数学卷·2018届吉林省长春十一中高二上学期期初数学试卷（文科）+（解析版）

数学卷·2018届吉林省长春十一中高二上学期期初数学试卷（文科）+（解析版）

‎2016-2017学年吉林省长春十一中高二（上）期初数学试卷（文科）‎ ‎　‎ 一、选择题（每题5分，共60分）‎ ‎1．椭圆的短轴长为（　　）‎ A．4 B．5 C．6 D．8‎ ‎2．双曲线的一条渐近线方程为（　　）‎ A．y=2x B． C．y=4x D．‎ ‎3．抛物线y=6x2的焦点坐标为（　　）‎ A．（0，） B．（，0） C．（0，） D．（，0）‎ ‎4．下列命题：①如果x=y，则sinx=siny；②如果a＞b，则a2＞b2；③A，B是两个不同定点，动点P满足|PA|+|PB|是常数，则动点P的轨迹是椭圆．其中正确命题的个数是（　　）‎ A．0 B．1 C．2 D．3‎ ‎5．椭圆4x2+y2=1的离心率为（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎6．过（2，2）点与双曲线x2有共同渐近线的双曲线方程为（　　）‎ A．x2 B． C． D．‎ ‎7．“点P到两条坐标轴距离相等”是“点P的轨迹方程为y=|x|”的（　　）‎ A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．不充分不必要条件 ‎8．椭圆的焦距为6，则m的值为（　　）‎ A．m=1 B．m=19 C．m=1 或 m=19 D．m=4或m=16‎ ‎9．将双曲线=1的右焦点、右顶点、虚轴的一个端点所组成的三角形叫做双曲线的“黄金三角形”，则双曲线C：x2﹣y2=4的“黄金三角形”的面积是（　　）‎ A．﹣1 B．2﹣2 C．1 D．2‎ ‎10．双曲线的一条渐近线斜率为2，则该双曲线的离心率为（（　　）‎ A． B． C．或 D．或 ‎11．已知抛物线C：x2=12y的焦点为F，准线为l，P∈l，Q是线段PF与C的一个交点，若|PF|=3|FQ|．则|FQ|=（　　）‎ A． B． C．4 D．5‎ ‎12．直线y=x﹣1与圆及抛物线依次交于A，B，C，D四点，则|AB|+|CD|=（　　）‎ A．6 B．8 C．7 D．9‎ ‎　‎ 二、填空题（每题5分共20分）‎ ‎13．离心率为的椭圆C：（a＞b＞0），P∈C，且P到椭圆的两个焦点距离之和为8则椭圆C的方程为　　．‎ ‎14．抛物线C：y2=16x，C与直线l：y=x﹣4交于A，B两点，则AB中点到y轴距离为　　．‎ ‎15．已知椭圆+=1（a＞b＞0），过P（﹣a，0）作圆x2+y2=b2的切线，切点为A，B，若∠APB=120°，则椭圆的离心率为　　．‎ ‎16．双曲线C与椭圆C1： +=1有相等焦距，与双曲线C2：﹣‎ ‎=1有相同渐近线，则双曲线C的标准方程为　　．‎ ‎　‎ 三、解答题（满分70分，解答时要写出必要的文字说明、推理过程或演算步骤）‎ ‎17．抛物线C：x2=2py（p＞0）的通径为4，正三角形一个顶点是原点O，另外两点A，B也在抛物线C上．‎ ‎（1）求抛物线C的方程；‎ ‎（2）求正三角形OAB边长．‎ ‎18．椭圆（a＞b＞0），左右焦点分别为F1，F2，C的离心率e=，且过P（）点 ‎（1）求椭圆C的方程；‎ ‎（2）若Q点在椭圆C上，且=30°，求△QF1F2的面积．