黑龙江省哈尔滨市第六中学2018届高三第二次模拟考试数学(理)试题+答案

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黑龙江省哈尔滨市第六中学2018届高三第二次模拟考试数学(理)试题+答案

哈尔滨市第六中学 2018 届高三第二次模拟考试 理科数学试卷 考试说明:本试卷分第 I 卷(选择题)和第 II 卷(非选择题)两部分, 满分 150 分,考试时间 120 分钟. (1)答题前,考生先将自己的姓名、准考证号码填写清楚; (2)选择题必须使用 2B 铅笔填涂, 非选择题必须使用 0.5 毫米黑色字迹的签字笔书写, 字体 工整, 字迹清楚; (3)请在各题目的答题区域内作答,超出答题区域书写的答案无效,在草稿纸、试题卷上答 题无效; (4)保持卡面清洁,不得折叠、不要弄破、弄皱,不准使用涂改液、刮纸刀. 第Ⅰ卷(选择题 共 60 分) 一、选择题:本大题共 12 个小题,每小题 5 分,共 60 分.在每小题给出的四个选项中,只有一项 是符合题目要求的. 1.已知复数 z 满足 3( 1)( ) 2i z i i   (i 为虚数单位),则 z 的共轭复数为( ) A. 1i  B.1 2i C.1 i D.1 2i 2.已知集合 A={x| 2( ) lg( 6)f x x x   },B={x| ( )g x = x m },若 A B  I ,则实数 m 的取 值范围是( ) A.(−∞,3) B.(−2,3) C.(−∞,−2) D.(3,+∞) 3.已知双曲线 2 2 2 2 1x y a b   (a>0,b>0)的右顶点与抛物线 2y =8x 的焦点重合,且其离心率 e= 3 2 , 则该双曲线的方程为( ) A. 2 2 14 5 y x  B. 2 2 15 4 x y  C. 2 2 14 5 x y  D. 2 2 15 4 y x  4.已知在各项均为正数的等比数列{ na }中, 1 3a a =16, 3a + 4a =24,则 5a =( ) A.128 B.108 C.64 D.32 5.已知 是第四象限角,且 1sin cos 5    ,则 tan 2  =( ) A. 1 3 B. 1 3  C. 1 2 D. 1 2  6.已知命题 p:存在 n R ,使得 ( )f x = 2 2n nnx  是幂函数,且在 (0, ) 上单调递增; 命题 q: “ 2, 2 3x R x x    ”的否定是“ 2, 2 3x R x x    ”.则下列命题为真命题的是( ) A. p q B. p q  C. p q D. p q  7.函数 ( )f x = 2 ln | |2 x x  的图象大致为( ) A. B. C. D. 8.如图所示的程序框图的思路源于数学史上一个著名数列“斐波那契数列”, 执行该程序,若输入 6n  ,则输出C =( ) A.5 B.8 C.13 D. 21 9.从 , , , ,A B C D E 五名歌手中任选三人出席某义演活动,当三名歌手中有 A 和 B 时, A 需排在 B 的前面出场(不一定相邻),则不同的出场方法有( ) A.51 种 B.45 种 C.42 种 D.36 种 10.已知某几何体的三视图如图所示,则该几何体的内切球的体积为( ) A. 1 4  B. 3 4  C. 1 2  D. 3 2  11.正方形 ABCD的四个顶点都在椭圆 2 2 2 2 1x y a b   上,若椭圆的焦点在 正方形的内部,则椭圆的离心率的取值范围是( ) A. 5 1(0, )2  B. 5 1( ,1)2  C. 3 1( ,1)2  D. 3 1(0, )2  12.已知 ( )f x 为函数 ( )f x 的导函数,且 ( )f x = 21 2 x − (0)f x+ (1)f  1xe  , ( )g x = ( )f x − 21 2 x x ,若方程 2 ( )xg xa  −x=0 在(0,+∞)上有且仅有一个根,则实数 a 的取 值范围是( ) A. (0,1] B.(−∞,−1] C. (−∞,0)∪{1} D.[1,+∞) 第 II 卷(非选择题 共 90 分) 本卷包括必考题和选考题两部分.第 13 题~第 21 题为必考题,每个试题考生都必须作答,第 22 题、第 23 题为选考题,考生根据要求作答. 二、填空题(本大题共 4 小题,每题 5 分.) 13.一个煤气站有 5 个阀门控制对外输送煤气,使用这些阀门必须遵守以下操作规则: (i)如果开启 1 号阀门,那么必须同时开启 2 号阀门并且关闭 5 号阀门;(ii)如果开启 2 号阀门或者 5 号阀门,那么要关闭 4 号阀门;(iii)不能同时关闭 3 号阀门和 4 号阀门.现 在要开启 1 号阀门,则同时开启的 2 个阀门是 . 14.