【推荐】专题7-4 基本不等式及不等式的应用 -2018年高三数学（文）一轮总复习名师伴学
真题回放
1. 【2017江苏，10】某公司一年购买某种货物600吨，每次购买吨，运费为6万元/次，一年的总存储费
用为万元,要使一年的总运费与总存储之和最小,则的值是 ▲ .
【答案】30
【解析】总费用，当且仅当，即时等号成立.
【考点】基本不等式求最值
【名师点睛】在利用基本不等式求最值时，要特别注意“拆、拼、凑”等技巧，使其满足基本不等式中“正”(即条件要求中字母为正数)、“定”(不等式的另一边必须为定值)、“等”(等号取得的条件)的条件才能应用，否则会出现错误.
2. 【2017天津，文13】若a，，，则的最小值为 .
【答案】
3. 【2017山东，文】若直线 过点（1,2）,则2a+b的最小值为 .
【答案】
【考点】基本不等式
考点分析
考点
了解A
掌握B
灵活运用C
基本不等式
C
高考对基本不等式的考察有这样三个方面：1、利用基本不等式证明简单不等式考查较少，一般出现在解答题中；利用基本不等式比较大小通常出现在选择题中，常与不等关系结合考查。2、利用基本不等式求最值是基本不等式考查的热点。3、常以函数应用题为载体，结合新背景考查基本不等式的实际应用。
知识链接
1．基本不等式≤
(1)基本不等式成立的条件：a>0，b>0.
(2)等号成立的条件：当且仅当a＝b时取等号．
2．几个重要的不等式
(1)a2＋b2≥2ab(a，b∈R)．
(2)＋≥2(a，b同号)．
(3)ab≤2 (a，b∈R)．
(4)≥2 (a，b∈R)．
以上不等式等号成立的条件均为a＝b.
3．算术平均数与几何平均数
设a>0，b>0，则a，b的算术平均数为，几何平均数为，基本不等式可叙述为两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数．
4．利用基本不等式求最值问题
已知x>0，y>0，则
(1)如果积xy是定值p，那么当且仅当x＝y时，x＋y有最小值2.(简记：积定和最小)
(2)如果和x＋y是定值p，那么当且仅当x＝y时，xy有最大值.(简记：和定积最大)
融会贯通
题型一 利用基本不等式求最值
典例1. (1)已知0
1)的最小值为________．
【答案】 (1) (2)1 (3)2＋2
典例2 已知a>0，b>0，a＋b＝1，则＋的最小值为________．
【答案】 4
【解析】 ∵a>0，b>0，a＋b＝1，
∴＋＝＋＝2＋＋
≥2＋2＝4，即＋的最小值为4，当且仅当a＝b＝时等号成立．
引申探究
1．条件不变，求(1＋)(1＋)的最小值．
【解析】 (1＋)(1＋)＝(1＋)(1＋)＝(2＋)·(2＋)
＝5＋2(＋)≥5＋4＝9.
当且仅当a＝b＝时，取等号．
2．已知a>0，b>0，＋＝4，求a＋b的最小值．
【解析】 由＋＝4，得＋＝1.
∴a＋b＝(＋)(a＋b)＝＋＋≥＋2＝1.
当且仅当a＝b＝时取等号．
3．将条件改为a＋2b＝3，求＋的最小值．
解题技巧与方法总结
(1)应用基本不等式解题一定要注意应用的前提：“一正”“二定”“三相等”．所谓“一正”是指正数，“二定”是指应用基本不等式求最值时，和或积为定值，“三相等”是指满足等号成立的条件．
(2)在利用基本不等式求最值时，要根据式子的特征灵活变形，配凑出积、和为常数的形式，然后再利用基本不等式．
(3)条件最值的求解通常有两种方法：一是消元法，即根据条件建立两个量之间的函数关系，然后代入代数式转化为函数的最值求解；二是将条件灵活变形，利用常数“1”代换的方法构造和或积为常数的式子，然后利用基本不等式求解最值．
【变式训练】(1)若正数x，y满足x＋3y＝5xy，则3x＋4y的最小值是________．
(2)已知x，y∈(0，＋∞)，2x－3＝()y，若＋(m>0)的最小值为3，则m＝________.
