2018年全国普通高等学校招生高考数学模拟试卷（理科）（一）

2018年全国普通高等学校招生高考数学模拟试卷（理科）（一）

‎2018年全国普通高等学校招生高考数学模拟试卷（理科）（一）‎ ‎　‎ 一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.‎ ‎1．（5分）已知集合A={x|2﹣x＞0}，B={x|（）x＜1}，则（　　）‎ A．A∩B={x|0＜x≤2} B．A∩B={x|x＜0} C．A∪B={x|x＜2} D．A∪B=R ‎2．（5分）已知i为虚数单位，a为实数，复数z满足z+3i=a+ai，若复数z是纯虚数，则（　　）‎ A．a=3 B．a=0 C．a≠0 D．a＜0‎ ‎3．（5分）我国数学家邹元治利用如图证明勾股定理，该图中用勾（a）和股（b）分别表示直角三角形的两条直角边，用弦（c）表示斜边，现已知该图中勾为3，股为4，若从图中随机取一点，则此点不落在中间小正方形中的概率是（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎4．（5分）已知等差数列{an}的前n项和为Sn，且S9=6π，则tan a5=（　　）‎ A． B． C．﹣ D．﹣‎ ‎5．（5分）已知函数f（x）=x+（a∈R），则下列结论正确的是（　　）‎ A．∀a∈R，f（x）在区间（0，+∞）内单调递增 B．∃a∈R，f（x）在区间（0，+∞）内单调递减 C．∃a∈R，f（x）是偶函数 D．∃a∈R，f（x）是奇函数，且f（x）在区间（0，+∞）内单调递增 ‎6．（5分）（1+x）（2﹣x）4的展开式中x项的系数为（　　）‎ A．﹣16 B．16 C．48 D．﹣48‎ ‎7．（5分）如图是某个几何体的三视图，则这个几何体的表面积是（　　）‎ A．π+4+4 B．2π+4+4 C．2π+4+2 D．2π+2+4‎ ‎8．（5分）若a＞1，0＜c＜b＜1，则下列不等式不正确的是（　　）‎ A．log2018a＞log2018b B．logba＜logca C．（a﹣c）ac＞（a﹣c）ab D．（c﹣b）ac＞（c﹣b）ab ‎9．（5分）执行如图所示的程序框图，若输出的n值为11，则判断框中的条件可以是（　　）‎ A．S＜1022？ B．S＜2018？ C．S＜4095？ D．S＞4095？‎ ‎10．（5分）已知函数f（x）=2sin（ωx+φ）（ω＞0，|φ|≤）的部分图象如图所示，将函数f（x）的图象向左平移个单位长度后，所得图象与函数y=g（x）的图象重合，则（　　）‎ A．g（x）=2sin（2x+） B．g（x）=2sin（2x+） C．g（x）=2sin2x D．g（x）=2sin（2x﹣）‎ ‎11．（5分）已知抛物线C：y2=4x的焦点为F，过点F作斜率为1的直线l交抛物线C与P、Q两点，则+的值为（　　）‎ A． B． C．1 D．2‎ ‎12．（5分）已知数列{an}中，a1=2，n（an+1﹣an）=an+1，n∈N*，若对于任意的a ‎∈[﹣2，2]，n∈N*，不等式＜2t2+at﹣1恒成立，则实数t的取值范围为（　　）‎ A．（﹣∞，﹣2]∪[2，+∞） B．（﹣∞，﹣2]∪[1，+∞） C．（﹣∞，﹣1]∪[2，+∞） D．[﹣2，2]‎ ‎　‎ 二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）‎ ‎13．（5分）已知向量=（1，λ），=（3，1），若向量2﹣与=（1，2）共线，则向量在向量方向上的投影为　 　．‎ ‎14．（5分）若实数x，y满足，则z=x﹣3y+1的最大值是　 　．‎ ‎15．