江苏省高邮中学2018-2019学年高二上学期期中考试数学试卷

江苏省高邮中学2018-2019学年高二上学期期中考试数学试卷

‎2018-2019学年第一学期高二期中调研测试 数学试题 一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分. 不需写出解答过程．请把答案直接填写在答题卡相应位置上.‎ 1. 命题“，”的否定是 ▲ ． ‎ 2. 过点且与直线垂直的直线方程是 ▲ ． ‎ 3. 抛物线的准线方程是 ▲ ． ‎ 4. 命题“若，则”的否命题是 ▲ ． ‎ 5. 若圆的半径为3,圆心与点关于点对称,则圆的标准方程为 ▲ ． ‎ 6. ‎“直线与圆相切”是“”的 ▲ ．(填“充分不必要条件”、“必要不充分条件”、“充要条件”、“既不充分又不必要条件”中的一个) ‎ 7. 若抛物线上一点M到焦点的距离为3，则点M到y轴的距离为 ▲ ．‎ 8. 直线与直线平行，则与间的距离为 ▲ ． ‎ 9. 椭圆的左、右两焦点分别为，椭圆上一点满足，则的面积为 ▲ ．‎ 10. 已知双曲线的一条渐近线平行于直线l：，且它的一个焦点在直线l上，则双曲线C的方程为 ▲ ． ‎ 11. 已知椭圆的左焦点为，下顶点为．若平行于且在轴上截距为的直线与圆相切，则该椭圆的离心率为 ▲ ．‎ 1. 椭圆C：的左顶点为A，左焦点为F，过点A且斜率为k的直线交椭圆C于另一个点B，BF垂直于x轴，若＜k＜, 则椭圆的离心率的取值范围是 ▲ ． ‎ 2. 过点作直线与圆交于两点，且为中点，则弦的长为 ▲ ． ‎ 3. 已知点，，圆（）上存在唯一的点，使，则实数的值是 ▲ ． ‎ 二、解答题：（本大题共6小题，共90分。请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）‎ ‎15. (本题满分14分)‎ 在平面直角坐标系中,直线的方程为.‎ ‎（Ⅰ） 若直线的斜率为,求实数的值；‎ ‎（Ⅱ）若直线与坐标轴围成的三角形的面积为,求实数的值.‎ ‎16．(本题满分14分)‎ 已知命题， 命题 实数满足：方程表示双曲线．‎ ‎（Ⅰ）若命题为真命题，求实数的取值范围；‎ ‎（Ⅱ）若命题“或”为假命题，求实数的取值范围．‎ ‎17．(本题满分14分)‎ 已知点，圆．‎ ‎（Ⅰ）过点作圆的切线，为切点，求线段的长；‎ ‎（Ⅱ）过点作直线与圆交于两点，且，求直线的方程．‎ ‎18．（本题满分16分）‎ 为迎接第十四届中国双黄鸭蛋节，组委会设计了鸭蛋型图徽.图徽外框由半圆和半椭圆组成（如图），半圆的直径为10，椭圆的离心率为，且短轴与半圆的直径重合，图徽内有一矩形区域用于绘画图案，矩形关于椭圆的长轴对称，且顶点在图徽外框上．‎ ‎（Ⅰ）建立适当的直角坐标系，求出半圆的方程和半椭圆的方程；‎ ‎（Ⅱ）根据美学知识，当时达到最佳美观的效果，求达到最佳美观的效果时的长．‎ ‎19．（本题满分16分）‎ 已知椭圆C的两个顶点分别为A(−2,0)，B(2,0)，焦点在x轴上，离心率为．‎ ‎（Ⅰ）求椭圆C的方程；‎ ‎（Ⅱ）已知点是椭圆上一点，求以点为切点的椭圆的切线方程；‎ ‎（Ⅲ）设点是直线上一动点，过点作椭圆的两条切线，切点分别为，直线是否过定点？如果是，请求出定点坐标；如果不是，请说明理由．‎ ‎20．（本题满分16分）‎ 已知椭圆：，四点中恰有三个点在椭圆上．‎ ‎（Ⅰ）求椭圆的方程；‎ ‎（Ⅱ）如图，动直线：交椭圆于两点，是椭圆上一点，直线的斜率为，且，是线段延长线上一点，且，以为圆的圆半径为，是圆的两条切线，切点分别为．