若实数 x,y 满足约束条件 4 2 y x y x y k        ,且 2 2x y    的最小值为 4 ,则 k = . 15.若 9 2 9 0 1 2 9( 1) ( 1) ( 1)x a a x a x a x       L ,则 7a 的值为 . 16.已知首项为 1 3 的数列{ na }的前 n 项和为 nS ,定义在[1,+∞)上恒不为零的函数 ( )f x ,对 任意 的 x,y∈R,都有 ( )f x · ( )f y = ( )f x y .若点(n, na )(n∈N*)在函数 ( )f x 的图象上, 且不 等式 2m + 2 3 m < nS 对任意的 n∈N*恒成立,则实数 m 的取值范围为______________ 三、解答题 (本大题共 6 小题,共 70 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.) 17.(本小题满分 12 分)在 ABC 中,角 , ,A B C 的对边分别为 , ,a b c , 且满足 (2 )cos cosc b A a B  . (1)求角 A 的大小; (2)若 D 为 BC 上一点,且满足 2 , 2 3BD DC AD  uuur uuur , 3,b  求 a . 18.(本小题满分 12 分)如图 1,已知在梯形 ABCD中, / /AB CD , ,E F 分别为底 ,AB CD 上 的点,且 EF AB , 1 12,2 2EF EB FC EA FD    ,沿 EF 将平面 AEFD 折起至平 面 AEFD 平面 EBCF ,如图 2 所示. (1)求证:平面 ABD⊥平面 BDF; (2)若二面角 B−AD−F 的大小为 60°,求 EA 的长度. 图 图 1 图 2 19.(本小题满分 12 分)小张经营一个抽奖游戏。顾客花费 3 元钱可购买游戏机会。每次游戏 中,顾客从装有1个黑球,3 个红球,6 个白球的不透明的袋子中依次不放回地摸出 3 个 球(除颜色外其他都相同),根据摸出的球的颜色情况进行兑奖。顾客获得一等奖,二等 奖,三等奖,四等奖时分别可领取的奖金为 a 元,10元,5 元,1元。若经营者小张将顾 客摸出的3 个球的颜色情况分成以下类别: :1A 个黑球 2 个红球; :3B 个红球; :C 恰有 1个白球; :D 恰有 2 个 白球; :3E 个白球。且小张计划将五种类别按发生的机会从小到大的顺序分别对应中一 等奖, 中二等奖,中三等奖,中四等奖,不中奖五个层次。 (1)通过计算写出一至四等奖分别对应的类别(写出字母即可); (2)已知顾客摸出的第一个球是红球的条件下,求他获得二等奖的概率; (3)设顾客进行一次游戏时小张可获利 X 元,求变量 X 的分布列;若小张不打算在游戏 中亏 本,求 a 的最大值. 20.(本小题满分 12 分)已知椭圆 )0(1: 2 2 2 2  bab y a xC ,过椭圆C 的右焦点 F 任作一条直 线,交椭圆C 于 BA, 两点.过椭圆C 的中心任作一条直线,交椭圆C 于 NM, 两点. (1)求证:直线 AM 与直线 AN 的斜率之积为定值. (2)若 22a AB ON  ,试探究直线 AB 与直线 MN 的倾斜角之间的关系. 21.(本小题满分 12 分)已知    1 xf x x e  (1)当 0a  时,求函数   21( ) 2g x f x ax  的极值点. (2)若 1x  ,都有    ln 1f x x m x    成立,求 m 取值范围. 请从下面所给的 22、23 题中任选一题作答,如果多做,则按做的第一题计分. 22.(本小题满分 10 分)在极坐标系中,已知曲线 : cos( ) 14C     ,过极点 O 作射线与曲 线C 交于点 Q ,在射线OQ 上取一点 P ,使 2OP OQ  . (1)求点 P 轨迹 1C 的极坐标方程; (2)以极点O 为直角坐标系原点,极轴为 x 轴的正半轴,建立直角坐标系 xOy , 若直线 : 3l y x  与(1)中的曲线 1C 相交于点 E (异于点O ),与曲线 2 21 2: ( ) 1 2 2 2 x t C t y t        为参数 相交于点 F ,求 EF 的值. 23.(本小题满分 10 分)设 ( ) 1 1 ,( )f x x x x R     (1)求证: ( ) 2;f x  (2)若不等式 2 1 1( ) b bf x b    对任意非零实数b 恒成立,求 x 的取值范围. 2018 届高三理科数学二模答案 一、 选择题: BACDB CBBAD AC 二、 填空题: 三、简答题: 17.解:(1)在 中,由正弦定理得: 4 分 (2)在 中,由余弦定理得: 5 分 在 中,由余弦定理得: 7 分 在 中,由余弦定理得: 9 分 解得: 12 分 18.