（5分）过双曲线﹣=1（a＞0，b＞0）的下焦点F1作y轴的垂线，交双曲线于A，B两点，若以AB为直径的圆恰好过其上焦点F2，则双曲线的离心率为　 　．‎ ‎16．（5分）一底面为正方形的长方体各棱长之和为24，则当该长方体体积最大时，其外接球的体积为　 　．‎ ‎　‎ 三、解答题（本大题共5小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）‎ ‎17．（12分）如图，在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若2acosA=bcosC+ccosB．‎ ‎（1）求角A的大小；‎ ‎（2）若点D在边AC上，且BD是∠ABC的平分线，AB=2，BC=4，求AD的长．‎ ‎18．（12分）如图，在三棱柱ABC﹣A1B1C1中，侧棱CC1⊥‎ 地面ABC，且CC1=2AC=2BC，AC⊥BC，D是AB的中点，点M在侧棱CC1上运动．‎ ‎（1）当M是棱CC1的中点时，求证：CD∥平面MAB1；‎ ‎（2）当直线AM与平面ABC所成的角的正切值为时，求二面角A﹣MB1﹣C1的余弦值．‎ ‎19．（12分）第一届“一带一路”国际合作高峰论坛于2017年5月14日至15日在北京举行，这是2017年我国重要的主场外交活动，对推动国际和地区合作具有重要意义．某高中政教处为了调查学生对“一带一路”的关注情况，在全校组织了“一带一路知多少”的知识问卷测试，并从中随机抽取了12份问卷，得到其测试成绩（百分制），如茎叶图所示．‎ ‎（1）写出该样本的众数、中位数，若该校共有3000名学生，试估计该校测试成绩在70分以上的人数；‎ ‎（2）从所抽取的70分以上的学生中再随机选取1人．‎ ‎①记X表示选取4人的成绩的平均数，求P（X≥87）；‎ ‎②记ξ表示测试成绩在80分以上的人数，求ξ的分布和数学期望．‎ ‎20．（12分）已知椭圆C：+=1（a＞b＞0）的左、右焦点为F1，F2，离心率为，点P在椭圆C上，且△PF1F2的面积的最大值为2．‎ ‎（1）求椭圆C的方程；‎ ‎（2）已知直线l：y=kx+2（k≠0）与椭圆C交于不同的两点M，N，若在x轴上存在点G，使得|GM|=|GN|，求点G的横坐标的取值范围．‎ ‎21．（12分）设函数f（x）=ex﹣2a﹣ln（x+a），a∈R，e为自然对数的底数．‎ ‎（1）若a＞0，且函数f（x）在区间[0，+∞）内单调递增，求实数a的取值范围；‎ ‎（2）若0＜a＜，试判断函数f（x）的零点个数．‎ ‎　‎ 请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.[选修4-4：坐标系与参数方程]‎ ‎22．（10分）已知在平面直角坐标系xOy中，椭圆C的方程为+=1，以O为极点，x轴的非负半轴为极轴，取相同的长度单位建立极坐标系，直线l的极坐标方程为ρsin（θ+）=3．‎ ‎（1）求直线l的直角坐标方程和椭圆C的参数方程；‎ ‎（2）设M（x，y）为椭圆C上任意一点，求|2x+y﹣1|的最大值．‎ ‎　‎ ‎[选修4-5：不等式选讲]‎ ‎23．已知函数f（x）=|x﹣2|．‎ ‎（1）求不等式f（x）+f（2+x）≤4的解集；‎ ‎（2）若g（x）=f（x）﹣f（2﹣x）的最大值为m，对任意不相等的正实数a，b，证明：af（b）+bf（a）≥m|a﹣b|．‎ ‎　‎ ‎2018年全国普通高等学校招生高考数学模拟试卷（理科）（一）‎ 参考答案与试题解析 ‎　‎ 一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.‎ ‎1．（5分）已知集合A={x|2﹣x＞0}，B={x|（）x＜1}，则（　　）‎ A．