2020版高考数学大一轮复习(讲义·理·新人教A版)第八章 平面解析几何 第5节 椭圆 第1课时椭圆及简单几何性质
第5节 椭 圆
考试要求 1.了解椭圆的实际背景,了解椭圆在刻画现实世界和解决实际问题中的作用;2.掌握椭圆的定义、几何图形、标准方程及简单几何性质.
知 识 梳 理
1.椭圆的定义
在平面内与两定点F1,F2的距离的和等于常数(大于|F1F2|)的点的轨迹叫做椭圆.这两定点叫做椭圆的焦点,两焦点间的距离叫做椭圆的焦距.
其数学表达式:集合P={M||MF1|+|MF2|=2a},|F1F2|=2c,其中a>0,c>0,且a,c为常数:
(1)若a>c,则集合P为椭圆;
(2)若a=c,则集合P为线段;
(3)若a<c,则集合P为空集.
2.椭圆的标准方程和几何性质
标准方程
+=1(a>b>0)
+=1(a>b>0)
图形
性质范围
-a≤x≤a
-b≤y≤b
-b≤x≤b
-a≤y≤a
对称性
对称轴:坐标轴;对称中心:原点
顶点
A1(-a,0),A2(a,0),
B1(0,-b),B2(0,b)
A1(0,-a),A2(0,a),
B1(-b,0),B2(b,0)
轴
长轴A1A2的长为2a;短轴B1B2的长为2b
焦距
|F1F2|=2c
离心率
e=∈(0,1)
a,b,c的关系
c2=a2-b2
[微点提醒]
点P(x0,y0)和椭圆的位置关系
(1)点P(x0,y0)在椭圆内⇔+<1;
(2)点P(x0,y0)在椭圆上⇔+=1;
(3)点P(x0,y0)在椭圆外⇔+>1.
基 础 自 测
1.判断下列结论正误(在括号内打“√”或“×”)
(1)平面内与两个定点F1,F2的距离之和等于常数的点的轨迹是椭圆.( )
(2)椭圆的离心率e越大,椭圆就越圆.( )
(3)方程mx2+ny2=1(m>0,n>0,m≠n)表示的曲线是椭圆.( )
(4)+=1(a>b>0)与+=1(a>b>0)的焦距相同.( )
解析 (1)由椭圆的定义知,当该常数大于|F1F2|时,其轨迹才是椭圆,而常数等于|F1F2|时,其轨迹为线段F1F2,常数小于|F1F2|时,不存在这样的图形.
(2)因为e===,所以e越大,则越小,椭圆就越扁.
答案 (1)× (2)× (3)√ (4)√
2.(选修2-1P49T1改编)若F1(3,0),F2(-3,0),点P到F1,F2的距离之和为10,则P点的轨迹方程是________.
解析 因为|PF1|+|PF2|=10>|F1F2|=6,所以点P的轨迹是以F1,F2为焦点的椭圆,其中a=5,c=3,b==4,故点P的轨迹方程为+=1.
答案 +=1
3.(选修2-1P49A6改编)已知点P是椭圆+=1上y轴右侧的一点,且以点P及焦点F1,F2为顶点的三角形的面积等于1,则点P的坐标为________.
解析 设P(x,y),由题意知c2=a2-b2=5-4=1,
所以c=1,则F1(-1,0),F2(1,0),
由题意可得点P到x轴的距离为1,所以y=±1,
把y=±1代入+=1,得x=±,
又x>0,所以x=,
∴P点坐标为(,1)或(,-1).
答案 (,1)或(,-1)
4.(2018·张家口调研)椭圆+=1的焦点坐标为( )
A.(±3,0) B.(0,±3) C.(±9,0) D.(0,±9)
解析 根据椭圆方程可得焦点在y轴上,且c2=a2-b2=25-16=9,∴c=3,故焦点坐标为(0,±3).