‎ ‎19．已知点P是椭圆16x2+25y2=1600上一点，且在x轴上方，F1，F2是椭圆的左，右焦点，直线PF2的斜率为．‎ ‎（1）求P点的坐标；‎ ‎（2）求△PF1F2的面积．‎ ‎20．曲线C：y2=12x，直线l：y=k（x﹣4），l与C交于两点A（x1，y1），B（x2，y2）．‎ ‎（1）求x1x2；‎ ‎（2）若|AB|=4，求直线l的方程．‎ ‎21．如图，F1，F2为椭圆C： +=1（a＞b＞0）的左、右焦点，D，E是椭圆的两个顶点，|F1F2|=2，|DE|=，若点M（x0，y0）在椭圆C上，则点N（，）称为点M的一个“椭点”．直线l与椭圆交于A，B两点，A，B两点的“椭点”分别为P，Q，已知以PQ为直径的圆经过坐标原点O．‎ ‎（1）求椭圆C的标准方程；‎ ‎（2）试探讨△AOB的面积S是否为定值？若为定值，求出该定值；若不为定值，请说明理由．‎ ‎　‎ ‎2016-2017学年吉林省长春十一中高二（上）期初数学试卷（文科）‎ 参考答案与试题解析 ‎　‎ 一、选择题（每题5分，共60分）‎ ‎1．椭圆的短轴长为（　　）‎ A．4 B．5 C．6 D．8‎ ‎【考点】椭圆的简单性质．‎ ‎【分析】由椭圆，焦点在y轴上，则a=5，b=4，则短轴长2b=8．‎ ‎【解答】解：由椭圆，焦点在y轴上，则a=5，b=4，‎ 则短轴长2b=8，‎ 故选D．‎ ‎　‎ ‎2．双曲线的一条渐近线方程为（　　）‎ A．y=2x B． C．y=4x D．‎ ‎【考点】双曲线的简单性质．‎ ‎【分析】利用双曲线方程求解渐近线方程即可．‎ ‎【解答】解：双曲线的渐近线方程为：y=±2x．‎ 故选：A．‎ ‎　‎ ‎3．抛物线y=6x2的焦点坐标为（　　）‎ A．（0，） B．（，0） C．（0，） D．（，0）‎ ‎【考点】抛物线的简单性质．‎ ‎【分析】将抛物线y=6x2转化成标准方程为：x2=y，则焦点在y轴的正半轴上，由抛物线的性质可知：2p=，则=，即可求得抛物线的焦点坐标．‎ ‎【解答】解：由抛物线y=6x2的标准方程为：x2=y，焦点在y轴的正半轴上，‎ 由抛物线的性质可知：2p=，则=，‎ ‎∴焦点坐标为（0，），‎ 故选：C．‎ ‎　‎ ‎4．下列命题：①如果x=y，则sinx=siny；②如果a＞b，则a2＞b2；③A，B是两个不同定点，动点P满足|PA|+|PB|是常数，则动点P的轨迹是椭圆．其中正确命题的个数是（　　）‎ A．0 B．1 C．2 D．3‎ ‎【考点】命题的真假判断与应用．‎ ‎【分析】根据三角函数的定义，可判断①；举出反例，可判断②；根据椭圆的定义，可判断③．‎ ‎【解答】解：①如果x=y，则sinx=siny为真命题；‎ ‎②如果a=1，b=﹣1，则a＞b，但a2=b2为假命题；‎ ‎③A，B是两个不同定点，动点P满足|PA|+|PB|是常数，则动点P的轨迹是椭圆或线段，为假命题．‎ 故选：B．‎ ‎　‎ ‎5．椭圆4x2+y2=1的离心率为（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎【考点】椭圆的标准方程．‎ ‎【分析】椭圆4x2+y2=1可化为椭圆+y2‎ ‎=1，求出a，b，c，即可求出椭圆的离心率．