A∩B={x|0＜x≤2} B．A∩B={x|x＜0} C．A∪B={x|x＜2} D．A∪B=R ‎【解答】解：集合A={x|2﹣x＞0}={x|x＜2}，‎ B={x|（）x＜1}={x|x＞0}，‎ 则A∩B={x|0＜x＜2}，‎ A∪B=R．‎ 故选：D．‎ ‎　‎ ‎2．（5分）已知i为虚数单位，a为实数，复数z满足z+3i=a+ai，若复数z是纯虚数，则（　　）‎ A．a=3 B．a=0 C．a≠0 D．a＜0‎ ‎【解答】解：由z+3i=a+ai，‎ 得z=a+（a﹣3）i，‎ 又∵复数z是纯虚数，‎ ‎∴，解得a=0．‎ 故选：B．‎ ‎　‎ ‎3．（5分）我国数学家邹元治利用如图证明勾股定理，该图中用勾（a）和股（b）分别表示直角三角形的两条直角边，用弦（c）表示斜边，现已知该图中勾为3，股为4，若从图中随机取一点，则此点不落在中间小正方形中的概率是（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎【解答】解：设直角三角形的长直角边为a=4，短直角边为b=3，‎ 由题意c=5，∵大方形的边长为a+b=3+4=7，小方形的边长为c=5，‎ 则大正方形的面积为49，小正方形的面积为25，‎ ‎∴满足题意的概率值为：1﹣=．‎ 故选：B．‎ ‎　‎ ‎4．（5分）已知等差数列{an}的前n项和为Sn，且S9=6π，则tan a5=（　　）‎ A． B． C．﹣ D．﹣‎ ‎【解答】解：由等差数列的性质可得：S9=6π==9a5，‎ ‎∴a5=．‎ 则tan a5=tan=﹣．‎ 故选：C．‎ ‎　‎ ‎5．（5分）已知函数f（x）=x+（a∈R），则下列结论正确的是（　　）‎ A．∀a∈R，f（x）在区间（0，+∞）内单调递增 B．∃a∈R，f（x）在区间（0，+∞）内单调递减 C．∃a∈R，f（x）是偶函数 D．∃a∈R，f（x）是奇函数，且f（x）在区间（0，+∞）内单调递增 ‎【解答】解：当a≤0时，函数f（x）=x+在区间（0，+∞）内单调递增，‎ 当a＞0时，函数f（x）=x+在区间（0，]上单调递减，在[，+∞）内单调递增，‎ 故A，B均错误，‎ ‎∀a∈R，f（﹣x）=﹣f（x）均成立，故f（x）是奇函数，‎ 故C错误，‎ 故选：D．‎ ‎　‎ ‎6．（5分）（1+x）（2﹣x）4的展开式中x项的系数为（　　）‎ A．﹣16 B．16 C．48 D．﹣48‎ ‎【解答】解：∵（2﹣x）4展开式的通项公式为 Tr+1=•24﹣r（﹣x）r，‎ ‎∴（1+x）（2﹣x）4的展开式中x项的系数为﹣•23+24=﹣16，‎ 故选：A．‎ ‎　‎ ‎7．（5分）如图是某个几何体的三视图，则这个几何体的表面积是（　　）‎ A．π+4+4 B．2π+4+4 C．2π+4+2 D．2π+2+4‎ ‎【解答】解：由三视图可知：该几何体由一个半圆柱与三棱柱组成的几何体．‎ 其直观图如下所示：‎ 其表面积S=2×π•12+2××2×1++﹣2×1=2π+4+4，‎ 故选：B ‎　‎ ‎8．（5分）若a＞1，0＜c＜b＜1，则下列不等式不正确的是（　　）‎ A．log2018a＞log2018b B．logba＜logca C．（a﹣c）ac＞（a﹣c）ab D．（c﹣b）ac＞（c﹣b）ab ‎【解答】解：根据对数函数的单调性可得log2018a＞log2018b正确，logba＜logca正确，‎ ‎∵a＞1，0＜c＜b＜1，‎ ‎∴ac＜ab，a﹣c＞0，‎ ‎∴（a﹣c）ac＜（a﹣c）ab，故C不正确，‎ ‎∵c﹣b＜0，‎ ‎∴（c﹣b）ac＞（c﹣b）ab正确，‎ 故选：C．‎ ‎　‎ ‎9．