答案 B
5.(2018·全国Ⅰ卷)已知椭圆C:+=1的一个焦点为(2,0),则C的离心率为( )
A. B. C. D.
解析 不妨设a>0.因为椭圆C的一个焦点为(2,0),所以焦点在x轴上,且c=2,所以a2=4+4=8,所以a=2,所以椭圆C的离心率e==.
答案 C
6.(2018·武汉模拟)曲线+=1与曲线+=1(k<9)的( )
A.长轴长相等 B.短轴长相等
C.离心率相等 D.焦距相等
解析 曲线+=1表示焦点在x轴上的椭圆,其长轴长为10,短轴长为6,焦距为8,离心率为.曲线+=1(k<9)表示焦点在x轴上的椭圆,其长轴长为2,短轴长为2,焦距为8,离心率为.对照选项,知D正确.
答案 D
第1课时 椭圆及简单几何性质
考点一 椭圆的定义及其应用
【例1】 (1)如图,圆O的半径为定长r,A是圆O内一个定点,P是圆上任意一点,线段AP的垂直平分线l和半径OP相交于点Q,当点P在圆上运动时,点Q的轨迹是( )
A.椭圆 B.双曲线 C.抛物线 D.圆
(2)(2018·德阳模拟)设P为椭圆C:+=1上一点,F1,F2分别是椭圆C的左、右焦点,且△PF1F2的重心为点G,若|PF1|∶|PF2|=3∶4,那么△GPF1的面积为( )
A.24 B.12 C.8 D.6
解析 (1)连接QA.由已知得|QA|=|QP|.
所以|QO|+|QA|=|QO|+|QP|=|OP|=r.
又因为点A在圆内,所以|OA|<|OP|,根据椭圆的定义,点Q的轨迹是以O,A为焦点,r为长轴长的椭圆.
(2)∵P为椭圆C:+=1上一点,|PF1|∶|PF2|=3∶4,|PF1|+|PF2|=2a=14,
∴|PF1|=6,|PF2|=8,
又∵|F1F2|=2c=2=10,
∴易知△PF1F2是直角三角形,S△PF1F2=|PF1|·|PF2|=24,
∵△PF1F2的重心为点G,∴S△PF1F2=3S△GPF1,
∴△GPF1的面积为8.
答案 (1)A (2)C
规律方法 (1)椭圆定义的应用主要有:判断平面内动点的轨迹是否为椭圆,求焦点三角形的周长、面积及弦长、最值和离心率等.
(2)通常定义和余弦定理结合使用,求解关于焦点三角形的周长和面积问题.
【训练1】 (1)(2018·福建四校联考)已知△ABC的顶点B,C在椭圆+y2=1上,顶点A是椭圆的一个焦点,且椭圆的另外一个焦点在BC边上,则△ABC的周长是( )
A.2 B.6 C.4 D.2
(2)(2018·衡水中学调研)设F1,F2分别是椭圆+=1的左、右焦点,P
为椭圆上任意一点,点M的坐标为(6,4),则|PM|-|PF1|的最小值为________.
解析 (1)由椭圆的方程得a=.设椭圆的另一个焦点为F,则由椭圆的定义得|BA|+|BF|=|CA|+|CF|=2a,所以△ABC的周长为|BA|+|BC|+|CA|=|BA|+|BF|+|CF|+|CA|=(|BA|+|BF|)+(|CF|+|CA|)=2a+2a=4a=4.
(2)由椭圆的方程可知F2(3,0),由椭圆的定义可得|PF1|=2a-|PF2|,∴|PM|-|PF1|=|PM|-(2a-|PF2|)=|PM|+|PF2|-2a≥|MF2|-2a,当且仅当M,P,F2三点共线时取得等号,又|MF2|==5,2a=10,∴|PM|-|PF1|≥5-10=-5,即|PM|-|PF1|的最小值为-5.
