2018-2019学年福建省宁德市高中同心顺联盟校高二下学期期中考试数学（理）试题 Word版

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宁德市高中同心顺联盟2018-2019学年第二学期期中检测 高二数学（理科）试题 命题人员： 审题： ‎ ‎（时间：120分钟 满分：150分）‎ 一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分。‎ ‎1. 在复平面内，复数对应的点位于（ ）‎ A．第四象限 B．第三象限 C．第二象限 D．第一象限 ‎ ‎2. 一个物体的位移(米)与时间(秒)的关系为，则该物体在3秒末的瞬时速度是（ ） ‎ A．‎6米/秒 B．‎5米/秒 C．‎4米/秒 D．‎3米/秒 ‎3.曲线在点处的切线斜率为（ ）‎ ‎ A. 4 B. ‎3 C. 2 D. 1‎ ‎4.设的周长为，的面积为，内切圆半径为，则，类比这个结论可知：四面体的表面积分别为，内切球半径为，体积为，则等于(　　)‎ A. B. C. D. ‎ ‎5.函数的单调递增区间为( )‎ A. B. C. D.‎ ‎6. 已知 (为虚数单位)，则复数的共轭复数等于(　　)‎ A． B． C． D． ‎ ‎7. 已知函数,则的值等于（ ）‎ ‎ A．1 B．‎2 C．3 D．4 ‎ ‎8. 函数在内有极小值，则（ ）‎ ‎ A． B． C． D．‎ ‎9. 用数学归纳法证明：时，从推证时，左边增加的代数式是（ ）‎ A． B． C． D． ‎ ‎10. 由曲线，，围成的封闭图形的面积为(　　)‎ A. B. C. D. ‎ ‎11.直线与曲线相切于点，则的值为（ ）‎ ‎ A．2 B．－‎1 C．1 D．－2‎ ‎12.函数的定义域为，对任意则的解集为（ ）‎ ‎ A． B． C． D． ‎ 二、填空题 ：本大题共4小题，每小题5分，共20分。‎ ‎13．若复数 ()，则= 。‎ ‎14．__________。 ‎ ‎15．曲线上的任意一点处切线的倾斜角的取值 范围是 。‎ ‎16．如图所示的数阵中，第64行第2个数字是________。‎ 三、解答题：本大题 共6小题，共70分。‎ ‎17. （10分）若复数，，且为纯虚数，求 ‎18. （12分）已知函数.‎ ‎（I）求在处的切线方程；（II ）讨论函数的单调性。‎ ‎19. （12分）(Ⅰ)已知为实数，用分析法证明。‎ ‎ （Ⅱ）用数学归纳法证明；‎ ‎20. （12分）已知函数（为实数）．‎ ‎（I）讨论函数的单调性；‎ ‎（II ）若在上的恒成立，求的范围；‎ ‎21.（12分）某地需要修建一条大型输油管道通过120公里宽的沙漠地带，该段输油管道两端的输油站已建好，余下工程只需要在该段两端已建好的输油站之间铺设输油管道和等距离修建增压站（又称泵站）。经预算，修建一个增压站的工程费用为400万元，铺设距离为公里的相邻两增压站之间的输油管道费用为 万元。设余下工程的总费用为万元。‎ ‎（I）试将表示成关于的函数；‎ ‎（II ）需要修建多少个増压站才能使总费用最小？‎ ‎22. （12分）已知函数。‎ ‎（I）若函数在区间上是单调递增函数，求实数的取值范围；‎ ‎（II）若函数有两个极值点且，求证 宁德市高中同心顺联盟2018-2019学年第二学期期中检测 高二数学（理）试题参考答案及评分标准 一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分。‎ ‎1. D 2. C 3. D 4. B 5. D 6. A 7. C 8. B 9. A 10. B 11. A 12.C 二、填空题 ：本大题共4小题，每小题5分，共20分。‎ ‎13． 14． 15． 16． ‎ 三、解答题：本大题 共6小题，共70分。