（5分）执行如图所示的程序框图，若输出的n值为11，则判断框中的条件可以是（　　）‎ A．S＜1022？ B．S＜2018？ C．S＜4095？ D．S＞4095？‎ ‎【解答】解：第1次执行循环体，S=3，应不满足输出的条件，n=2，‎ 第2次执行循环体，S=7，应不满足输出的条件，n=3，‎ 第3次执行循环体，S=15，应不满足输出的条件，n=4，‎ 第4次执行循环体，S=31，应不满足输出的条件，n=5，‎ 第5次执行循环体，S=63，应不满足输出的条件，n=6，‎ 第6次执行循环体，S=127，应不满足输出的条件，n=7，‎ 第7次执行循环体，S=255，应不满足输出的条件，n=8，‎ 第8次执行循环体，S=511，应不满足输出的条件，n=9，‎ 第9次执行循环体，S=1023，应不满足输出的条件，n=10，‎ 第10次执行循环体，S=2047，应不满足输出的条件，n=11‎ 第11次执行循环体，S=4095，应满足输出的条件，‎ 故判断框中的条件可以是S＜4095？，‎ 故选：C．‎ ‎　‎ ‎10．（5分）已知函数f（x）=2sin（ωx+φ）（ω＞0，|φ|≤）的部分图象如图所示，将函数f（x）的图象向左平移个单位长度后，所得图象与函数y=g（x）的图象重合，则（　　）‎ A．g（x）=2sin（2x+） B．g（x）=2sin（2x+） C．g（x）=2sin2x D．g（x）=2sin（2x﹣）‎ ‎【解答】解：根据函数f（x）=2sin（ωx+φ）（ω＞0，|φ|≤）的部分图象，可得==+，∴ω=2，‎ 根据+φ=2•（﹣）+φ=0，∴φ=，故f（x）=2sin（2x+）．‎ 将函数f（x）的图象向左平移个单位长度后，所得图象与函数y=g（x）的图象重合，‎ 故g（x）=2sin（2x++）=2sin（2x+）．‎ 故选：A．‎ ‎　‎ ‎11．（5分）已知抛物线C：y2=4x的焦点为F，过点F作斜率为1的直线l交抛物线C与P、Q两点，则+的值为（　　）‎ A． B． C．1 D．2‎ ‎【解答】解：抛物线C：y2‎ ‎=4x的焦点为F（1，0），过点F作斜率为1的直线l：y=x﹣1，‎ 可得，‎ 消去y可得：x2﹣6x+1=0，可得xP+xQ=6，xPxQ=1，‎ ‎|PF|=xP+1，|QF|=xQ+1，‎ ‎|PF||QF|=xQ+xP+xPxQ+1=6+1+1=8，‎ 则+===1．‎ 故选：C．‎ ‎　‎ ‎12．（5分）已知数列{an}中，a1=2，n（an+1﹣an）=an+1，n∈N*，若对于任意的a∈[﹣2，2]，n∈N*，不等式＜2t2+at﹣1恒成立，则实数t的取值范围为（　　）‎ A．（﹣∞，﹣2]∪[2，+∞） B．（﹣∞，﹣2]∪[1，+∞） C．（﹣∞，﹣1]∪[2，+∞） D．[﹣2，2]‎ ‎【解答】解：根据题意，数列{an}中，n（an+1﹣an）=an+1，‎ 即nan+1﹣（n+1）an=1，‎ 则有﹣==﹣，‎ 则有=（﹣）+（﹣）+（﹣）+…+（a2﹣a1）+a1‎ ‎=（﹣）+（﹣）+（﹣）+…+（1﹣）+2=3﹣＜3，‎ ‎＜2t2+at﹣1即3﹣＜2t2+at﹣1，‎ ‎∵对于任意的a∈[﹣2，2]，n∈N*，不等式＜2t2+at﹣1恒成立，‎ ‎∴2t2+at﹣1≥3，‎ 化为：2t2+at﹣4≥0，‎ 设f（a）=2t2+at﹣4，a∈[﹣2，2]，‎ 可得f（2）≥0且f（﹣2）≥0，‎ 即有即，‎ 可得t≥2或t≤﹣2，‎ 则实数t的取值范围是（﹣∞，﹣2]∪[2，+∞）．‎ 故选：A．‎ ‎　‎ 二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）‎ ‎13．