2019年相阳教育“黉门云”高考等值试卷★预测卷全国3卷理数
2019年相阳教育“黉门云”高考等值试卷★预测卷
理科数学（全国Ⅲ卷）
注意事项：
1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效。
3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．设集合A={x|x2≤x}，B={x|≥1}，则A∩B=
A． B．
C． D．∪
2．已知i为虚数单位，则=
A． B． C． D．
开始
输出y
结束
是
否
y=i2+2i
i=-1
i=i+1
i<3?
3．“0
0，且a≠1)在区间[2，4]上的最大值与最小值之差为2，则实数a=
A． B． C． D．2
理科数学试题第5页（共4页）
主视图
左视图
俯视图
4
2
2
2
6．我国古代木匠精于钻研，技艺精湛，常常设计出巧夺天工的建筑，如图．在一座宫殿中，有一件特别的“柱脚”的三视图如右图所示．则其体积为
A．+4π B．+8π
C．8+4π D．8+8π
7．已知斜率为2的直线l过抛物线C：y2=2px(p>0)的焦点F，且与抛物线交于A，B两点，若线段AB的中点M的纵坐标为1，则p=
A．1 B． C．2 D．4
8．将函数的图象向右平移(>0)个单位，再向上平移1个单位，所得图象经过点(，1)，则的最小值为
A． B． C． D．
9．已知双曲线(a>0，b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，过F1作x2+y2=a2的切线，交双曲线右支于点M，若∠F1MF2=45º，则双曲线的离心率为
A． B． C．2 D．3
10．有一个长方体木块，三个侧面积分别为8，12，24，现将其削成一个正四面体模型，则该正四面体模型棱长的最大值为
A．2 B． C．4 D．
11．已知在平面直角坐标系xOy中，O为坐标原点，A(0，2)，|OB|2+|OA|2=20，若平面内点P满足，则|PO|的最大值为
A．4 B．5 C．6 D．7
12．已知A、B是函数(其中a>0)图象上的两个动点，点P(a，0)，若的最小值为0，则函数的最小值为
A． B． C． D．
理科数学试题第5页（共4页）
二、填空题：本大题共4小题 每小题5分，共20分。
13．已知函数则=________．
14．已知向量a，b的夹角为45º，若a=(1，1)，|b|=2，则|2a+b|=________．
15．记，则=________．
16．已知△ABC的内角A，B，C所对边分别为a，b，c，且acosC-ccosA=，则tan(A-C)的最大值为________．
三、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第17~21题为必考题，每个试题考生都必须作答。第22、23题为选考题，考生根据要求作答。
（一）必考题：（共60分）
17．（本小题满分12分）
设等比数列{an}的公比为q，Sn是{an}的前n项和，已知a1+2，2a2，a3+1成等差数列，且S3=4a2-1，q>1．
（1）求{an}的通项公式；
（2）记数列{}的前n项和为Tn，试问是否存在n∈N*使得Tn<3？如果存在，请求出n的值；如果不存在，请说明理由．
18．（本小题满分12分）
为加快经济转型升级，加大技术研发力度，某市建立高新科技研发园区，并力邀某高校入驻该园区．为了解教职工意愿，该高校在其所属的8个学院的教职员工中作了“是否愿意将学校整体搬迁至研发园区”的问卷调查，8个学院的调查人数及统计数据如下：
调查人数（x）
10
20
30
40
50
60
70
80
愿意整体搬迁人数（y）
8
17
25
31
39
47
55
66
（1）请根据上表提供的数据，用最小二乘法求出变量y关于变量x的线性回归方程（保留小数点后两位有效数字）；若该校共有教职员工2500人，请预测该校愿意将学校整体搬迁至研发园区的人数；
（2）若该校的8位院长中有5位院长愿意将学校整体搬迁至研发园区，现该校拟在这8位院长中随机选取4位院长组成考察团赴研发区进行实地考察，记X为考察团中愿意将学校整体搬迁至研发园区的院长人数，求X的分布列及数学期望．
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参考公式及数据：，，，．
19．（本小题满分12分）
A
B
C
D
E
F
O
如图，在三棱柱ADE-BCF中，侧面ABCD是为菱形， E在平面ABCD内的射影O恰为线段BD的中点．
（1）求证：AC⊥CF；
（2）若∠BAD=60º，AE=AB，求二面角E-BC-F的平面角的余弦值．
20．（本小题满分12分）
已知椭圆E：(a>b>0)的离心率为，A、B分别为E的左顶点和上顶点，若AB的中点的纵坐标为．F1，F2分别为E的左、右焦点．
（1）求椭圆E的方程；
（2）设直线L：与E交于M，N两点，△MF1F2，△NF1F2的重心分别为G，H．若原点O在以GH为直径的圆内，求实数m的取值范围．
21．（本小题满分12分）
已知函数(a∈R)，且在(0，+∞)上满足≤0恒成立．
（1）求实数a的值；
（2）令在上的最小值为，求证：．
（二）选考题：共10分．请考生在第22、23题中任选一题做答。如果多做，则按所做的第一题记分。
22． [选修4—4：坐标系与参数方程]（10分）
在平面直角坐标系中，P(2，0)．以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，已知曲线C的极坐标方程为，点Q(ρ，θ)(0≤θ≤)为C上的动点，M为PQ的中点．
（1）请求出M点轨迹C1的直角坐标方程；
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（2）设点A的极坐标为A(1，π)，若直线l经过点A且与曲线C1交于点E，F，弦EF的中点为D，求的取值范围．
23． [选修4—5：不等式选讲]（10分）
已知a>0，b>0．
（1）若关于x的不等式|x+3|-|x-1|≤a2-3a对任意实数x都成立，求实数a的最小值；
（2）求证：≥．
理科数学试题第5页（共4页）
