【数学】2019届一轮复习人教A版第3章三角函数三角恒等变换及解三角形第5课时二倍角的正弦、余弦和正切公式学案

【数学】2019届一轮复习人教A版第3章三角函数三角恒等变换及解三角形第5课时二倍角的正弦、余弦和正切公式学案

第5课时　二倍角的正弦、余弦和正切公式(对应学生用书(文)、(理)59 60页)‎ 掌握二倍角公式(正弦、余弦、正切)，能运用它们进行简单的三角函数式的化简、求值及恒等式证明．‎ ‎　　能从两角和公式推导出二倍角的正弦、余弦、正切公式，体会化归思想的应用．‎ ‎1. (必修4P105例3改编)已知cos α＝，α∈，那么sin 2α＝__________．‎ 答案： 解析：由题意得sin α＝，所以sin 2α＝2sin αcos α＝2××＝.‎ ‎2. (改编题)若＝2，则tan 2α＝__________．‎ 答案：－ 解析：由＝2，等式左边分子、分母同除以cos α，得＝2，解得tan α＝3，则tan 2α＝＝－.‎ ‎3. (必修4P131复习题9改编)函数y＝sin2x的最小正周期为________．‎ 答案：π 解析：函数y＝sin2x就是y＝(1－cos 2x)，故它的最小正周期为π.‎ ‎4. (改编题)函数y＝cos 2x＋2sin x的最大值为________．‎ 答案： 解析：利用换元法求解．函数y＝－2sin2x＋2sin x＋1，令sin x＝t∈[－1，1]，所以y＝－2t2＋2t＋1，当t＝时，y取得最大值.‎ ‎5. 已知α为锐角，且cos α＝，则sin2＝________．‎ 答案： 解析：(解法1)∵ α为锐角，且cos α＝，∴ sin α＝＝，∴ sin2＝＝＝＝.‎ ‎(解法2)∵ α为锐角，且cos α＝，∴ sin α＝＝，∴ sin2＝＝.‎ ‎1. 二倍角公式 sin 2α＝2sin_αcos_α；‎ cos 2α＝cos2α－sin2α＝2cos2α－1＝1－2sin2α；‎ tan 2α＝．‎ ‎2. 降幂公式 sin2α＝；‎ cos2α＝；‎ sin αcos α＝．‎ ‎3. 常用公式变形 ‎1＋sin 2α＝(sin_α＋cos_α)2；‎ ‎1－sin 2α＝(sin_α－cos_α)2．[备课札记]‎ ‎,　　　　　　　　　1　利用二倍角公式化简、求值或证明)‎ ‎,　　　　　1)　已知α为锐角，cos＝.‎ ‎(1) 求tan的值；‎ ‎(2) 求sin的值．‎ 解：(1) 因为α∈，‎ 所以α＋∈，‎ 所以sin＝＝，‎ 所以tan＝＝2.‎ ‎(2) 因为sin＝sin ‎＝2sincos＝，‎ cos＝cos＝2cos2－1＝－，‎ 所以sin＝sin ‎＝sincos－cossin＝.‎ 变式训练 已知cos＝，α∈，则＝________．‎ 答案： 解析：(解法1)sin＝sin ‎＝cos＝.‎ ‎∵ α∈，∴ 0<－α<，‎ ‎∴ sin＝＝，‎ ‎∴ cos 2α＝sin＝2sincos＝，‎ ‎∴ ＝.‎ ‎(解法2)由cos＝，得sin α＋cos α＝，两边平方，得1＋2sin αcos α＝，∴ 2sin αcos α＝.‎ ‎∵ α∈，∴ cos α>sin α，∴ cos α－sin α>0，‎ ‎∴ cos α－sin α＝＝＝，‎ ‎∴ ＝＝(cos α－sin α)＝.‎ ‎,　　　　　　　　　2　二倍角公式的逆用与变用)‎ ‎,　　　　　2)　已知coscos＝－，α∈(，)．‎ ‎(1) 求sin 2α的值；‎ ‎(2) 求tan α－的值．‎ 解：(1) 原式＝cossin＝sin＝－，‎ 即sin＝－.‎ 因为α∈，所以2α＋∈，‎ 所以cos＝－.‎ 所以sin 2α＝sin＝sincos －‎ cossin＝.‎ ‎(2) 由(1)知tan α－＝－＝＝＝＝2.‎ 变式训练 已知sin α＋cos α＝，则sin2＝________．‎ 答案： 解析： 由sin α＋cos α＝两边平方得1＋sin 2α＝，解得sin 2α＝－，所以sin2＝＝＝＝.‎ ‎,　　　　　　　　　3　二倍角公式在研究三角函数中的应用)‎ ‎,　　　　　3)　已知函数f(x)＝2cos (cos －sin )(ω＞0)的最小正周期为2π.‎ ‎(1) 求函数f(x)的表达式；‎ ‎(2) 设θ∈，且f(θ)＝＋，求cos θ的值．‎ 解：(1) f(x)＝2cos ‎＝2cos2－2cos sin ‎＝(1＋cos ωx)－sin ωx＝－2sin.‎ ‎∵ 函数f(x)的最小正周期为2π，∴ ＝2π，ω＝1.‎ ‎∴ f(x)＝－2sin.‎ ‎(2) 由f(θ)＝＋，得sin＝－.‎ ‎∵ θ∈，∴ θ－∈，‎ ‎∴ cos ＝.‎ ‎∴ cos θ＝cos＝cos cos －sin(θ－)sin ＝×－×＝.