【答案】 (1)5 (2)4
(2)由2x－3＝()y得x＋y＝3，
＋＝(x＋y)(＋)
＝(1＋m＋＋)
≥(1＋m＋2)
(当且仅当＝，即y＝x时取等号)，
∴(1＋m＋2)＝3，
解得m＝4.
题型二 基本不等式的实际应用
典例3 某厂家拟在2016年举行促销活动，经调查测算，该产品的年销量(即该厂的年产量)x万件与年促销费用m(m≥0)万元满足x＝3－(k为常数)．如果不搞促销活动，那么该产品的年销量只能是1万件．已知2016年生产该产品的固定投入为8万元，每生产一万件该产品需要再投入16万元，厂家将每件产品的销售价格定为每件产品平均成本的1.5倍(产品成本包括固定投入和再投入两部分资金)．
(1)将2016年该产品的利润y万元表示为年促销费用m万元的函数；
(2)该厂家2016年的促销费用投入多少万元时，厂家利润最大？
【答案】详情见解析
解题技巧与方法总结
(1)设变量时一般要把求最大值或最小值的变量定义为函数．
(2)根据实际问题抽象出函数的解析式后，只需利用基本不等式求得函数的最值．
(3)在求函数的最值时，一定要在定义域(使实际问题有意义的自变量的取值范围)内求解．
【变式训练】(1)某车间分批生产某种产品，每批的生产准备费用为800元．若每批生产x件，则平均仓储时间为天，且每件产品每天的仓储费用为1元．为使平均到每件产品的生产准备费用与仓储费用之和最小，每批应生产产品________件．
(2)某公司购买一批机器投入生产，据市场分析，每台机器生产的产品可获得的总利润y(单位：万元)与机器运转时间x(单位：年)的关系为y＝－x2＋18x－25(x∈N*)，则每台机器为该公司创造的年平均利润的最大值是________万元．
【答案】 (1)80 (2)8
【解析】 (1)设每件产品的平均费用为y元，由题意得
y＝＋≥2 ＝20.
当且仅当＝(x>0)，即x＝80时“＝”成立．
(2)年平均利润为＝－x－＋18
＝－(x＋)＋18，
∵x＋≥2＝10，
∴＝18－(x＋)≤18－10＝8，
当且仅当x＝，即x＝5时，取等号．
题型三 基本不等式的综合应用
典例4 (1)(2016·菏泽一模)已知直线ax＋by＋c－1＝0(b，c>0)经过圆x2＋y2－2y－5＝0的圆心，则＋的最小值是( )
A．9 B．8 C．4 D．2
(2)(2016·山西忻州一中等第一次联考)设等差数列{an}的公差是d，其前n项和是Sn，若a1＝d＝1，则的最小值是________．
【答案】 (1)A (2)
∴＝＝(n＋＋1)≥
(2＋1)＝，
当且仅当n＝4时取等号．
∴的最小值是.
典例5 (1)已知a>0，b>0，若不等式＋≥恒成立，则m的最大值为( )
A．9 B．12 C．18 D．24
(2)已知函数f(x)＝(a∈R)，若对于任意的x∈N*，f(x)≥3恒成立，则a的取值范围是________．
【答案】 (1)B (2)[－，＋∞)
解题技巧与方法总结
(1)应用基本不等式判断不等式是否成立：对所给不等式(或式子)变形，然后利用基本不等式求解．
(2)条件不等式的最值问题：通过条件转化成能利用基本不等式的形式求解．
(3)求参数的值或范围：观察题目特点，利用基本不等式确定相关成立条件，从而得参数的值或范围．
【变式训练】(1)(2016·福建四地六校联考)已知函数f(x)＝x＋＋2的值域为(－∞，0]∪[4，＋∞)，则a的值是( )
A. B. C．1 D．2
(2)已知各项均为正数的等比数列{an}满足a7＝a6＋2a5，若存在两项am，an使得＝4a1，则＋的最小值为( )
A. B. C. D.
【答案】 (1)C (2)A
练习检测
1.（2017湖北省部分重点中学2018届高三7月联考）在△ABC 中，内角A，B，C 所对的边分别为a，b，c，已知成等差数列，则cosB的最小值为 （ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】， ,当且仅当时取等号，因此选A.