答案 (1)C (2)-5
考点二 椭圆的标准方程
【例2】 (1)已知两圆C1:(x-4)2+y2=169,C2:(x+4)2+y2=9,动圆在圆C1内部且和圆C1相内切,和圆C2相外切,则动圆圆心M的轨迹方程为( )
A.-=1 B.+=1
C.-=1 D.+=1
(2)(一题多解)若椭圆经过两点(2,0)和(0,1),则椭圆的标准方程为________________.
解析 (1)设圆M的半径为r,
则|MC1|+|MC2|=(13-r)+(3+r)=16>8=|C1C2|,
所以M的轨迹是以C1,C2为焦点的椭圆,
且2a=16,2c=8,
所以a=8,c=4,b====4,
故所求的轨迹方程为+=1.
(2)法一 当椭圆的焦点在x轴上时,设所求椭圆的方程为+=1 (a>b>0).
∵椭圆经过两点(2,0),(0,1),
∴ 解得
∴所求椭圆的标准方程为+y2=1;
当椭圆的焦点在y轴上时,设所求椭圆的方程为+=1 (a>b>0).
∵椭圆经过两点(2,0),(0,1),
∴ 解得
与a>b矛盾,故舍去.
综上可知,所求椭圆的标准方程为+y2=1.
法二 设椭圆方程为mx2+ny2=1 (m>0,n>0,m≠n).
∵椭圆过(2,0)和(0,1)两点,
∴ 解得
综上可知,所求椭圆的标准方程为+y2=1.
答案 (1)D (2)+y2=1
规律方法 根据条件求椭圆方程的主要方法有:
(1)定义法:根据题目所给条件确定动点的轨迹满足椭圆的定义.
(2)待定系数法:根据题目所给的条件确定椭圆中的a,b.当不知焦点在哪一个坐标轴上时,一般可设所求椭圆的方程为mx2+ny2=1(m>0,n>0,m≠n),不必考虑焦点位置,用待定系数法求出m,n的值即可.
【训练2】 (1)(2018·济南模拟)已知椭圆C:+=1(a>b>0),若长轴长为6,且两焦点恰好将长轴三等分,则此椭圆的标准方程为( )
A.+=1 B.+=1
C.+=1 D.+=1
(2)(2018·榆林模拟)已知F1(-1,0),F2(1,0)是椭圆C的焦点,过F2且垂直于x轴的直线交椭圆C于A,B两点,且|AB|=3,则C的方程为( )
A.+y2=1 B.+=1
C.+=1 D.+=1
解析 (1)椭圆长轴长为6,即2a=6,得a=3,
∵两焦点恰好将长轴三等分,
∴2c=×2a=2,得c=1,
因此,b2=a2-c2=9-1=8,
所以此椭圆的标准方程为+=1.
(2)由题意,设椭圆方程为+=1(a>b>0),将A(c,y1)代入椭圆方程得+=1,由此求得y=,所以|AB|=3=,又c=1,a2-b2=c2,可解得a=2,b2=3,所以椭圆C的方程为+=1.
答案 (1)B (2)C
考点三 椭圆的几何性质 多维探究
角度1 椭圆的长轴、短轴、焦距
【例3-1】 (2018·泉州质检)已知椭圆+=1的长轴在x轴上,焦距为4,则m等于( )
A.8 B.7 C.6 D.5
解析 因为椭圆+=1的长轴在x轴上,所以解得6
b>0)的左、右焦点,A是C的左顶点,点P在过A且斜率为的直线上,△PF1F2为等腰三角形,∠F1F2P=120°,则C的离心率为( )
A. B. C. D.
解析 由题意可知椭圆的焦点在x轴上,如图所示,
设|F1F2|=2c,∵△PF1F2为等腰三角形,且∠F1F2P=120°,
∴|PF2|=|F1F2|=2c.
∵|OF2|=c,过P作PE垂直x轴于点E,则∠PF2E=60°,所以|F2E|=c,|PE|=c,即点P(2c,c).∵点P在过点A,且斜率为的直线上,
∴=,解得=,∴e=.
