数学文卷·2018届江西省九江一中高二下学期期末考试（2017-07）

数学文卷·2018届江西省九江一中高二下学期期末考试（2017-07）

九江市一中2016-2017学年下学期期末考试 高二数学（文科）试题 一、选择题（共12小题，每题5分有且只有一个正确答案）‎ ‎1．已知集合， ，若，则实数的取值范围是（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎2．设复数满足，则=（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎3．在等比数列｛｝中，若，且，则 =（ ）‎ A. B. C. D. 6‎ ‎4．若， ，则的值为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎5．一个四面体的顶点在空间直角坐标系中的坐标分别是，绘制该四面体三视图时, 按照如下图所示的方向画正视图，则得到左视图可以为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎6．执行如右图程序框图，输出的为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎7．已知向量满足， ，则 A. B. C. D. ‎ ‎8．设实数， 满足约束条件，则目标函数的取值范围为 A. B. C. D. ‎ ‎9．已知函数，则（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎10．已知直线的斜率为2， 、是直线与双曲线C： ， 的两个交点，设、的中点为（2，1），则双曲线C的离心率为（　　）‎ A. B. C. 2 D. ‎ ‎11．数列满足，且对于任意的都有，则 等于 （ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎12．若，函数与的值至少有一个为正数，则实数的取值范围为( ) ‎ A. （0,4] B. （0,8） C. （2,5） D. ‎ 二、填空题 ‎13．函数的定义域为_________．‎ ‎14．已知圆的半径为，圆心在轴的正半轴上，直线与圆相切，则圆的一般方程是__________．‎ ‎15．若， 都是正数，且，则的最小值为__________．‎ ‎16．已知函数在函数的零点个数__________．‎ 三、解答题 ‎17．在中，内角的对边分别为，且.‎ ‎（1）求角的大小；‎ ‎（2）若， ，求的值及的面积 ‎18．如图，在四棱锥中中，平面,平面， .‎ ‎（1）求到平面的距离；‎ ‎（2）在线段上是否存在一点，使//平面？若存在，求出的值；若不存在，说明理由.‎ ‎19．某高职院校进行自主招生文化素质考试，考试内容为语文、数学、英语三科，总分为200分.现从上线的考生中随机抽取20人，将其成绩用茎叶图记录如下：‎ 男 女 ‎15‎ ‎6‎ ‎5‎ ‎4‎ ‎16‎ ‎3‎ ‎5‎ ‎8‎ ‎8‎ ‎2‎ ‎17‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎6‎ ‎8‎ ‎8‎ ‎8‎ ‎6‎ ‎5‎ ‎18‎ ‎5‎ ‎7‎ ‎19‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎（Ⅰ）计算上线考生中抽取的男生成绩的方差；（结果精确到小数点后一位）‎ ‎（Ⅱ）从上述茎叶图180分以上的考生中任选2人作为考生代表出席座谈会，求所选考生恰为一男一女的概率.‎ ‎20．椭圆的中心在坐标原点，焦点在轴上，焦点到短轴端点的距离为2，离心率为.‎ ‎（Ⅰ）求该椭圆的方程；‎ ‎（Ⅱ）若直线与椭圆交于， 两点且，是否存在以原点为圆心的定圆与直线相切？若存在求出定圆的方程；若不存在，请说明理由 ‎21．已知函数. ‎ ‎（1）求函数的单调区间；‎ ‎（2）若对任意的，不等式，对恒成立，求实数的取值范围.‎ ‎（22题、23题任选一题，两题都做的，以22题计分。）‎ ‎22．选修4-4：坐标系与参数方程 在平面直角坐标系中，直线的参数方程是（为参数），以为极点，轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线的极坐标方程为，且直线与曲线交于，两点.‎ ‎（Ⅰ）求曲线的直角坐标方程及直线恒过的定点的坐标；‎ ‎（Ⅱ）在（Ⅰ）的条件下，若，求直线的普通方程.