点睛：三角形中最值问题，一般转化为条件最值问题:先根据正、余弦定理及三角形面积公式结合已知条件灵活转化边和角之间的关系，利用基本不等式或函数方法求最值. 在利用基本不等式求最值时，要特别注意“拆、拼、凑”等技巧，使其满足基本不等式中“正”(即条件要求中字母为正数)、“定”(不等式的另一边必须为定值)、“等”(等号取得的条件)的条件才能应用，否则会出现错误.
2. （2017江西省六校2018届高三上学期第五次联考）若两个正实数满足，且不等式有解，则实数的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
3. （2017浙江省“七彩阳光”联盟）. 若，则的最大值是（ ）
A. 1 B. C. D. 2
【答案】A
【解析】，又由
，所以，从而，当且仅当， 时取最大值．所以选A
点睛：在利用基本不等式求最值时，要特别注意“拆、拼、凑”等技巧，使其满足基本不等式中“正”(即条件要求中字母为正数)、“定”(不等式的另一边必须为定值)、“等”(等号取得的条件)的条件才能应用，否则会出现错误.
4.（2017贵州省遵义航天高级中学）. 下列函数中，最小值为2的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
5. （2017江西赣中南五校联考）. 设， ，且不等式恒成立，则实数的最小值等于( )
A. 0 B. 4 C. D.
【答案】C
【解析】，而时取等号），， 要使恒成立，应有， 实数的最小值等于，故选C.
6.（2017陕西省宝鸡中学）. 若x>3，则函数y=x+1x-3的最小值为 ( )
A. 2 B. 23+1 C. 22+6 D. 5
【答案】D
【解析】由函数y=x+1x-3得y=x-3+1x-3+3，
∵x>3，∴x−3>0，
∴由基本不等式得y=x-3+1x-3+3≥2x-3×1x-3=3=5，
当且仅当x=4时取等号。
本题选择D选项.
点睛：在应用基本不等式求最值时，要把握不等式成立的三个条件，就是“一正——各项均为正；二定——积或和为定值；三相等——等号能否取得”，若忽略了某个条件，就会出现错误．
7.（2017安徽省合肥市高三调研）若函数在定义域上单调递增，则实数的取值范围为（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
8.（2017山东省菏泽一中、单县一中）曲线（）在点处的切线的斜率为2，则的最小值是（ ）
A. 10 B. 9 C. 8 D.
【答案】B
【解析】函数求导可得,
,=,等号成立条件即，选B.
9.（2017陕西省宝鸡中学）下列不等式中，正确的个数为 ( )
①若x>0且x≠1，则lnx+1lnx≥2；②a2+b2+2≥2a+2b；
③x2+1x2+1≥1；④若a>0,b>0，则a2b+b2a≥a+b；
⑤任意的x>0，都有ex>x+1.
A. 1 B. 2 C. 3 D. 4
【答案】D
10.（2017山东省济南第一中学）已知正数满足，则的最小值为________.
【答案】25
【解析】正数满足，有，即.
.
当且仅当，即时的最小值为25.
答案为：25.
点睛：本题主要考查基本不等式，其难点主要在于利用三角形的一边及这条边上的高表示内接正方形的边长.在用基本不等式求最值时，应具备三个条件：一正二定三相等.①一正：关系式中，各项均为正数；②二定：关系式中，含变量的各项的和或积必须有一个为定值；③三相等：含变量的各项均相等，取得最值.
