高考数学专题复习：三角函数（Ⅲ）

高考数学专题复习：三角函数（Ⅲ）

高三数学 三角函数（Ⅲ）‎ 一、填空题 ‎1、已知A、B、C是△ABC的三个内角，向量，，,则＝ 。‎ ‎2、下列四个命题，其中真命题的序号是 。‎ ‎①； ②；‎ ‎③； ④．‎ ‎3、设f(x)=，且f(-2)=3，则f(2)= 。‎ ‎4、在△ABC中，已知AB＝4，AC＝3，P是边BC的垂直平分线上的一点，则＝ 。‎ ‎5、不等式的解集是 。‎ ‎6、函数在（0，）内的单调增区间为 。‎ ‎7、若记号“*”表示两个实数a与b的算术平均的运算，即，则两边均含有运算符号“*”和“＋”，且对于任意3个实数a，b，c都能成立的一个等式可以是 。‎ ‎8、若函数存在两个零点，则m的取值范围是 。‎ ‎9、已知直线与平行，则的值 是 。‎ ‎10、已知实数满足不等式组 且的最大值等于a,最小值等于b,则a＋b＝ 。‎ ‎11、已知函数，给定条件：，条件：，若是的充分条件，则实数的取值范围为 。‎ ‎12、若等比数列的各项均为正数，前项之和为，前项之积为，前项倒数之和为，下列关系成立的是 。(填序号)‎ ‎ ①= ②＞ ③ ④＞‎ ‎13、设是定义在R上的奇函数，且当时，，若对任意的，不等式恒成立，则实数的取值范围是 。‎ ‎14、在等差数列中，≠0，当n≥2时，－＋＝0，若＝46，则k的值为 。‎ 二、解答题 ‎15、‎ 已知在等差数列中，前7项和等于，数列中，点在直线上，项和（）.‎ ‎（1）求数列的通项公式； 　 （2）求证：数列是等比数列；‎ ‎（3）设 Tn为数列的前n项的和，求Tn 并证明：.‎ ‎16、‎ 已知不等式≤0的解集是A，函数的定义域为集合B。‎ ‎（1）求集合A； （2）若AB求的取值范围。‎ ‎17、在直角坐标系xoy中，若角的始边为x轴的非负半轴，终边为射线l：y=x (x≥0)。‎ ‎(1)求的值；‎ ‎(2)若点P，Q分别是角始边、终边上的动点，且PQ=4，求△POQ面积最大时，点P，Q的坐标。‎ ‎18、‎ 在△ABC中，角A，B，C所对边分别为a，b，c，且。‎ ‎（Ⅰ）求角A；　　（Ⅱ）若向量m，n，试求|mn|的最小值。‎ ‎19、‎ 某分公司经销某种品牌产品，每件产品的成本为3元，并且每件产品需向总公司交元（‎ ‎）的管理费，预计当每件产品的售价为元（）时，一年的销售量为万件.‎ ‎（1）求分公司一年的利润L(万元)与每件产品的售价x的函数关系式；‎ ‎（2）当每件产品的售价为多少元时，分公司一年的利润L最大，并求出L的最大值.‎ ‎20、‎ 设函数f（x）＝sinx＋cosx和g（x）＝2sinxcosx．‎ ‎（1）若a为实数，试求函数F（x）＝f（x）＋ ag（x），x∈[0，]的最小值h（a）；‎ ‎（2）若存在x0∈[0，]，使 | a f（x）－g（x）－3|≥ 成立，求实数a的取值范围．‎ 以下是答案 一、填空题 ‎1、‎ ‎2、④‎ ‎3、5 ‎ ‎4、－‎ ‎5、 ‎ ‎6、‎ ‎7、（a*b）＋c＝（a*c）＋（b*c）‎ ‎8、‎ ‎9、5‎ ‎10、39‎ ‎11、‎ ‎12、③‎ ‎13、‎ ‎14、12‎ 二、解答题 ‎15、‎ 已知在等差数列中，前7项和等于，数列中，点在直线上，项和（）.‎ ‎ （1）求数列的通项公式； （2）求证：数列是等比数列；‎ ‎ （3）设 Tn为数列的前n项的和，求Tn 并证明：.