2017-2018学年广东仲元中学高二下学期期中考试数学（理）试题（Word版）

2017-2018学年广东仲元中学高二下学期期中考试数学（理）试题（Word版）

‎2017-2018学年广东仲元中学高二下学期期中考试 理科数学试卷 命题人：冯文英 审题人：霍子伟 第一部分 选择题(共 60 分)‎ 一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．‎ ‎1.已知集合，则（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎2.抛物线的焦点坐标是 （ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎3.如图所示的长方形的长为2，宽为1，在长方形内撒一把豆子(豆子大小忽略不计)，然后统计知豆子的总数为粒，其中落在飞鸟图案中的豆子有粒，据此请你估计图中飞鸟图案的面积约为( )‎ A. B. C. D. ‎ ‎4．已知命题，．则命题的否定为 A． B．‎ C． D．‎ ‎5．已知向量，，若与的夹角为，则 A． B． C． D．‎ ‎6.若，，则的值为（ ）‎ A． B． C． D． ‎ ‎7.世界数学名题“问题”：任取一个自然数，如果它是偶数，我们就把它除以2，如果它是奇数，我们就把它乘3再加上1，在这样一个变换下，我们就得到了一个新的自然数，如果反复使用这个变换，我们就会得到一串自然数，猜想：反复进行上述运算后，最后结果为1，现根据此问题设计一个程序框图如下图，执行该程序框图，若输入的，则输出（ ）‎ A． 3 B．5 C. 6 D．7‎ ‎8.设复数，且为纯虚数，则 （ ）‎ A．-1 B． 1 C． 2 D．-2‎ ‎9.设不等式组表示的平面区域为，不等式表示的平面区域为，对于中的任意一点和中的任意一点，的最小值为（ ）‎ A． B． C． D． ‎ ‎10.已知函数，要得到的图象，只需将函数的图象（ ）‎ A．向右平移个单位 B．向右平移个单位 ‎ C.向左平移个单位 D．向左平移个单位 ‎11.某几何体是由一个三棱柱和一个三棱锥构成的，其三视图如图所示，则该几何体的体积为( )‎ A. B. C. D.‎ ‎12.若函数的图象如图所示，则的范围为（ ）‎ A． B． ‎ C． D．‎ 二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）‎ ‎13. 已知，，若向量与共线，则在方向上的投影为 ．‎ ‎14.已知点在同一个球的球面上，，，若四面体的体积为，球心恰好在棱上，则这个球的表面积为 ． ‎ ‎15.正项数列的前项和为，且（），设，则数列的前2016项的和为 ． ‎ ‎16.已知是椭圆：的右焦点，是上一点，，当周长最小时，其面积为 ．‎ 三、解答题 （本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） ‎ ‎17. （本小题满分10分）已知数列是等差数列，，，.‎ ‎(1)求数列的通项公式；‎ ‎(2)若数列为递增数列，数列满足，求数列的前项和.‎ ‎18. （本小题满分12分）在锐角△ABC中，角的对边分别为，边上的中线，且满足.‎ ‎ （1）求的大小；‎ ‎ （2）若，求的周长的取值范围.‎ ‎19. （本小题满分12分）如图，在直角梯形中，，且分别为线段的中点，沿把折起，使，得到如下的立体图形.‎ ‎（1）证明：平面平面；‎ ‎（2）若，求二面角的余弦值.‎ ‎20. （本小题满分12分）设. ‎ ‎（1）求的单调区间；‎ ‎（2）求在的最大值与最小值.‎ ‎21. （本小题满分12分）如下图，在平面直角坐标系中，直线与直线之间的阴影部分记为，区域中动点到的距离之积为1.‎ ‎（1）求点的轨迹的方程；‎ ‎（2）动直线穿过区域，分别交直线于两点，若直线与轨迹有且只有一个公共点，求证：的面积恒为定值.‎ ‎22. （本小题满分12分）设函数 ‎（1）当时，求曲线在点处的切线方程；‎ ‎（2）如果不等式对于一切的恒成立，求的取值范围；‎ ‎（3）证明：不等式对于一切的恒成立．‎ 参考答案 一、选择题： BABCD ACDCD AB 二、填空题 13. 14. 15. 16. 4[]‎ 三、解答题 （本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） ‎ ‎17. （本小题满分10分） ‎ 解：(1)由题意得，所以，‎ 时，，公差，所以; 时，，公差，所以.‎ ‎(2)若数列为递增数列，则，所以，，，‎ 所以 ，‎ ‎，‎ 所以 ‎， 所以.‎ ‎18．（本小题满分12分）解：（1）在中，由余弦定理得：， ①‎ 在中，由余弦定理得：， ②‎ 因为，所以，‎ ①+②得：， 即， ‎ 代入已知条件，得，‎ 即， ，又，所以. ‎ ‎（2）在中由正弦定理得，又，‎ 所以， ，‎ ‎∴， ‎ ‎∵为锐角三角形，，∴ ‎ ‎∴，∴．‎ ‎∴周长的取值范围为． ‎ ‎19. （本小题满分12分）‎ ‎（1）证明：由题可得，则， 又，且，‎ 所以平面. ‎ ‎ 因为平面，所以平面平面；‎ ‎（2）解：过点作交于点，连结，则平面，，‎ 又，所以平面，‎ 易证，则，得，‎ 以为坐标原点，的方向为轴的正方向，建立如图所示的空间直角坐标系，，则.‎ 故，‎ 设是平面的法向量，则，‎ 令，得，‎ 设是平面的法向量，则，‎ 令，则，‎ 因为，所以二面角的余弦值为.‎ ‎20. （本小题满分12分）‎ 解：（1）f ′（x）= -（x＋2）（3x-2），‎ 令f ′（x）＞0得 -2＜x＜，令f ′（x）＜0得x＜-2或x＞，‎ ‎（-∞，-2）‎ ‎-2‎ ‎（-2，）‎ ‎（，+∞）‎ ‎—‎ ‎0‎ ‎+‎ ‎0‎ ‎—‎ 极小值 极大值 ‎∴的单调增区间为（-2，），单调减区间为（-∞，-2）和（，＋∞）；‎ ‎（2）由单调性可知，当x= -2时，f （x）有极小值f （-2 ）=0，当x=时，f （x）有极大值f （）=；‎ 又f （-5）=63，f （）=，∴x= -2时，f （x）取最小值0，x= -5时，f （x）取最大值63. ‎ ‎21. （本小题满分12分）‎ 解：（1）由题意得，.‎ 因为点在区域内，所以与同号，得，‎ 即点的轨迹的方程为.‎ ‎（2）设直线与轴相交于点，当直线的斜率不存在时，，，得.‎ 当直线的斜率存在时，设其方程为，显然，则，‎ 把直线的方程与联立得，‎ 由直线与轨迹有且只有一个公共点，知，‎ 得，得或.‎ 设，，由得，同理，得.‎ 所以.‎ 综上，的面积恒为定值2.‎ ‎22. （本小题满分12分）‎ 解：（1）当时，，则，故，所以曲线在点处的切线方程为：；‎ ‎（2）因为，所以恒成立，等价于恒成立.‎ 设，得，‎ 当时，，所以　在上单调递减，‎ 所以　时，.‎ 因为 恒成立，所以的取值范围是；‎ ‎（3）当时，，等价于.‎ 设，，得.[]‎ 由（2）可知，时，恒成立.‎ 所以时，，有，所以.‎ 所以在上单调递增，当时，.‎ 因此当时，恒成立