解:(1) ; ; ; ; ; ∵ , ∴中一至四等奖分别对应的类别是 B,A,E,C. 5 分 (2)事件 为顾客摸出的第一个球是红球,事件 为顾客获得二等奖 8 分 (3)设顾客进行一次游戏经营者可盈利 元,则 X 3-a -7 -2 2 3 P 1 0 分 , 12 分 19.(1)由题意知 EA FD,EB FC,所以 AB∥CD,即 A,B,C, D 四点共面.由 EF=EB FC=2,EF⊥AB,得 FB=BC=2 ,则 BC⊥FB,又翻折后平面 AEFD⊥平 面 EBCF,平面 AEFD∩平面 EBCF=EF,DF⊥EF,所以 DF⊥平面 EBCF,因而 BC⊥DF,又 DF∩FB=F, 所以 BC⊥平面 BDF,由于 BC 平面 BCD,则平面 BCD⊥平面 BDF,又平面 ABD 即平面 BCD 所以平面 ABD⊥平面 BDF.(6 分) (2)以 F 为坐标原点,FE,FC,FD 所在的直线分别为 x,y,z 轴,建立如图所示的空间直角坐 标系, 则 F(0,0,0),B (2,2,0),设 EA=t(t>0),则 A (2,0,t), D(0,0,2t), =(0,2,−t), =(−2,0,t).(8 分) 设平面 ABD 的法向量为 m=(x,y,z),则 即 , 取 x=t,则 y=t,z=2,所以 m=(t,t,2)为平面 ABD 的一个法向量. 又平面 FAD 的一个法向量为 n=(0,1,0), 则|cos|= = , 所以 t= ,即 EA 的长度为 .(12 分) 20.解:(1)证明:设 A(x0,y0),M(x1,y1),N(-x1,-y1), 由 2 00+ 2 00=1, 2 11 + 2 11=1,两式相减,得 2 0 2 11+ 2 0 2 11=0,即 2 0 2 1 2 0 2 1 2 1=- b2 a2. ∵kAM= y0-y1 x0-x1,kAN= y0+y1 x0+x1, ∴kAM·kAN=- b2 a2为定值. 4 分 (2)当弦 AB 所在直线的斜率不存在时,|AB|= 2b2 a , ∴|MN|=2b,∴弦 MN 为椭圆的短轴,此时,MN∥AB. 5 分 当弦 AB,弦 MN 所在直线的斜率均存在时, 不妨设弦 AB 与弦 MN 所在直线的斜率分别为 k1,k2,A(x1,y1),B(x2,y2), M(x3,y3),N(x4,y4), 则直线 AB,MN 的方程分别为 y=k1(x-c),y=k2x, 由 y=k1(x-c), b2x2+a2y2-a2b2=0, 得(b2+a2k 2 1)x2-2a2k 2 1cx+a2c2k 2 1-a2b2=0, ∴x1+x2= 2 1 2 1 2 1,x1x2= 2 1 2 1 2 1, ∴|AB|= 2 1 2 1·|x1-x2|= 2 1 2 1· = 2 1 2 1· 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 = 2 1 2 1· 2 1 2 1 2 )2= 2 1 2 1 2 1. 8 分 同理,联立 y=k2x, b2x2+a2y2-a2b2=0, 得(b2+a2k 2 2)x2-a2b2=0, ∴x3+x4=0,x3x4= 2 2 2 2, ∴|MN|= 2 2 2 2·|x3-x4|= 2 2 2 2·= 2 2 2 2· 2 2 2 2= 2ab· 2 2 2 2 2 2. 10 分 ∵a|AB|=2|ON|2 ∴ 2a|AB|=|MN|2, ∴2a· 2 1 2 1 2 1=4a2b2· 2 2 2 2 2 2, 即 2 1 2 1 2 1= 2 2 2 2 2 2, 即(a2-b2)k 2 1=(a2-b2)k 2 2. ∵a>b,∴k 2 1=k 2 2,∴k1=±k2, ∴直线 AB 与直线 MN 的倾斜角相等或互补. 综上所述,直线 AB 与直线 MN 的倾斜角相等或互补. 12 分 21.(1) 令 得 或 ①当 时, 当 在 上变化时,可得下表: 0 0 ↗ 极小值 ↘ 极大值 ↗ 所以由表可知,此时极大值点为 ,极小值点为 ②同理当 时,极大值点为 ,极小值点为 ③当 时, ,此时 在 上单调递增,既无极 大值点也无极小值点 (2)设 令 ∴ 为增函数 取 , , ∴ 存 在 唯 一 使 , 即 , ,即 ,∴ 为减函数 , ,即 ,∴ 为增函数 ∴ ∴对 有 成立 等价 于恒成立 即 所以 23. (1)f(x)=|x-1|+|x+1|=|1-x|+|x+1|≥|1-x+x+1|=2. 5 分 (2)令 g(b)= ,则 g(b)= ≤ =3, ∴f(x)≥3,即|x-1|+|x+1|≥3. 化简得 或 或 解得 x≤- 或 x≥ ,即为所求. 10 分
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