答案 D
角度3 与椭圆性质有关的最值或范围问题
【例3-3】 (2017·全国Ⅰ卷)设A,B是椭圆C:+=1长轴的两个端点.若C上存在点M满足∠AMB=120°,则m的取值范围是( )
A.(0,1]∪[9,+∞) B.(0,]∪[9,+∞)
C.(0,1]∪[4,+∞) D.(0,]∪[4,+∞)
解析 ①当焦点在x轴上,依题意得
03,且≥tan=,∴m≥9,
综上,m的取值范围是(0,1]∪[9,+∞).
答案 A
规律方法 1.求椭圆离心率的方法
(1)直接求出a,c的值,利用离心率公式直接求解.
(2)列出含有a,b,c的齐次方程(或不等式),借助于b2=a2-c2消去b,转化为含有e的方程(或不等式)求解.
2.在求与椭圆有关的一些量的范围,或者最值时,经常用到椭圆标准方程中x,y的范围、离心率的范围等不等关系.
【训练3】 (1)以椭圆上一点和两个焦点为顶点的三角形的面积的最大值为1,则椭圆长轴长的最小值为( )
A.1 B. C.2 D.2
(2)(2019·豫南九校联考)已知两定点A(-1,0)和B(1,0),动点P(x,y)在直线l:y=x+3上移动,椭圆C以A,B为焦点且经过点P,则椭圆C的离心率的最大值为( )
A. B. C. D.
解析 (1)设a,b,c分别为椭圆的长半轴长、短半轴长、半焦距,
依题意知,当三角形的高为b时面积最大,
所以×2cb=1,bc=1,
而2a=2≥2=2(当且仅当b=c=1时取等号).即长轴长2a的最小值为2.
(2)不妨设椭圆方程为+=1(a>1),
与直线l的方程联立
消去y得(2a2-1)x2+6a2x+10a2-a4=0,
由题意易知Δ=36a4-4(2a2-1)(10a2-a4)≥0,
解得a≥,
所以e==≤,
所以e的最大值为.
答案 (1)D (2)A
[思维升华]
1.椭圆的定义揭示了椭圆的本质属性,正确理解、掌握定义是关键,应注意定义中的常数大于|F1F2|,避免了动点轨迹是线段或不存在的情况.
2.求椭圆的标准方程,常采用“先定位,后定量”的方法(待定系数法).先“定位”,就是先确定椭圆和坐标系的相对位置,以椭圆的中心为原点的前提下,看焦点在哪条坐标轴上,确定标准方程的形式;再“定量”,就是根据已知条件,通过解方程(组)等手段,确定a2,b2的值,代入所设的方程,即可求出椭圆的标准方程.若不能确定焦点的位置,这时的标准方程常可设为mx2+ny2=1(m>0,n>0且m≠n)
[易错防范]
1.判断两种标准方程的方法为比较标准形式中x2与y2的分母大小.
2.在解关于离心率e的二次方程时,要注意利用椭圆的离心率e∈(0,1)进行根的取舍,否则将产生增根.
3.椭圆的范围或最值问题常常涉及一些不等式.例如,-a≤x≤a,-b≤y≤b,0<e<1等,在求椭圆相关量的范围时,要注意应用这些不等关系.
基础巩固题组
(建议用时:40分钟)
一、选择题
1.椭圆+=1的焦距为2,则m的值等于( )
A.5 B.3 C.5或3 D.8
解析 由题意知椭圆焦距为2,即c=1,又满足关系式a2-b2=c2=1,故当a2=4时,m=b2=3;当b2=4时,m=a2=5.
答案 C
2.(2019·聊城模拟)已知椭圆C:+=1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1,F2,离心率为,过F2的直线l交C于A,B两点,若△AF1B的周长为12,则C的方程为( )
A.+y2=1 B.+=1
C.+=1 D.+=1
解析 由题意可得=,4a=12,解得a=3,c=2,则b==,
所以椭圆C的方程为+=1.