（5分）已知向量=（1，λ），=（3，1），若向量2﹣与=（1，2）共线，则向量在向量方向上的投影为　0　．‎ ‎【解答】解：向量=（1，λ），=（3，1），‎ 向量2﹣=（﹣1，2λ﹣1），‎ ‎∵向量2﹣与=（1，2）共线，‎ ‎∴2λ﹣1=﹣2，即λ=．‎ ‎∴向量=（1，﹣），‎ ‎∴向量在向量方向上的投影为||•cos＜，＞===0．‎ 故答案为：0．‎ ‎　‎ ‎14．（5分）若实数x，y满足，则z=x﹣3y+1的最大值是　　．‎ ‎【解答】解：实数x，y满足，对应的可行域如图：线段AB，z=x﹣3y+1化为：y=，如果z最大，则直线y=在y轴上的截距最小，作直线l：y=，‎ 平移直线y=至B点时，‎ z=x﹣3y+1取得最大值，联立，‎ 解得B（，）．‎ 所以z=x﹣3y+1的最大值是：．‎ 故答案为：﹣．‎ ‎　‎ ‎15．（5分）过双曲线﹣=1（a＞0，b＞0）的下焦点F1作y轴的垂线，交双曲线于A，B两点，若以AB为直径的圆恰好过其上焦点F2，则双曲线的离心率为　　．‎ ‎【解答】解：过双曲线﹣=1（a＞0，b＞0）的下焦点F1作y轴的垂线，‎ 交双曲线于A，B两点，则|AB|=，‎ 以AB为直径的圆恰好过其上焦点F2，‎ 可得：，∴c2﹣a2﹣2ac=0，可得e2﹣2e﹣1=0，‎ 解得e=1+，e=1﹣舍去．‎ 故答案为：1+．‎ ‎　‎ ‎16．（5分）一底面为正方形的长方体各棱长之和为24，则当该长方体体积最大时，其外接球的体积为　4　．‎ ‎【解答】解：设该项长方体底面边长为x米，‎ 由题意知其高是：=6﹣2x，（0＜x＜3）‎ 则长方体的体积V（x）=x2（6﹣2x），（0＜x＜3），‎ V′（x）=12x﹣6x2=6x（2﹣x），‎ 由V′（x）=0，得x=2，且当0＜x＜2时，V′（x）＞0，V（x）单调递增；‎ 当2＜x＜3时，V′（x）＜0，V（x）单调递减．‎ ‎∴体积函数V（x）在x=2处取得唯一的极大值，即为最大值，‎ 此时长方体的高为6﹣2x=2，‎ ‎∴其外接球的直径2R==2，∴R=，‎ ‎∴其外接球的体积V==4．‎ 故答案为：4．‎ ‎　‎ 三、解答题（本大题共5小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）‎ ‎17．（12分）如图，在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若2acosA=bcosC+ccosB．‎ ‎（1）求角A的大小；‎ ‎（2）若点D在边AC上，且BD是∠ABC的平分线，AB=2，BC=4，求AD的长．‎ ‎【解答】解：（1）∵2acosA=bcosC+ccosB，‎ ‎∴2sinAcosA=sinBcosC+sinCcosB=sin（B+C）=sinA，‎ ‎∵sinA≠0，∴cosA=，‎ ‎∴A=．‎ ‎（2）在△ABC中，由余弦定理的cosA==，‎ 解得AC=1+或AC=1﹣（舍）．‎ ‎∵BD是∠ABC的平分线，‎ ‎∴=，‎ ‎∴AD=AC=．‎ ‎　‎ ‎18．（12分）如图，在三棱柱ABC﹣A1B1C1中，侧棱CC1⊥地面ABC，且CC1=2AC=2BC，AC⊥BC，D是AB的中点，点M在侧棱CC1上运动．‎ ‎（1）当M是棱CC1的中点时，求证：CD∥平面MAB1；‎ ‎（2）当直线AM与平面ABC所成的角的正切值为时，求二面角A﹣MB1﹣C1的余弦值．‎ ‎【解答】证明：（1）取线段AB的中点E，连接DE，EM．∵‎ AD=DB，AE=EB，∴DE∥BB1，ED=，‎ 又M为CC1的中点，∴．‎ ‎∴四边形CDEM是平行四边形．