‎ ‎【解答】解：椭圆4x2+y2=1可化为椭圆+y2=1，‎ ‎∴a=1，b=，c=，‎ ‎∴e==．‎ 故选C．‎ ‎　‎ ‎6．过（2，2）点与双曲线x2有共同渐近线的双曲线方程为（　　）‎ A．x2 B． C． D．‎ ‎【考点】双曲线的简单性质．‎ ‎【分析】要求的双曲线与双曲线x2﹣=1有共同的渐近线，可设要求的双曲线的标准方程为：x2﹣=λ．把点（2，2）代入可得λ，即可得出．‎ ‎【解答】解：∵要求的双曲线与双曲线x2﹣=1有共同的渐近线，‎ ‎∴可设要求的双曲线的标准方程为：x2﹣=λ．‎ 把点（2，2）代入可得：λ=4﹣1=3，‎ ‎∴要求的双曲线的标准方程为：．‎ 故选C．‎ ‎　‎ ‎7．“点P到两条坐标轴距离相等”是“点P的轨迹方程为y=|x|”的（　　）‎ A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．不充分不必要条件 ‎【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断．‎ ‎【分析】设动点的坐标为（x，y），结合与两坐标轴距离即可求得轨迹方程．‎ ‎【解答】解：设动点P（x，y），则它到两坐标轴x，y距离的分别为|y|，|x|，‎ ‎∴到两坐标轴距离相等的点的轨迹方程是|x|=|y|，‎ 故y=|x|是|x|=|y|的必要不充分条件，‎ 故选：B．‎ ‎　‎ ‎8．椭圆的焦距为6，则m的值为（　　）‎ A．m=1 B．m=19 C．m=1 或 m=19 D．m=4或m=16‎ ‎【考点】椭圆的简单性质．‎ ‎【分析】由椭圆的焦距为6，即2c=6，则c=3，c2=9，由当焦点在x轴上，则0＜m＜10，则c2=10﹣m，当焦点在y轴上，则m＞10，则c2=m﹣10，即可求得m的值．‎ ‎【解答】解：由椭圆的焦距为6，即2c=6，则c=3，c2=9‎ 由当焦点在x轴上，则0＜m＜10，‎ 则c2=10﹣m，‎ 则m=1，‎ 当焦点在y轴上，则m＞10，‎ 则c2=m﹣10，‎ 解得：m=19，‎ 故选C．‎ ‎　‎ ‎9．将双曲线=1的右焦点、右顶点、虚轴的一个端点所组成的三角形叫做双曲线的“黄金三角形”，则双曲线C：x2﹣y2‎ ‎=4的“黄金三角形”的面积是（　　）‎ A．﹣1 B．2﹣2 C．1 D．2‎ ‎【考点】双曲线的简单性质．‎ ‎【分析】根据条件求出右焦点、右顶点、虚轴的一个端点的坐标，结合三角形的面积公式进行计算即可．‎ ‎【解答】解：由x2﹣y2=4得﹣=1，‎ 则a2=b2=4，则a=2，b=2，c=2，‎ 则双曲线的右焦点、右顶点、虚轴的一个端点的坐标分别为（2，0），（2，0），（0，2），‎ 故所求“黄金三角形”的面积S=（2﹣2）×2=2﹣2，‎ 故选：B ‎　‎ ‎10．双曲线的一条渐近线斜率为2，则该双曲线的离心率为（（　　）‎ A． B． C．或 D．或 ‎【考点】双曲线的简单性质．‎ ‎【分析】求出双曲线的渐近线方程，由题意可得b=2a，由a，b，c的关系和离心率公式，计算即可得到．‎ ‎【解答】解：双曲线的渐近线方程为y=±x，‎ 由一条渐近线斜率为2，可得=2，‎ 即b=2a，c==a，‎ 即有e==．‎ 故选：B．‎ ‎　‎ ‎11．