‎ ‎23．选修4—5：不等式选讲 ‎ 已知函数， .‎ ‎（Ⅰ）当，解不等式；‎ ‎（Ⅱ）若存在，使得成立，求实数的取值范围.‎ 参考答案 ‎1．C ‎【解析】 ,选C.‎ ‎2．C ‎【解析】由题意可得： .‎ 本题选择C选项.‎ ‎3．A ‎【解析】 ， 与 为方程 的两个根，解得 或 ， ， ，故 ，故选A.‎ ‎4．A ‎【解析】由题意可得： ，‎ 结合两角和差正余弦公式有：‎ ‎ .‎ 本题选择A选项.‎ ‎5．B ‎【解析】将四面体放在如图正方体中，得到如图四面体，得到如图的左视图，故选B.‎ ‎6．A ‎【解析】时， 否，所以， 是 ， 否，所以， 是， ， 是， ， 是， ， 否，所以， 是， ， 否，所以， 是， ， 是， ， 否，输出 ，故选A.‎ ‎7．B ‎【解析】由即，得，‎ 而，故，故选B.‎ ‎8．C ‎【解析】可行域为一个三角形ABC及其内部,其中 ,直线过点B时取最大值4,过点C时取最小值,因此目标函数的取值范围为 ,选C.‎ 点睛：线性规划问题，首先明确可行域对应的是封闭区域还是开放区域、分界线是实线还是虚线，其次确定目标函数的几何意义，是求直线的截距、两点间距离的平方、直线的斜率、还是点到直线的距离等等，最后结合图形确定目标函数最值取法、值域范围.‎ ‎9．D ‎【解析】 ， ，所以，故选D.‎ ‎10．A ‎【解析】设 则, 点（2，1）是AB的中点, ,, 直线的斜率为2, , 得, , . ‎ ‎11．D ‎【解析】由题意可得：，则：‎ ‎，‎ 以上各式相加可得：，则：，‎ ‎.‎ 本题选择D选项.‎ 点睛：数列的递推关系是给出数列的一种方法，根据给出的初始值和递推关系可以依次写出这个数列的各项，由递推关系求数列的通项公式，常用的方法有：①求出数列的前几项，再归纳猜想出数列的一个通项公式；②‎ 将已知递推关系式整理、变形，变成等差、等比数列，或用累加法、累乘法、迭代法求通项．使用裂项法求和时，要注意正负项相消时消去了哪些项，保留了哪些项，切不可漏写未被消去的项，未被消去的项有前后对称的特点，实质上造成正负相消是此法的根源与目的．‎ ‎12．B ‎【解析】当m≤0时，当x接近+∞时，函数f(x)=2mx2-2(4-m)x+1与g(x)=mx均为负值，显然不成立.‎ 当x=0时，f(0)=1＞0，符合题意.‎ 当m＞0时，‎ 若，即0＜m≤4，函数f(x)与x轴的交点都在y轴右侧，结论显然成立.‎ 若时，只要△=4(4-m)2‎-8m=4(m-8)(m-2)＜0即可，即4＜m＜8.‎ 综上可得0＜m＜8.‎ 本题选择B选项.‎ ‎13．或 ‎ ‎【解析】令,解得或,故填或.‎ ‎14．‎ ‎【解析】解：直线与圆相切，设圆心坐标为(a,0)，‎ 则圆方程为：(x−a)2+y2=4，‎ ‎∵圆心与切点连线必垂直于切线，‎ 根据点与直线距离公式，得,‎ 解得a=2或 ，(因圆心在正半轴,不符合舍去)，∴a=2，‎ ‎∴圆C的方程为：(x−2)2+y2=4.‎ 整理为一般方程为： .‎ 点睛：求圆的方程，主要有两种方法：‎ ‎(1)几何法：具体过程中要用到初中有关圆的一些常用性质和定理．如：①圆心在过切点且与切线垂直的直线上；②圆心在任意弦的中垂线上；③两圆相切时，切点与两圆心三点共线．‎ ‎(2)待定系数法：根据条件设出圆的方程，再由题目给出的条件，列出等式，求出相关量．一般地，与圆心和半径有关，选择标准式，否则，选择一般式．不论是哪种形式，都要确定三个独立参数，所以应该有三个独立等式．‎ ‎15．‎ ‎【解析】由题可知： ，故==当且仅当x=y时取得等号 ‎16．4‎ ‎【解析】当时， ，所以，或，本题转化为上述方程有几解，当时， 或，当时， 或，所以共有四个解，因此零点个数为4个，故填：4．‎ ‎17．（1）;(2) ， ， .‎ ‎【解析】试题分析：（1）由正弦定理化简已知等式可得 ，由于 ，可求 的值，结合范围 ，利用特殊角的三角函数值即可求得 的值；（2）根据正弦定理可得 ，利用余弦定理可求 ，联立即可解得 的值，利用三角形面积公式即可计算得解.‎ 试题解析：（1）由及正弦定理得 ‎ ， ，而 故.‎ ‎（2）由及得. ①‎ 又 ，由余弦定理 ，得 . ②‎ 由①②得， .‎ ‎ 的面积.‎ ‎18．（1）（2）见解析 ‎【解析】试题分析：‎ ‎(1)利用等体积法结合题意可求得到平面的距离为；‎ ‎(2)当时满足题意，利用题中所给的条件进行证明即可.‎ 试题解析：‎ 解：（1）方法一：因为平面，,又,‎ 所以平面，又，所以到平面的距离为.