‎ ‎17. （10分）若复数，，且为纯虚数，求 解:由为纯虚数，…………… 3分 得…………………………………………5分 ‎ ……………………………………………………… 6分 又，………………8分 ‎……………… 10分 ‎18. （12分）已知函数.‎ ‎（I）求在处的切线方程；（II ）讨论函数的单调性。‎ 解：（I）由，得，………………2分 ‎ ，‎ ‎ 故在处的切线方程为，即；……5分 ‎（II）设，‎ 则…7分 令，得…………………………………………………8分 随的变化情况如下表： ‎ ‎11分 极小 极大 极小 所以在和上单调递增，在和上单调递增……12分 ‎19. （12分） (Ⅰ)已知为实数，用分析法证明。‎ ‎ （Ⅱ）用数学归纳法证明；‎ 证明：(Ⅰ)要证，‎ 只要证………………………1分 ‎ 只要证…………………………2分 只要证……………………3分 ‎ 只要证…………………………4分 ‎ 只要证…………………………5分 ‎ 只要证 ‎ 只要证显然成立，故原结论成立。…………………6分 ‎（Ⅱ）①当时，左边，右边，‎ 左边＝右边，等式成立．…………………7分 ‎②假设当时等式成立，即，8分 那么当时，左边 ‎ 右边 左边＝右边，即当时等式也成立；…………………11分 综合①②可知等式对任何都成立。…………………12分 ‎20. （12分）已知函数（为实数）．‎ ‎（I）讨论函数的单调性；‎ ‎（II ）若在上的恒成立，求的范围；‎ 解：(Ⅰ) ，‎ ‎ ‎ ‎ 令，解得…………………………………………2分 ‎ ①当时，有，有，故在上单调递增；……3分 ‎②当时，有，随的变化情况如下表： ‎ 极大 极小 由上表可知在和上单调递增，在上单调递减；…5分 ‎③同②当时，有，‎ 有在和上单调递增，在上单调递减；…………6分 综上，当时，在和上单调递增，在上单调递减；‎ 当时，在上单调递增；‎ 当时，在和上单调递增，在上单调递减。…7分 ‎（II ）依题意有在上的恒成立，‎ ‎ 即在上的恒成立，‎ ‎ 故在上的恒成立，……………8分 设，，则有…（*） …………9分 易得，令，有，，‎ 随的变化情况如下表： ‎ 极大 由上表可知，………11分 又由（*）式可知，故的范围为。………12分 ‎21. （12‎ 分）某地需要修建一条大型输油管道通过120公里宽的沙漠地带，该段输油管道两端的输油站已建好，余下工程只需要在该段两端已建好的输油站之间铺设输油管道和等距离修建增压站（又称泵站）。经预算，修建一个增压站的工程费用为400万元，铺设距离为公里的相邻两增压站之间的输油管道费用为万元。设余下工程的总费用为万元。‎ ‎（I）试将表示成关于的函数；‎ ‎（II ）需要修建多少个増压站才能使总费用最小？‎ 解：(Ⅰ)依题意可知余下工程有段管道，有个增压站，……… 2分 故余下工程的总费用为……… 5分 所以将表示成关于的函数……………… 6分 ‎ (注:定义域不写扣1分)‎ ‎(Ⅱ)由(Ⅰ)知，有………… 7分 令，解得………………………………………… 8分 随的变化情况如下表： ‎ ‎20‎ ‎……………10分 极小 由上表易知，函数在时取得最小值，此时，………………11分 故需要修建5个増压站才能使总费用最小…………………………12分 ‎22. （12分）已知函数。‎ ‎（I）若函数在区间上是单调递增函数，求实数的取值范围；‎ ‎（II）若函数有两个极值点且，求证 解：（I），，‎ 又函数在区间上是单调递增函数，故在上恒成立，‎ 即在上恒成立，故在上恒成立，‎ 设，，则………………4分 ‎ 故实数的取值范围为；………………………………………5分 ‎（II）易知，‎ 依题意可知在内有两根，且，‎ 设，则有，………6分 又，………………………7分 由根与系数关系有，‎ 故，………8分 令，‎ 则有，，‎ 又，，故存在唯一，使得 易知当时有，当时有，‎ 故在上单调递减，在上单调递增，………………10分 又，，故对，均有， ‎ 故在上单调递减，又，，故，‎ 即，命题得证。………………………………………12分