已知抛物线C：x2=12y的焦点为F，准线为l，P∈‎ l，Q是线段PF与C的一个交点，若|PF|=3|FQ|．则|FQ|=（　　）‎ A． B． C．4 D．5‎ ‎【考点】抛物线的简单性质．‎ ‎【分析】由题意可知：抛物线C：x2=12y的焦点为F（0，3），丨EF丨=6，设Q到l的距离为d，则由抛物线的定义可得，|FQ|=d，由|PF|=3|FQ|，|PF|=3d，|PQ|=2d，根据三角形相似， ==，即可求得|PF|=2丨EF丨=12，则3d=12，解得：d=4，即可求得|FQ|的值．‎ ‎【解答】解：抛物线C：x2=12y的焦点为F（0，3），丨EF丨=6，‎ 设Q到l的距离为d，则由抛物线的定义可得，|FQ|=d，‎ ‎∵|PF|=3|FQ|，‎ ‎∴|PF|=3d，|PQ|=2d，‎ 由sin∠QPD==，‎ ‎∴∠QPD=30°，‎ ‎∴sin∠QPD==，‎ ‎∴|PF|=2丨EF丨=12，‎ ‎∴3d=12，解得：d=4，‎ ‎∴|FQ|=d=4，‎ 故选：C．‎ ‎　‎ ‎12．直线y=x﹣1与圆及抛物线依次交于A，B，C，D四点，则|AB|+|CD|=（　　）‎ A．6 B．8 C．7 D．9‎ ‎【考点】直线与抛物线的位置关系．‎ ‎【分析】根据抛物线的性质，可得|AD|=x1+x2+2，|BC|为圆直径1，进而得到答案．‎ ‎【解答】解：圆的圆心和抛物线的焦点（1，0），‎ 直线y=x﹣1经过（1，0），‎ 由得：x2﹣6x+1=0，‎ 故|AD|=x1+x2+2=8，‎ 圆的半径为，故直径|BC|=1，‎ 故|AB|+|CD|=|AD|﹣|BC|=7，‎ 故选：C．‎ ‎　‎ 二、填空题（每题5分共20分）‎ ‎13．离心率为的椭圆C：（a＞b＞0），P∈C，且P到椭圆的两个焦点距离之和为8则椭圆C的方程为　　．‎ ‎【考点】椭圆的简单性质．‎ ‎【分析】由题意可知：（a＞b＞0），焦点在x轴上，丨PF1丨+丨PF2丨=2a=8，a=4，椭圆的离心率为e==，即c=3，则b2=a2﹣c2=7，即可求得椭圆C的方程．‎ ‎【解答】解：由题意可知：（a＞b＞0），焦点在x轴上，‎ P到椭圆的两个焦点距离之和为8，‎ 由椭圆的性质可知：丨PF1丨+丨PF2丨=2a=8，‎ ‎∴a=4，‎ 由椭圆的离心率为e==，即c=3，‎ 则b2=a2﹣c2=7‎ ‎∴椭圆的标准方程为：；‎ 故答案为：．‎ ‎　‎ ‎14．抛物线C：y2=16x，C与直线l：y=x﹣4交于A，B两点，则AB中点到y轴距离为　12　．‎ ‎【考点】抛物线的简单性质．‎ ‎【分析】把直线与抛物线的方程联立，消去y得到一个关于x的一元二次方程，利用根与系数的关系求出两根之和x1+x2，即可求出AB中点到y轴距离．‎ ‎【解答】解：把直线方程与抛物线方程联立得，‎ 消去y得到x2﹣24x+16=0，利用根与系数的关系得到x1+x2=24，‎ ‎∴AB中点到y轴距离为12，‎ 故答案为：12．‎ ‎　‎ ‎15．已知椭圆+=1（a＞b＞0），过P（﹣a，0）作圆x2+y2=b2的切线，切点为A，B，若∠APB=120°，则椭圆的离心率为　　．‎ ‎【考点】椭圆的简单性质．‎ ‎【分析】由题意画出图形，根据∠APB=120°，得∠APO=60°，由此能够得到a、b的关系，进一步得到椭圆C的离心率．