‎ ‎∴CD∥EM，‎ 又EM⊂MAB1，CD⊄MAB1‎ ‎∴CD∥平面MAB1；‎ 解（2）∵CA，CB，CC1两两垂直，∴以C为原点，CA，CB，CC1‎ 所在直线分别为x、y、z轴建立空间直角坐标系．‎ ‎∵在三棱柱ABC﹣A1B1C1中，侧棱CC1⊥地面ABC，可得∠MAC为直线AM与平面ABC所成的角，‎ 设AC=1，tan，得CM=‎ ‎∴C（0，0，0），A（1，0，0），B（0，1，0），B1（0，1，2），M（0，0，）‎ 设AMB1的法向量为，‎ 可取 又平面B1C1CB的法向量为．‎ cos==．‎ ‎∵二面角A﹣MB1﹣C1为钝角，‎ ‎∴二面角A﹣MB1﹣C1的余弦值为﹣．‎ ‎　‎ ‎19．（12分）第一届“一带一路”国际合作高峰论坛于2017年5月14日至15日在北京举行，这是2017年我国重要的主场外交活动，对推动国际和地区合作具有重要意义．某高中政教处为了调查学生对“一带一路”的关注情况，在全校组织了“一带一路知多少”的知识问卷测试，并从中随机抽取了12份问卷，得到其测试成绩（百分制），如茎叶图所示．‎ ‎（1）写出该样本的众数、中位数，若该校共有3000名学生，试估计该校测试成绩在70分以上的人数；‎ ‎（2）从所抽取的70分以上的学生中再随机选取1人．‎ ‎①记X表示选取4人的成绩的平均数，求P（X≥87）；‎ ‎②记ξ表示测试成绩在80分以上的人数，求ξ的分布和数学期望．‎ ‎【解答】解：（1）众数为76，中位数为76，‎ 抽取的12人中，70分以下的有4人，不低于70分的有8人，‎ 故从该校学生中任选1人，这个人测试成绩在70分以上的概率为=，‎ ‎∴该校这次测试成绩在70分以上的约有：3000×=2000人．‎ ‎（2）①由题意知70分以上的有72，76，76，76，82，88，93，94，‎ 当所选取的四个人的成绩的平均分大于87分时，有两类：‎ 一类是：82，88，93，94，共1种；‎ 另一类是：76，88，93，94，共3种．‎ ‎∴P（X≥87）==．‎ ‎②由题意得ξ的可能取值为0，1，2，3，4，‎ P（ξ=0）==，‎ P（ξ=1）==，‎ P（ξ=2）==，‎ P（ξ=3）==，‎ P（ξ=4）==，‎ ‎∴ξ的分布列为：‎ ‎ ξ ‎ 0‎ ‎ 1‎ ‎ 2‎ ‎ 3‎ ‎ 4‎ ‎ P ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎∴E（ξ）==2．‎ ‎　‎ ‎20．（12分）已知椭圆C：+=1（a＞b＞0）的左、右焦点为F1，F2，离心率为，点P在椭圆C上，且△PF1F2的面积的最大值为2．‎ ‎（1）求椭圆C的方程；‎ ‎（2）已知直线l：y=kx+2（k≠0）与椭圆C交于不同的两点M，N，若在x轴上存在点G，使得|GM|=|GN|，求点G的横坐标的取值范围．‎ ‎【解答】解：（1）显然当点P位于短轴端点时，△PF1F2的面积取得最大值，‎ ‎∴，解得，‎ ‎∴椭圆的方程为=1．‎ ‎（2）联立方程组，消元得（8+9k2）x2+36kx﹣36=0，‎ ‎∵直线l恒过点（0，2），∴直线l与椭圆始终有两个交点，‎ 设M（x1，y1），N（x2，y2），则x1+x2=，‎ 设MN的中点为E（x0，y0），则x0=，y0=kx0+2=．‎ ‎∵|GM|=|GN|，∴GE⊥MN，‎ 设G（m，0），则kGE==﹣，‎ ‎∴m==，‎ 当k＞0时，9k+≥2=12．当且仅当9k=，即k=时取等号；‎ ‎∴﹣≤m＜0，‎ 当k＜0时，9k+≤﹣2=﹣12，当且仅当9k=，即k=﹣时取等号；‎ ‎∴0＜m≤．‎ ‎∴点G的横坐标的取值范围是[﹣，0）∪（0，]．‎ ‎　‎ ‎21．（12分）设函数f（x）=ex﹣2a﹣ln（x+a），a∈R，e为自然对数的底数．