‎ 方法二：等积法求高.‎ ‎（2）解：在线段上存在一点，使平面，‎ 下面给出证明：设为线段上的一点，且,‎ 过点作交于点，则,‎ 因为平面，平面，‎ 所以，又，所以,‎ 所以四边形是平行四边形，‎ 所以，又平面,平面，‎ 所以平面.‎ ‎19．（1）（2）‎ ‎【解析】试题分析：根据茎叶图中提供的数据，可以求出统计量，如众数、中位数、均值、方差等，要记住公式，计算要准确.求概率问题，列出基本事件的种数时一定要根据题意去列，有的题用列表法，有的题只能列举，列举时要按规律去列，以保证不重不漏.‎ 试题解析：（Ⅰ）依题意：样本中男生共6人，成绩分别为164、165、172、178、185、186.‎ 他们的总分为1050，平均分为175.‎ ‎ .‎ ‎（Ⅱ）样本中180分以上的考生有男生2人，记为、，女生4人，记为、、、，‎ 从中任选2人，有、、、、、、、、、、、、、、共15种，‎ 符合条件的有： 、、、、、、、8种，‎ 故所求概率.‎ ‎【点睛】本题为统计问题，是高考必考的应用问题，统计问题考查主要有线性回归、茎叶图、频率分布直方图、独立性检验等，而和函数应用题巧妙结合是考查为近年高考最时髦的命题方法法，茎叶图问题主要考查统计量的计算，如众数、中位数、均值、方差等，与概率结合考查概率的求法.‎ ‎20．（1）椭圆方程为；（2）存在，方程为.‎ ‎【解析】试题分析：（1）根据椭圆几何性质可知，椭圆焦点到短轴端点的距离为，即，又离心率，所以，则，所以椭圆方程为；（2）若直线斜率存在时，设直线： ，将直线方程与椭圆方程联立，消去未知数，得到关于的一元二次方程，设， ，然后表示出韦达定理，由于，转化为，即，坐标表示为，于是得到关于的等式，再求原点O到直线AB的距离，与前面的等式联立化简、整理可以得出，最后得到圆的方程.‎ 试题解析：（Ⅰ）设椭圆的半焦距为，‎ ‎∵椭圆的中心在坐标原点，焦点在轴上，焦点到短轴端点的距离为2，离心率为，‎ ‎∴由题意，且，解得， .‎ ‎∴所求椭圆方程为.‎ ‎（Ⅱ）设， ，若存在，则设直线： ，由，得 ‎∴，且，由，知 ，代入得，原点到直线的距离，‎ 当的斜率不存在时， ，得， ，依然成立 ‎∴点到直线的距离为定值.‎ ‎∴定圆方程为.‎ 方法点睛：解决直线与圆锥曲线相交问题时，要注意讨论直线的斜率是否存在，有过直线与圆锥曲线相交涉及到角度问题时，可以用向量表示其角度关系，然后转化为坐标的运算，这是比较常见的考查方式.本题化为，即，最后转化为.‎ ‎21．（1）见解析；（2）.‎ ‎【解析】试题分析：（1）求导得，讨论和即可；‎ ‎（2）对，即恒成立，有 ‎，令求最值即可.‎ 试题解析：‎ ‎(1) ,所以①当，即时， 在上恒成立， 在上单调递增.②当时，由，得（不符合题意，舍），，所以由得，由得， 在上单调递减，在上单调递增.综上所述，当时， 的递增区间为，无递减区间；当时， 的递增区间为 ，递减区间为.‎ ‎(2) 对，即，‎ 又恒成立，‎ ‎.‎ 令，则，‎ 又时， ， 在上是减函数， ，即.‎ 点睛：利用导数解决不等式恒成立问题的“两种”常用方法 ‎（1）分离参数法：将原不等式分离参数，转化为不含参数的函数的最值问题，利用导数求该函数的最值，根据要求得所求范围.一般地，f(x)≥a恒成立，只需f(x)min≥a即可；f(x)≤a恒成立，只需f(x)max≤a即可.(2)函数思想法：将不等式转化为某含待求参数的函数的最值问题，利用导数求该函数的极值(最值)，然后构建不等式求解.‎ ‎22．（Ⅰ）：,; （Ⅱ）.‎ ‎【解析】试题分析：‎ ‎(1)极坐标化为直角坐标可得曲线C的直角坐标方程为，‎ 由直线的参数方程可得直线恒过定点.‎ ‎(2)将直线方程与椭圆的普通方程联立，结合题意所给的条件可得直线的普通方程为.‎ 试题解析：‎ ‎（Ⅰ）因为，，所以：.直线恒过定点为.‎ ‎（Ⅱ）把直线的方程代入曲线的直角坐标方程中得：.‎ 由的几何意义知，，因为点在椭圆内，这个方程必有两个实根，‎ 所以，因为，即，‎ 所以，因为，所以，‎ 因此，直线的方程为.‎ ‎23．（1）（2）‎ ‎【解析】解：（Ⅰ）由，得， ‎ 两边平方，并整理得， ‎ 所以不等式的解集为. ‎ ‎（Ⅱ）法一：‎ 由，得，即. ‎ 令，依题意可得. ‎ ‎， ‎ 当且仅当时，上述不等式的等号同时成立，所以.‎ 所以的取值范围是. ‎ 法二：‎ 由，得，即. ‎ 令，依题意可得. ‎ ‎， ‎ 易得在上单调递增，在上单调递减，‎ 所以当时， 取得最大值. ‎ 故的取值范围是.‎