‎ ‎【解答】解：如图，‎ ‎∵∠APB=120°，∴∠APO=60°，‎ ‎∴=sin60°=，‎ ‎∴e=．‎ 故答案为：．‎ ‎　‎ ‎16．双曲线C与椭圆C1： +=1有相等焦距，与双曲线C2：﹣=1有相同渐近线，则双曲线C的标准方程为　　．‎ ‎【考点】双曲线的简单性质；椭圆的简单性质．‎ ‎【分析】求出椭圆的焦距，得到双曲线C的焦距，双曲线C2：﹣=1的渐近线，设出方程，求解即可．‎ ‎【解答】解：双曲线C与椭圆C1： +=1有相等焦距，可得双曲线C的焦距为：10，即c=5；焦点在x轴上，‎ 双曲线C2：﹣=1有相同渐近线，可设双曲线C：﹣=m，m＞0，‎ 半焦距为： =5，解得m=．‎ 则双曲线C的标准方程为：．‎ 故答案为：．‎ ‎　‎ 三、解答题（满分70分，解答时要写出必要的文字说明、推理过程或演算步骤）‎ ‎17．抛物线C：x2=2py（p＞0）的通径为4，正三角形一个顶点是原点O，另外两点A，B也在抛物线C上．‎ ‎（1）求抛物线C的方程；‎ ‎（2）求正三角形OAB边长．‎ ‎【考点】抛物线的简单性质．‎ ‎【分析】（1）抛物线的通径为2p=4，可得p=2，进而得到抛物线方程；‎ ‎（2）求出A的坐标，即可得到OA的长．‎ ‎【解答】解：（1）∵抛物线的通径为2p=4，∴p=2，‎ ‎∴抛物线C的方程为x2=4y ‎ ‎（2）∵△AOB为正三角形．由抛物线的几何性质知：OA，OB关于y轴对称 ‎∴设直线OA的方程为y=，由得 x2=4，‎ ‎∴xA=4myA=12，‎ ‎∴|OA|=8 ‎ ‎　‎ ‎18．椭圆（a＞b＞0），左右焦点分别为F1，F2，C的离心率e=，且过P（）点 ‎（1）求椭圆C的方程；‎ ‎（2）若Q点在椭圆C上，且=30°，求△QF1F2的面积．‎ ‎【考点】直线与椭圆的位置关系；椭圆的标准方程．‎ ‎【分析】（1）由题意的离心率得到a，b的关系，化椭圆方程为，把P（）代入求得b2=1，则椭圆方程可求；‎ ‎（2）在焦点三角形△QF1F2中，由已知结合余弦定理求得：|QF1|=2，代入三角形面积公式可得△QF1F2的面积．‎ ‎【解答】解：（1）∵椭圆的离心率e=，∴，即a2=4b2，‎ ‎∴椭圆C的方程可写为，‎ 把P（）代入C中，得，∴b2=1，‎ ‎∴椭圆C的方程为；‎ ‎（2）在△QF1F2中，‎ 由余弦定理cos30°==，‎ 解得：|QF1|=2，‎ 且2c=2，‎ ‎∴‎ ‎　‎ ‎19．已知点P是椭圆16x2+25y2=1600上一点，且在x轴上方，F1，F2是椭圆的左，右焦点，直线PF2的斜率为．‎ ‎（1）求P点的坐标；‎ ‎（2）求△PF1F2的面积．‎ ‎【考点】椭圆的简单性质．‎ ‎【分析】（1）将椭圆转化成标准方程：由椭圆的焦点在x轴上，a=10，b=8，c==6，P点的坐标为（x0，y0），代入椭圆方程，由直线的斜率公式可知：，即可求得P点坐标；‎ ‎（2）由△PF1F2的面积S=丨F1F2丨•丨y0丨，将丨F1F2丨=12，代入即可求得△PF1F2的面积．‎ ‎【解答】解：（1）由椭圆16x2+25y2=1600，转化成标准方程：，则椭圆的焦点在x轴上，‎ a=10，b=8，c==6，‎ ‎∴椭圆的焦点坐标为：F1（﹣6，0），F2（6，0），焦距丨F1F2丨=12，‎ 设P点的坐标为（x0，y0），‎ 由P点在椭圆上，且直线PF2的斜率为．