答案 D
3.已知圆(x-1)2+(y-1)2=2经过椭圆C:+=1(a>b>0)的右焦点F和上顶点B,则椭圆C的离心率为( )
A. B. C.2 D.
解析 由题意得,椭圆的右焦点F为(c,0),上顶点B为(0,b).因为圆(x-1)2+(y-1)2=2经过右焦点F和上顶点B,所以解得b=c=2,则a2=b2+c2=8,解得a=2,所以椭圆C的离心率e===.
答案 D
4.(2019·湖北重点中学联考)已知椭圆+=1的左、右焦点分别为F1,F2,过F2且垂直于长轴的直线交椭圆于A,B两点,则△ABF1内切圆的半径为( )
A. B.1 C. D.
解析 不妨设A点在B点上方,由题意知:F2(1,0),将F2的横坐标代入椭圆方程+=1中,可得A点纵坐标为,故|AB|=3,所以由S=Cr得内切圆半径r===(其中S为△ABF1的面积,C为△ABF1的周长).
答案 D
5.已知椭圆+=1的两个焦点是F1,F2,点P在该椭圆上,若|PF1|-|PF2|=2,则△PF1F2的面积是( )
A. B.2 C.2 D.
解析 由椭圆的方程可知a=2,c=,且|PF1|+|PF2|=2a=4,又|PF1|-|PF2|=2,所以|PF1|=3,|PF2|=1.又|F1F2|=2c=2,所以有|PF1|2=|PF2|2+|F1F2|2,即△PF1F2为直角三角形,且∠PF2F1为直角,
所以S△PF1F2=|F1F2||PF2|=×2×1=.
答案 A
二、填空题
6.已知椭圆的中心在原点,一个焦点为(0,-2)且a=2b,则椭圆的标准方程为________.
解析 ∵c=2,a2=4b2,∴a2-b2=3b2=c2=12,
b2=4,a2=16.又焦点在y轴上,
∴标准方程为+=1.
答案 +=1
7.设F1,F2为椭圆C:+=1(a>b>0)的左、右焦点,经过F1的直线交椭圆C于A,B两点,若△F2AB的面积为4的等边三角形,则椭圆C的方程为______________.
解析 ∵△F2AB是面积为4的等边三角形,
∴AB⊥x轴,∴A,B两点的横坐标为-c,代入椭圆方程,可求得|F1A|=|F1B|=.
又|F1F2|=2c,∠F1F2A=30°,
∴=×2c.①
又S△F2AB=×2c×=4,②
a2=b2+c2,③
由①②③解得a2=9,b2=6,c2=3,
∴椭圆C的方程为+=1.
答案 +=1
8.(2019·昆明诊断)椭圆+=1上的一点P到两焦点的距离的乘积为m,当m取最大值时,点P的坐标是________.
解析 记椭圆的两个焦点分别为F1,F2,有|PF1|+|PF2|=2a=10.
则m=|PF1|·|PF2|≤=25,当且仅当|PF1|=|PF2|=5,即点P位于椭圆的短轴的顶点处时,等号成立,即m取得最大值25.∴点P的坐标为(-3,0)或(3,0).
答案 (-3,0)或(3,0)
三、解答题
9.已知椭圆的中心在原点,两焦点F1,F2在x轴上,且过点A(-4,3).若F1A⊥F2A,求椭圆的标准方程.
解 设所求椭圆的标准方程为+=1(a>b>0).
设焦点F1(-c,0),F2(c,0)(c>0).
∵F1A⊥F2A,∴·=0,
而=(-4+c,3),=(-4-c,3),
∴(-4+c)·(-4-c)+32=0,
∴c2=25,即c=5.
∴F1(-5,0),F2(5,0).
∴2a=|AF1|+|AF2|=+
=+=4.
∴a=2,∴b2=a2-c2=(2)2-52=15.
∴所求椭圆的标准方程为+=1.
10.已知椭圆+=1(a>b>0),F1,F2分别为椭圆的左、右焦点,A为椭圆的上顶点,直线AF2交椭圆于另一点B.