‎ ‎（1）若a＞0，且函数f（x）在区间[0，+∞）内单调递增，求实数a的取值范围；‎ ‎（2）若0＜a＜，试判断函数f（x）的零点个数．‎ ‎【解答】解：（1）∵函数f（x）在区间[0，+∞）内单调递增，‎ ‎∴f′（x）=ex﹣≥0在区间[0，+∞）恒成立，‎ 即a≥e﹣x﹣x在[0，+∞）恒成立，‎ 记g（x）=e﹣x﹣x，则g′（x）=﹣e﹣x﹣1＜0恒成立，‎ 故g（x）在[0，+∞）递减，‎ 故g（x）≤g（0）=1，a≥1，‎ 故实数a的范围是[1，+∞）；‎ ‎（2）∵0＜a＜，f′（x）=ex﹣，‎ 记h（x）=f′（x），则h′（x）=ex+＞0，‎ 知f′（x）在区间（﹣a，+∞）递增，‎ 又∵f′（0）=1﹣＜0，f′（1）=e﹣＞0，‎ ‎∴f′（x）在区间（﹣a，+∞）内存在唯一的零点x0，‎ 即f′（x0）=﹣=0，‎ 于是x0=﹣ln（x0+a），‎ 当﹣a＜x＜x0时，f′（x）＜0，f（x）递减，‎ 当x＞x0时，f′（x）＞0，f（x）递增，‎ 故f（x）min=f（x0）=﹣2a﹣ln（x0+a）=x0+a+﹣3a≥2﹣3a，‎ 当且仅当x0+a=1时取“=”，‎ 由0＜a＜得2﹣3a＞0，‎ ‎∴f（x）min=f（x0）＞0，即函数f（x）无零点．‎ ‎　‎ 请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.[选修4-4：坐标系与参数方程]‎ ‎22．（10分）已知在平面直角坐标系xOy中，椭圆C的方程为+=1，以O为极点，x轴的非负半轴为极轴，取相同的长度单位建立极坐标系，直线l的极坐标方程为ρsin（θ+）=3．‎ ‎（1）求直线l的直角坐标方程和椭圆C的参数方程；‎ ‎（2）设M（x，y）为椭圆C上任意一点，求|2x+y﹣1|的最大值．‎ ‎【解答】解：（1）根据题意，椭圆C的方程为+=1，‎ 则其参数方程为，（α为参数）；‎ 直线l的极坐标方程为ρsin（θ+）=3，变形可得ρsinθcos+ρcosθsin=3，即ρsinθ+ρcosθ=3，‎ 将x=ρcosθ，y=ρsinθ代入可得x+y﹣6=0，‎ 即直线l的普通方程为x+y﹣6=0；‎ ‎（2）根据题意，M（x，y）为椭圆一点，则设M（2cosθ，4sinθ），‎ ‎|2x+y﹣1|=|4cosθ+4sinθ﹣1|=|8sin（θ+）﹣1|，‎ 分析可得，当sin（θ+）=﹣1时，|2x+y﹣1|取得最大值9．‎ ‎　‎ ‎[选修4-5：不等式选讲]‎ ‎23．已知函数f（x）=|x﹣2|．‎ ‎（1）求不等式f（x）+f（2+x）≤4的解集；‎ ‎（2）若g（x）=f（x）﹣f（2﹣x）的最大值为m，对任意不相等的正实数a，b，证明：af（b）+bf（a）≥m|a﹣b|．‎ ‎【解答】（1）解：不等式f（x）+f（2+x）≤4，‎ 即为|x﹣2|+|x|≤4，‎ 当x≥2时，2x﹣2≤4，即x≤3，则2≤x≤3；‎ 当0＜x＜2时，2﹣x+x≤4，即2≤4，则0＜x＜2；‎ 当x≤0时，2﹣x﹣x≤4，即x≥﹣1，则﹣1≤x≤0．‎ 综上可得，不等式的解集为{x|﹣1≤x≤3}；‎ ‎（2）证明：g（x）=f（x）﹣f（2﹣x）=|x﹣2|﹣|x|，‎ 由|x﹣2|﹣|x|≤|x﹣2﹣x|=2，当且仅当x≤0时，取得等号，‎ 即g（x）≤2，则m=2，‎ 任意不相等的正实数a，b，可得 af（b）+bf（a）=a|b﹣2|+b|a﹣2|‎ ‎=|ab﹣2a|+|ab﹣2b|‎ ‎≥|ab﹣2a﹣ab+2b|=|2a﹣2b|=2|a﹣b|=m|a﹣b|，‎ 当且仅当（a﹣2）（b﹣2）≤0时，取得等号，‎ 即af（b）+bf（a）≥m|a﹣b|．‎ ‎　‎