‎ 则，‎ 消去y0，得16+25[﹣4（x0﹣6）]2=1600，‎ 整理得：16×76﹣48×12×25x0+25×48×36﹣1600=0，‎ 化简得 19﹣225x0+650=0，‎ 解得：x0=5或x0=，‎ 当x0=时，y0＜0故舍去 把x0=5，代=﹣4入，解得：y0=4，‎ ‎∴P点的坐标为（5，4），‎ ‎（2）△PF1F2的面积S=丨F1F2丨•丨y0丨=×12×4=24，‎ ‎△PF1F2的面积24．‎ ‎　‎ ‎20．曲线C：y2=12x，直线l：y=k（x﹣4），l与C交于两点A（x1，y1），B（x2，y2）．‎ ‎（1）求x1x2；‎ ‎（2）若|AB|=4，求直线l的方程．‎ ‎【考点】直线与抛物线的位置关系．‎ ‎【分析】（1）联立方程组，利用韦达定理求解即可．‎ ‎（2）利用（1）结合弦长公式求解即可．‎ ‎【解答】解：（1）曲线C：y2=12x，直线l：y=k（x﹣4），消去y可得k2（x﹣4）2﹣12x=0，‎ 即：k2x2﹣（8k2+12）x+16k2=0，l与C交于两点A（x1，y1），B（x2，y2）．‎ 可得x1x2==16．‎ ‎（2）由（1）可得：x1+x2=，‎ ‎|AB|=4=|x1﹣x2|=•；‎ 解得k=±1，‎ 直线l：y=±（x﹣4），即x﹣y﹣4=0或x+y﹣4=0．‎ ‎　‎ ‎21．如图，F1，F2为椭圆C： +=1（a＞b＞0）的左、右焦点，D，E是椭圆的两个顶点，|F1F2|=2，|DE|=，若点M（x0，y0）在椭圆C上，则点N（，）称为点M的一个“椭点”．直线l与椭圆交于A，B两点，A，B两点的“椭点”分别为P，Q，已知以PQ为直径的圆经过坐标原点O．‎ ‎（1）求椭圆C的标准方程；‎ ‎（2）试探讨△AOB的面积S是否为定值？若为定值，求出该定值；若不为定值，请说明理由．‎ ‎【考点】椭圆的简单性质．‎ ‎【分析】（1）由D，E是椭圆的两个顶点，|F1F2|=2，|DE|=，列出方程组，求出a，b，由此能求出椭圆C的标准方程．‎ ‎（2）设A（x1，y1），B（x2，y2），则P（，y1），Q（），由OP⊥OQ，即=0，当直线AB的斜率不存在时，S=1．当直线AB的斜率存在时，设其方程为y=kx+m，m≠0，‎ 联立，得（4k2+1）x2+8kmx+4m2﹣4=0，由此利用根的判别式、韦达定理、弦长公式能求出△ABC的面积为1．‎ ‎【解答】解：（1）∵F1，F2为椭圆C： +=1（a＞b＞0）的左、右焦点，‎ D，E是椭圆的两个顶点，|F1F2|=2，|DE|=，‎ ‎∴，解得a=2，b=1，c=，‎ ‎∴椭圆C的标准方程为=1．‎ ‎（2）设A（x1，y1），B（x2，y2），则P（，y1），Q（），‎ 由OP⊥OQ，即=0，（*）‎ ‎①当直线AB的斜率不存在时，S=|x1|×|y1﹣y2|=1．‎ ‎②当直线AB的斜率存在时，设其方程为y=kx+m，m≠0，‎ 联立，得（4k2+1）x2+8kmx+4m2﹣4=0，‎ ‎△=16（4k2+1﹣m2），，‎ 同理，，代入（*），整理，得4k2+1=2m2，‎ 此时，△=16m2＞0，‎ AB=|x1﹣x2|=，‎ h=，∴S=1，‎ 综上，△ABC的面积为1．‎ ‎　‎