求的最大值，并求取得最大值时直线的斜率．‎ ‎2018-2019学年第一学期期中测试 数学参考答案 一、填空题：‎ ‎1.， 2. 3.4.若，则 ‎5.6.必要不充分条件7.28.9.10.11.12.13.14或 二、解答题：‎ ‎15. 解：（Ⅰ）直线斜率存在时,斜率为,则； ……7分 ‎（Ⅱ）由，时,；时,；‎ 则围成的三角形面积为,‎ 由面积为可得. ……14分 ‎16．解：（Ⅰ）因为恒成立，‎ 则，．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．3分 ‎ ‎　　　解得，所以实数的取值范围是． ．．．．．．．6分 ‎ ‎（Ⅱ）因为“”为假命题，所以为假命题，为假命题． ．．．．．．．8分 当为真命题时，则，解得 所以为假命题时．．．．．．．10分 由（1）知，为假命题时．．．．．．．12分 从而，解得 所以实数的取值范围为．．．．．．．14分 ‎17．解：（Ⅰ）圆：，圆心为，半径2．……2分 ‎ ……4分 连结，则， ……5分 所以 …………6分 ‎（Ⅱ）①设圆心到直线的距离为，‎ ‎，则 ……8分 若直线的斜率不存在，则，满足； ……9分 若直线的斜率存在，设方程为，即 则 令，解得，‎ 此时直线的方程为 ……13分 综上所述，方程为或．…………14分 ‎ （说明：不考虑斜率不存在的情况，扣3分）‎ ‎18．解：（Ⅰ）以半圆的直径为x轴，圆心为坐标原点,建立平面直角坐标系,则半圆的方程为（），…………4分 椭圆的短半轴，所以 所以半椭圆方程为 （）…………8分 ‎（Ⅱ）当的四个顶点均在边界上时，面积最大，设第一象限内的点的横坐标为，则，，‎ ‎……10分 由得，…………12分 解得，‎ 此时…………14分 答：达到最佳美观的效果时为…………16分 ‎19．（Ⅰ）设椭圆的方程为.‎ 由题意得解得.‎ 所以.‎ 所以椭圆的方程为.…………3分 ‎（Ⅱ）（1）如果，则切线的斜率存在，‎ 设切线方程为，即 ‎　　　与椭圆联立，消去整理得：‎ ‎　　（*）‎ 因为直线与椭圆相切，所以方程（*）中 ‎△＝……5分 得　　　 ①‎ 又因为点在椭圆上，所以代入①‎ 得 所以…………6分 所以切线方程为，即…………7分 ‎（2）如果坐标为，则切线方程为，满足…………8分 ‎（3）如果坐标为，则切线方程为，满足 ‎…………9分 综上所述，切线方程为…………10分 ‎（Ⅲ）法一：设，‎ 则由（Ⅱ）可知，方程为 ①‎ 方程为 ②…………12分 由①②解得，由，即 又的方程为，…………13分 令得，…………15分 所以恒过定点．…………16分 法二：设，‎ 则由（Ⅱ）可知，方程为 ‎　　　又点在上，所以…………12分 同理 所以的方程为…………13分 由，得 所以恒过定点．…………16分 ‎20．解：（Ⅰ）由对称性可知，在椭圆上，不在椭圆上，则在椭圆上，所以，将点B代入椭圆方程，可得 所以椭圆方程为………4分 ‎（Ⅱ）设，‎ 联立方程 得，‎ 由题意知，‎ 且，…………6分 所以 .‎ 由题意可知圆的半径为………8分 由题设知，‎ 所以………9分 因此直线的方程为.‎ 联立方程 得，………11分 因此 .‎ 由题意可知 ，………12分 而 ‎，‎ 令，‎ 则，‎ 因此 ，‎ 当且仅当，即时等号成立，此时，………14分 所以 ，‎ 因此，‎ 所以 最大值为.………15分 综上所述：的最大值为，取得最大值时直线的斜率为.……16分