2021版高考数学一轮复习核心素养测评三十九平面的性质与空间两条直线的位置关系苏教版

2021版高考数学一轮复习核心素养测评三十九平面的性质与空间两条直线的位置关系苏教版

核心素养测评三十九 平面的性质与空间两条直线的位置关系 ‎(30分钟　60分)‎ 一、选择题(每小题5分,共25分)‎ ‎1.在下列命题中,不是公理的是 (　　)‎ A.平行于同一个平面的两个平面相互平行 B.过不在同一条直线上的三点,有且只有一个平面 C.如果一条直线上的两点在一个平面内,那么这条直线上所有的点都在此平面内 D.如果两个不重合的平面有一个公共点,那么它们有且只有一条过该点的公共直线 ‎【解析】选A.选项A是面面平行的性质定理,是由公理推证出来的,而公理是不需要证明的.‎ ‎2.若直线a,b,c满足a∥b,a,c异面,则b与c (　　)‎ A.一定是异面直线 B.一定是相交直线 C.不可能是平行直线 D.不可能是相交直线 ‎【解析】选C.若a∥b,a,c是异面直线,那么b与c不可能平行,否则由公理4知a∥c.‎ ‎3.空间四边形ABCD中,E,F分别为AC,BD的中点,若CD=2AB,EF⊥AB,则EF与CD所成的角为 (　　)‎ A.30° B.45° C.60° D.90°‎ ‎【解析】选A.取AD的中点H,连接FH,EH,‎ 在△EFH中,∠EFH=90°,HE=2HF,从而∠FEH=30°,即EF与CD所成角为30°.‎ ‎4.空间四点A,B,C,D共面而不共线,那么这四点中 (　　)‎ A.必有三点共线 B.必有三点不共线 C.至少有三点共线 D.不可能有三点共线 ‎【解析】选B.如图①②所示,A,C,D均不正确,只有B正确.‎ - 9 -‎ ‎5.已知正四面体ABCD中,E是AB的中点,则异面直线CE与BD所成角的余弦值 为 (　　)‎ A. B. C. D.‎ ‎【解析】选B.画出正四面体ABCD的直观图,如图所示.‎ 设其棱长为2,取AD的中点F,连接EF,‎ 设EF的中点为O,连接CO,则EF∥BD,‎ 则∠FEC就是异面直线CE与BD所成的角.‎ ‎△ABC为等边三角形,则CE⊥AB,‎ 易得CE=,同理可得CF=,故CE=CF.‎ 因为OE=OF,所以CO⊥EF.‎ 又EO=EF=BD=,‎ 所以cos∠FEC===.‎ 二、填空题(每小题5分,共15分)‎ ‎6.如图,在正方体ABCD-A1B‎1C1D1中,M,N分别是棱CD,CC1的中点,则异面直线A‎1M与DN所成的角的大小是________. ‎ - 9 -‎ ‎【解析】如图,取CN的中点K,连接MK,则MK为△CDN的中位线,所以MK∥DN.‎ 所以∠A1MK为异面直线A‎1M与DN所成的角.连接A‎1C1,AM.设正方体的棱长为4,则A1K==,‎ MK=DN==,A‎1M==6,‎ 所以A‎1M2‎+MK2=A1K2,所以∠A1MK=90°.‎ 答案:90°‎ ‎7.如图,正方体的底面与正四面体的底面在同一平面α上,且AB∥CD,则直线EF与正方体的六个面所在的平面相交的平面个数为________. ‎ ‎【解析】EF与正方体左、右两侧面均平行.所以与EF相交的侧面有4个.‎ 答案:4‎ ‎8.设a,b,c是空间中的三条直线,下面给出五个命题:‎ ‎①若a∥b,b∥c,则a∥c;‎ ‎②若a⊥b,b⊥c,则a∥c;‎ ‎③若a与b相交,b与c相交,则a与c相交;‎ ‎④若a⊂平面α,b⊂平面β,则a,b一定是异面直线;‎ ‎⑤若a,b与c成等角,则a∥b.