(1)若∠F1AB=90°,求椭圆的离心率;
(2)若=2,·=,求椭圆的方程.
解 (1)若∠F1AB=90°,则△AOF2为等腰直角三角形,所以有|OA|=|OF2|,即b=c.
所以a=c,椭圆的离心率为e==.
(2)由题知A(0,b),F1(-c,0),F2(c,0),其中c=,设B(x,y).
由=2,得(c,-b)=2(x-c,y),
解得x=,y=-,即B.
将B点坐标代入+=1,得+=1,
即a2=3c2.①
又由·=(-c,-b)·=,
得b2-c2=1,即有a2-2c2=1.②
由①②解得c2=1,a2=3,从而有b2=2.
所以椭圆的方程为+=1.
能力提升题组
(建议用时:20分钟)
11.已知椭圆+=1(a>b>0)的左顶点为M,上顶点为N,右焦点为F,若·=0,则椭圆的离心率为( )
A. B. C. D.
解析 由题意知,M(-a,0),N(0,b),F(c,0),∴=(-a,-b),=(c,-b).∵·=0,∴-ac+b2=0,即b2=ac.又b2=a2-c2,∴a2-c2=ac.∴e2+e-1=0,解得e=或e=(舍).∴椭圆的离心率为.
答案 D
12.(2019·湖南湘东五校联考)已知椭圆+=1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1,F2,P是椭圆上一点,△PF1F2是以F2P为底边的等腰三角形,且60°<∠PF1F2<120°,则该椭圆的离心率的取值范围是( )
A.(,1) B.(,)
C. D.
解析 由题意可得,|PF2|2=|F1F2|2+|PF1|2-2|F1F2|·|PF1|cos ∠PF1F2
=4c2+4c2-2·2c·2c·cos ∠PF1F2,即|PF2|=2c·,
所以a==c+c·,又60°<∠PF1F2<120°,
∴-1)上两点A,B满足=2,则当m=________时,点B横坐标的绝对值最大.
解析 设A(x1,y1),B(x2,y2),由=2,
得即x1=-2x2,y1=3-2y2.因为点A,B在椭圆上,所以得y2=m+,所以x=m-(3-2y2)2=-m2+m-=-(m-5)2+4≤4,所以当m=5时,点B横坐标的绝对值最大,最大值为2.
答案 5
14.(2019·石家庄月考)已知点M(,)在椭圆C:+=1(a>b>0)上,且椭圆的离心率为.
(1)求椭圆C的方程;
(2)若斜率为1的直线l与椭圆C交于A,B两点,以AB为底边作等腰三角形,顶点为P(-3,2),求△PAB的面积.
解 (1)由已知得解得
故椭圆C的方程为+=1.
(2)设直线l的方程为y=x+m,A(x1,y1),B(x2,y2),AB的中点为D(x0,y0).
由消去y,整理得4x2+6mx+3m2-12=0,
由根与系数的关系得x1+x2=-m,x1x2=,
由Δ=36m2-16(3m2-12)>0得m2<16,
则x0==-m,y0=x0+m=m,
即D.
因为AB是等腰△PAB的底边,所以PD⊥AB,
即PD的斜率k==-1,解得m=2,满足m2<16.
此时x1+x2=-3,x1x2=0,
则|AB|=|x1-x2|=·=3,
又点P到直线l:x-y+2=0的距离为d=,
所以△PAB的面积为S=|AB|·d=.
新高考创新预测
15.(多填题)已知椭圆C:+=1(a>b>0)的右焦点为F(1,0),其关于直线y=bx的对称点Q在椭圆上,则离心率e=________,S△FOQ=________.
解析 设点Q(x,y),则由点Q与椭圆的右焦点F(1,0)关于直线y=bx对称得
解得代入椭圆C的方程得+=1,结合a2=b2+1解得
则椭圆的离心率e==,S△FOQ=|OF|·=×1×=.
答案