ ‎【考点】线性回归方程．‎ ‎【分析】（1）把所给的五组数据作为五个点的坐标描到直角坐标系中，得到散点图，‎ ‎（2）根据所给的数据先做出数据的平均数，即样本中心点，根据最小二乘法做出线性回归方程的系数，写出线性回归方程．‎ ‎（3）把所给的广告费支出为10百万元时，代入线性回归方程，做出对应的销售额，这是一个预报值，与真实值之间有一个误差．‎ ‎【解答】解：（1）把所给的五组数据作为五个点的坐标描到直角坐标系中，得到散点图，如图 ‎（2）==5， ==50，‎ xiyi=1390， xi2=145，‎ ‎∴b=7，a=15，‎ ‎∴线性回归方程为y=7x+15．‎ ‎（3）当x=10时，y=85．‎ 即当广告费支出为10百万元时，销售额为85百万元．‎ ‎【点评】本题考查线性回归方程的求法和应用，本题解题的关键是利用最小二乘法求出线性回归方程的系数，这是解答正确的主要环节．‎ ‎　‎ ‎21．（12分）（2016•新课标Ⅰ）已知函数f（x）=（x﹣2）ex+a（x﹣1）2．‎ ‎（Ⅰ）讨论f（x）的单调性；‎ ‎（Ⅱ）若f（x）有两个零点，求a的取值范围．‎ ‎【考点】利用导数研究函数的单调性；函数零点的判定定理．‎ ‎【分析】（Ⅰ）求出f（x）的导数，讨论当a≥0时，a＜﹣时，a=﹣时，﹣＜a＜0，由导数大于0，可得增区间；由导数小于0，可得减区间；‎ ‎（Ⅱ）由（Ⅰ）的单调区间，对a讨论，结合单调性和函数值的变化特点，即可得到所求范围．‎ ‎【解答】解：（Ⅰ）由f（x）=（x﹣2）ex+a（x﹣1）2，‎ 可得f′（x）=（x﹣1）ex+2a（x﹣1）=（x﹣1）（ex+2a），‎ ‎①当a≥0时，由f′（x）＞0，可得x＞1；由f′（x）＜0，可得x＜1，‎ 即有f（x）在（﹣∞，1）递减；在（1，+∞）递增；‎ ‎②当a＜0时，若a=﹣，则f′（x）≥0恒成立，即有f（x）在R上递增；‎ 若a＜﹣时，由f′（x）＞0，可得x＜1或x＞ln（﹣2a）；‎ 由f′（x）＜0，可得1＜x＜ln（﹣2a）．‎ 即有f（x）在（﹣∞，1），（ln（﹣2a），+∞）递增；‎ 在（1，ln（﹣2a））递减；‎ 若﹣＜a＜0，由f′（x）＞0，可得x＜ln（﹣2a）或x＞1；‎ 由f′（x）＜0，可得ln（﹣2a）＜x＜1．‎ 即有f（x）在（﹣∞，ln（﹣2a）），（1，+∞）递增；‎ 在（ln（﹣2a），1）递减；‎ ‎（Ⅱ）‎ ‎①由（Ⅰ）可得当a＞0时，f（x）在（﹣∞，1）递减；在（1，+∞）递增，‎ ‎ 且f（1）=﹣e＜0，x→+∞，f（x）→+∞；x→﹣∞，f（x）→+∞．f（x）有两个零点；‎ ‎②当a=0时，f（x）=（x﹣2）ex，所以f（x）只有一个零点x=2；‎ ‎③当a＜0时，‎ 若a＜﹣时，f（x）在（1，ln（﹣2a））递减，在（﹣∞，1），（ln（﹣2a），+∞）递增，‎ 又当x≤1时，f（x）＜0，所以f（x）不存在两个零点；‎ 当a≥﹣时，f（x）在（1，+∞）单调递增，又x≤1时，f（x）＜0，所以f（x）不存在两个零点．‎ 综上可得，f（x）有两个零点时，a的取值范围为（0，+∞）．‎ ‎【点评】本题考查导数的运用：求单调区间，考查函数零点的判断，注意运用分类讨论的思想方法和函数方程的转化思想，考查化简整理的运算能力，属于难题．‎ ‎　‎ ‎22．（12分）（2015秋•福建期末）已知椭圆两焦点，并且经过点．‎ ‎（1）求椭圆的方程；‎ ‎（2）若过点A（0，2）的直线l与椭圆交于不同的两点M、N（M在A、N之间），试求△OAM与△OAN面积之比的取值范围．‎ ‎【考点】椭圆的简单性质．‎ ‎【分析】（1）设椭圆方程为（a＞b＞0），运用椭圆的定义，可得a=2，结合a，b，c的关系，求得b，进而得到椭圆方程；‎ ‎（2）设l方程为y=kx+2（k≠0），M（x1，y1），N（x2，y2），代入椭圆方程，运用判别式大于0和韦达定理，令，代入化简整理，运用不等式的性质，即可得到所求范围．‎ ‎【解答】解：（1）因为椭圆的焦点在x上，‎ 所以设椭圆方程为（a＞b＞0），‎ 由定义得 ‎，‎ ‎∴a=2，b2=4﹣3=1，所以椭圆方程为；‎ ‎（2）由题意知直线l的斜率存在且不为零，设l方程为y=kx+2（k≠0），‎ 设M（x1，y1），N（x2，y2），‎ 由整理得（1+4k2）x2+16kx+12=0，‎ 由△=256k2﹣48（1+4k2）＞0，得；‎ ‎，‎ 令，‎ ‎∵x1x2＞0，∴x1，x2同号，∴∴x1=λx2，‎ ‎∴，‎ ‎∴‎ ‎∴‎ ‎∵∴，解得，‎ ‎∵0＜λ＜1∴，‎ 所以△OAM与△OAN面积之比的取值范围是．‎ ‎【点评】本题考查椭圆的方程的求法，注意运用定义法，考查直线方程和椭圆方程联立，运用韦达定理和三角形的面积公式，考查化简整理的运算能力，属于中档题．‎