‎ 上述命题中正确的命题是________(只填序号).  ‎ ‎【解析】由公理4知①正确;‎ 当a⊥b,b⊥c时,a与c可以相交、平行,也可以异面,故②不正确;‎ 当a与b相交,b与c相交时,a与c可以相交、平行,也可以异面,故③不正确;‎ a⊂α,b⊂β,并不能说明a与b“不同在任何一个平面内”,故④不正确;‎ 当a,b与c成等角时,a与b可以相交、平行,也可以异面,故⑤不正确.‎ - 9 -‎ 答案:①‎ 三、解答题(每小题10分,共20分)‎ ‎9.如图所示,A是△BCD所在平面外的一点,E,F分别是BC,AD的中点.‎ ‎(1)求证:直线EF与BD是异面直线;‎ ‎(2)若AC⊥BD,AC=BD,求EF与BD所成的角.‎ ‎【解析】(1)假设EF与BD不是异面直线,则EF与BD共面,从而DF与BE共面,即AD与BC共面,所以A,B,C,D在同一平面内,这与A是△BCD所在平面外的一点相矛盾.故直线EF与BD是异面直线.‎ ‎(2)取CD的中点G,连接EG,FG,则AC∥FG,EG∥BD,所以相交直线EF与EG所成的角,即为异面直线EF与BD所成的角.‎ 又因为AC⊥BD,则FG⊥EG.在Rt△EGF中,由EG=FG=AC,求得∠FEG=45°,‎ 即异面直线EF与BD所成的角为45°.‎ ‎10.已知空间四边形ABCD的对角线AC=20,‎ BD=19,异面直线AC与BD所成的角的余弦值为,点P,Q,M,N分别是AB,BC,CD,DA的中点,‎ ‎(1)求证:四边形PQMN是平行四边形.‎ ‎(2)求四边形PQMN的面积.‎ - 9 -‎ ‎【解析】(1)因为P,Q是AB,BC的中点,所以PQ∥AC,PQ=AC,同理MN∥AC,MN=AC,‎ 所以PQ∥MN,PQ=MN,所以PQMN是平行四边形.‎ ‎(2)因为P,N是AB,AD的中点,所以PN∥BD,PN=BD=,又因为PQ∥AC,所以PQ与PN所成的角就是异面直线AC,BD成的角,所以sin∠QPN ‎===,‎ 所以四边形PQMN的面积为S=‎ PQ·PN·sin∠QPN=10××=5.‎ ‎(15分钟　35分)‎ ‎1.(5分)设A,B,C,D是空间四个不同的点,在下列命题中,不正确的是 (　　)‎ A.若AC与BD共面,则AD与BC共面 B.若AC与BD是异面直线,则AD与BC是异面直线 C.若AB=AC,DB=DC,则AD=BC D.若AB=AC,DB=DC,则AD⊥BC ‎【解析】选C.由公理1知,命题A正确.‎ 对于B,假设AD与BC共面,由A正确得AC与BD共面,这与题设矛盾,故假设不成立,从而结论正确.‎ 对于C,如图,当AB=AC,DB=DC,使二面角A-BC-D的大小变化时,AD与BC不一定相等,故不正确.‎ 对于D,如图,取BC的中点E,连接AE,DE,则由题设得BC⊥AE,BC⊥DE.‎ 根据线面垂直的判定定理得BC⊥平面ADE,‎ 从而AD⊥BC.‎ ‎2.(5分)(多选)在空间中,有如下四个命题,其中正确的命题是 (　　)‎ - 9 -‎ A.平行于同一个平面的两条直线是平行直线 B.垂直于同一条直线的两个平面是平行平面 C.若平面α内有不共线的三点到平面β的距离相等,则α∥β D.过平面α的一条斜线,有且只有一个平面与平面α垂直 ‎【解析】选BD.A平行于同一个平面的两条直线,可能平行、相交或异面,不正确;B由面面平行的判定定理知正确;C若平面α内有不共线的三点到平面β的距离相等,则α与β可能平行,也可能相交,不正确;易知D正确.