‎ 变式训练 已知函数f(x)＝2sin xsin.‎ ‎(1) 求函数f(x)的最小正周期和单调递增区间；‎ ‎(2) 当x∈时，求函数f(x)的值域．‎ 解：(1) f(x)＝2sin x＝×＋sin 2x＝sin＋.‎ 所以函数f(x)的最小正周期为T＝π.‎ 由－＋2 π≤2x－≤＋2 π， ∈ ，‎ 解得－＋ π≤x≤＋ π， ∈ ，所以函数f(x)的单调增区间是[－＋ π，＋ π]， ∈ .‎ ‎(2) 当x∈时，2x－∈，‎ 所以sin∈，‎ 所以f(x)∈. 故f(x)的值域为.‎ ‎1. (2017·第二次全国大联考江苏卷)已知sin＝，则sin－cos的值为________．‎ 答案： 解析：sin－cos＝sin－cos 2＝－sin＋cos 2＝－sin＋1－2sin2＝－＋1－＝.‎ ‎2. 已知α∈R，sin α＋2cos α＝，则tan 2α＝________．‎ 答案：－ 解析：依题意得(sin α＋2cos α)2＝，即＋2sin 2α＋2(1＋cos 2α)＝，sin 2α＝－cos 2α，tan 2α＝－.‎ ‎3. 函数f(x)＝cos 2x＋6cos(－x)的最大值为__________．‎ 答案：5‎ 解析：由f(x)＝cos 2x＋6cos＝1－2sin2x＋6sin x＝－2＋，所以当sin x＝1时函数取最大值为5.‎ ‎4. (2017·泰州中学期初)已知0＜α＜＜β＜π，且sin(α＋β)＝，tan ＝.‎ ‎(1) 求cos α的值；‎ ‎(2) 求证：sin β＞.‎ ‎(1) 解：将tan ＝代入tan α＝，得tan α＝，∴ 又α∈，解得cos α＝.‎ ‎(2) 证明：易得<α＋β<，又sin(α＋β)＝，‎ ‎∴ cos(α＋β)＝－.‎ 由(1)可得sin α＝，∴ sin β＝sin[(α＋β)－α]＝×－×＝>.‎ ‎,　　6. 忽视角的范围致误)‎ 典例　已知α，β∈(0，π)，tan ＝，sin(α＋β)＝，求cos β.‎ 易错分析：本题条件α，β∈(0，π)的范围较大，需结合tan ＝，sin(α＋β)＝缩小角的范围，否则极易误由sin α求cos α，或由sin(α＋β)求cos(α＋β)得两解．‎ 解：∵ tan ＝，‎ ‎∴ sin α＝2sin cos ＝＝＝＝，‎ cos α＝cos2－sin2＝＝＝‎ ＝.‎ ‎∵ α，β∈(0，π)，sin α＝＞＝sin(α＋β)，‎ ‎∴ ＜α＋β＜π，‎ ‎∴ cos(α＋β)＝－＝－＝－，‎ ‎∴ cos β＝cos[(α＋β)－α]＝cos(α＋β)cos α＋sin(α＋β)·sin α＝×＋×＝－.‎ 特别提醒：在解决三角函数式的求值或根据三角函数值求角问题时，要注意题目中角的范围的限制，特别是进行开方运算时一定要注意所求三角函数值的符号．有时已知条件给出的角的范围较大，解题时应注意挖掘隐含条件，缩小角的范围．另外，解题时要加强对审题深度的要求与训练，以防出错．‎ ‎1. 已知sin x＝，则sin 2＝________．‎ 答案：2－ 解析：sin 2＝sin＝－cos 2x＝－(1－2sin2x)＝2sin2x－1＝2－.‎ ‎2. 若0<α<，且cos α＝，则tan 2α＝________．‎ 答案：－ 解析：∵ cos α＝，0<α<，∴ sin α＝，tan α＝4，∴ tan 2α＝＝＝－.‎ ‎3. cos ·cos ·cos＝________．　‎ 答案：－ 解析：cos ·cos ·cos＝cos 20°·cos 40°·cos 100°‎ ‎＝－cos 20°·cos 40°·cos 80°＝－ ‎＝－＝－ ‎＝－＝－＝－.‎ ‎4. 已知θ∈，sin(θ－)＝.‎ ‎(1) 求sin θ的值；‎ ‎(2) 求cos的值．‎ 解：(1) 设α＝θ－，因为θ∈，所以α∈，且θ＝α＋.‎ 因为sin α＝sin＝，‎ 所以cos α＝－＝－.‎ 于是sin θ＝sin ＝sin αcos＋cos αsin＝×＋×＝－.‎ ‎(2) 因为cos θ＝cos＝cos αcos －sin αsin＝×－×＝－，‎ 所以sin 2θ＝2sin θcos θ＝2××(－)＝，‎ cos 2θ＝1－2sin2θ＝1－2×＝.‎ 所以cos＝cos 2θcos－sin 2θsin ＝×－×＝－.‎ ‎1. 已知三角函数式的值，求其他三角函数式的值，一般思路为：‎ ‎(1) 先化简所求式子；‎ ‎(2) 观察已知条件与所求式子之间的联系(从三角函数名及角入手)；‎ ‎(3) 将已知条件代入所求式子，化简求值．‎ ‎2. 应用倍角公式，一是要选择合适的公式，二是要注意正用和逆用．‎ ‎3. 降幂公式是解决含有cos2x，sin2x式子的问题较常用的变形之一，它体现了逆用二倍角公式的解题技巧．‎ ‎[备课札记]‎