‎ 解（1）设数列的公差为d，则由题意知：得 ‎∴‎ ‎（2）∵点在直线上 ‎∴----① ， -----② ‎ ‎①-②得，∴，‎ 又当时， ∴ ‎ ‎∴数列是以为首项，为公比的等比数列。‎ ‎（3）由（2）知，，‎ ‎ ∴‎ ‎-----------③ ‎ ‎------④‎ ‎③—④得，‎ ‎∴=‎ ‎== ‎ 由③知的最小值是 ‎∴‎ ‎ ‎ ‎16、‎ 解：（1）∵，∴，∴‎ ‎∴． ‎ ‎（2）由题意可知：，∴，∴，‎ ‎∵AB，∴． ‎ ‎17、‎ 在直角坐标系xoy中，若角的始边为x轴的非负半轴，终边为射线l：y=x (x≥0).(1)求的值；(2)若点P，Q分别是角始边、终边上的动点，且PQ=4，求△POQ面积最大时，点P，Q 的坐标．‎ ‎．(1)由射线的方程为，可得， ‎ ‎　　　故＝. ‎ ‎(2)设. ‎ ‎　在中因为，‎ ‎　即，所以≤4 ‎ ‎．当且仅当，即取得等号. ‎ ‎　所以面积最大时，点的坐标分别为．‎ ‎18、‎ 在△ABC中，角A，B，C所对边分别为a，b，c，且．‎ ‎ （Ⅰ）求角A；‎ ‎（Ⅱ）若向量m，n，试求|mn|的最小值．‎ 解：（Ⅰ）， ‎ 即，‎ ‎∴，∴． ‎ ‎∵，∴．‎ ‎（Ⅱ）mn ，‎ ‎|mn|．‎ ‎∵，∴，∴．‎ 从而． ‎ ‎∴当＝1，即时，|mn|取得最小值．‎ 所以，|mn|．‎ ‎19、‎ 解：（1）分公司一年的利润L(万元)与售价x的函数关系式为：‎ ‎，. ‎ ‎（2）.‎ ‎ ‎ 令得或(不合题意，舍去).‎ ‎∵，∴. ‎ 在两侧的值由正变负.‎ 所以（1）当，即时，‎ ‎. ‎ ‎（2）当即时，‎ ‎，‎ 所以. ‎ 答：若，则当每件售价为9元时，分公司一年的利润L最大，最大值(万元)；若，则当每件售价为元时，分公司一年的利润L最大，最大值(万元). ‎ ‎20、‎ 设函数f（x）＝sinx＋cosx和g（x）＝2sinxcosx．‎ ‎（1）若a为实数，试求函数F（x）＝f（x）＋ ag（x），x∈[0，]的最小值h（a）；‎ ‎（2）若存在x0∈[0，]，使 | a f（x）－g（x）－3|≥ 成立，求实数a的取值范围．‎ 解：（1）F（x）＝sinx＋cosx＋2asinxcosx，‎ 令sinx＋cosx＝t，t∈[1，]，则2sinxcosx＝ t2－1，‎ F（x）＝m（t）＝at2＋t－a，t∈[1，]．‎ ‎①当a＜0时，m（t）＝at2＋t－a＝a（t＋）2＋－a是开口向下，对称轴t＝－的抛物线．‎ 若t＝－≥，即1－≤a＜0， 则h（a）＝ m（1）＝1．‎ 若t＝－＜，即a＜ 1－，则h（a）＝ m（）＝ a＋．…4分 ‎②当a＝0时，m（t）＝at2＋t－a是[1，]上的增函数，h（a）＝ m（1）＝1．‎ ‎③当a＞0时，m（t）＝at2＋t－a＝a（t＋）2＋－a是开口向上，对称轴t＝－＜0的抛物线，故在区间[1，]上是增函数，所以h（a）＝ m（1）＝1．…7分 综上所述， ‎ ‎（2）令sinx＋cosx＝t，t∈[1，]，‎ ‎| a f（x）－g（x）－3|＝| a（sinx＋cosx）－2sinxcosx－3|‎ ‎＝| t2－at＋2|≥，t∈[1，]， ‎ ‎∴ t2－at＋2≥，或t2－at＋2≤－．∴ a≤t＋，或a≥t＋．‎ 当t∈[1，]时，t＋∈[，]，t＋∈[，]．‎ ‎∴ a≤，或a≥．‎