‎ ‎【变式备选】‎ 如图是正四面体的平面展开图,G,H,M,N分别为DE,BE,EF,EC的中点,在这个正四面体中,①GH与EF平行;②BD与MN为异面直线;③GH与MN成60°角;④DE与MN垂直.‎ 以上四个结论中,正确结论的序号是________. ‎ ‎【解析】还原成正四面体A-DEF,其中H与N重合,A,B,C三点重合.‎ 易知GH与EF异面,BD与MN异面.‎ 连接GM,因为△GMH为等边三角形,所以GH与MN成60°角,易证DE⊥AF,‎ 又MN∥AF,所以MN⊥DE.‎ 因此正确结论的序号是②③④.‎ 答案:②③④‎ ‎3.(5分)平面α过正方体ABCD-A1B‎1C1D1的顶点A,α∥平面CB1D1,α∩平面ABCD=m,α∩平面ABB‎1A1=n,则m,n所成角的正弦值为 (　　)‎ A. B. C. D.‎ - 9 -‎ ‎【解析】选A.方法一:因为α∥平面CB1D1,平面ABCD∥平面A1B‎1C1D1,α∩平面ABCD=m,平面CB1D1∩平面A1B‎1C1D1=B1D1,所以m∥B1D1.‎ 因为α∥平面CB1D1,平面ABB‎1A1∥平面DCC1D1,α∩平面ABB‎1A1=n,平面CB1D1∩平面DCC1D1=CD1,所以n∥CD1.‎ 所以B1D1,CD1所成的角等于m,n所成的角,‎ 即∠B1D‎1C等于m,n所成的角.‎ 因为△B1D‎1C为正三角形,所以∠B1D‎1C=60°,‎ 所以m,n所成的角的正弦值为.‎ 方法二:由题意画出图形如图,‎ 将正方体ABCD-A1B‎1C1D1平移,‎ 补形为两个全等的正方体如图,易证平面AEF∥平面CB1D1,所以平面AEF即为平面α,‎ m即为AE,n即为AF,所以AE与AF所成的角即为m与n所成的角.因为△AEF是正三角形,所以∠EAF=60°,故m,n所成角的正弦值为.‎ ‎4.(10分)已知:空间四边形ABCD(如图所示),E,F分别是AB,AD的中点,G,H分别是BC,CD上的点,且CG=BC,CH=DC.求证: ‎ ‎(1)E,F,G,H四点共面.‎ ‎(2)三直线FH,EG,AC共点.‎ ‎【证明】(1)连接EF,GH,‎ - 9 -‎ 因为E,F分别是AB,AD的中点,所以EF∥BD.‎ 又因为CG=BC,CH=DC,所以GH∥BD,‎ 所以EF∥GH,所以E,F,G,H四点共面.‎ ‎(2)易知FH与直线AC不平行,但共面,所以设FH∩AC=M,所以M∈平面EFHG,M∈平面ABC.又因为平面EFHG∩平面ABC=EG,所以M∈EG,所以三直线FH,EG,AC共点.‎ ‎5.(10分)如图所示,等腰直角三角形ABC中,∠A=90°,BC=,DA⊥AC,DA⊥AB,若DA=1,且E为DA的中点.求异面直线BE与CD所成角的余弦值. ‎ ‎【解析】如图所示,取AC的中点F,连接EF,BF,‎ 在△ACD中,E,F分别是AD,AC的中点,‎ 所以EF∥CD,所以∠BEF或其补角即为异面直线BE与CD所成的角.在Rt△EAB中,AB=AC=1,‎ AE=AD=,所以BE=.‎ 在Rt△EAF中,AF=AC=,AE=,‎ 所以EF=.‎ - 9 -‎ 在Rt△BAF中,AB=1,AF=,‎ 所以BF=.‎ 在等腰三角形EBF中,cos∠FEB===.所以异面直线BE与CD所成角的余弦值为.‎ - 9 -‎