2020年中考数学专题复习卷 分式方程（含解析）
分式方程
一、选择题
1.方程 的解为（ ）.
A. x=-1 B. x=0 C. x= D. x=1
2.解分式方程 分以下几步，其中错误的一步是（ ）
A. 方程两边分式的最简公分母是（x－1）（x＋1） B. 方程两边都乘以（x－1）（x＋1），得整式方程2（x－1）＋3（x＋1）＝6
C. 解这个整式方程，得x＝1 D. 原方程的解为x＝1
3.方程 的解的个数为（ ）
A. 0个 B. 1个 C. 2个 D. 3个
4.“绿水青山就是金山银山”．某工程队承接了60万平方米的荒山绿化任务，为了迎接雨季的到来，实际工作时每天的工作效率比原计划提高了25%，结果提前30天完成了这一任务．设实际工作时每天绿化的面积为x万平方米，则下面所列方程中正确的是（ ）
A. B.
C. D.
5.若关于x的分式方程 = 的根为正数,则k的取值范围是( )
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A. k<- 且k≠-1 B. k≠-1 C. -
b>0,且 ，则 ________。
21.甲、乙两个机器人检测零件，甲比乙每小时多检测20个，甲检测300个比乙检测200个所用的时间少10％，若设甲每小时检x个，则根据题意，可列处方程：________。
22.新定义：[a ， b]为一次函数y＝ax＋b(a≠0，a ， b为实数)的“关联数”．若“关联数”[1，m－3]的一次函数是正比例函数，则关于x的方程 的解为________ ．
三、计算题
23.解方程： ＝ －1.
24.解方程： ．
四、解答题
25.从称许到南京可乘列车A与列车B，已知徐州至南京里程约为350km，A与B车的平均速度之比为10∶7，A车的行驶时间比B车的少1h，那么两车的平均速度分别为多少？
26.刘阿姨到超市购买大米，第一次按原价购买，用了 元.几天后，遇上这种大米 折出售，她用 元又买了一些，两次一共购买了 kg.这种大米的原价是多少？
27.某公司购买了一批A、B型芯片，其中A型芯片的单价比B型芯片的单价少9元，已知该公司用3120元购买A型芯片的条数与用4200元购买B型芯片的条数相等．
（1）求该公司购买的A、B型芯片的单价各是多少元？
（2）若两种芯片共购买了200条，且购买的总费用为6280元，求购买了多少条A型芯片？
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答案解析
一、选择题
1.【答案】D
【解析】 ：方程两边同时乘以2x（x+3）得
X+3=4x
解之：x=1
经检验：x=1是原方程的根。
【分析】将方程两边同时乘以2x（x+3），将分式方程转化为整式方程，解方程，检验即可求解。
2.【答案】D
【解析】 方程无解，虽然化简求得 ，但是将 代入原方程中，可发现 和 的分母都为零，即无意义，所以 ，即方程无解
【分析】因为分式方程在化为整式方程的过程中，未知数的取值范围扩大了，所以会产生增根，因此分式方程要验根。增根是使分母为0的未知数的值。
3.【答案】D
【解析】 ：
方程两边同时乘以（x+1)（x-1）得：
（x-3）2（x+1）+（x-3）=0
（x-3）（x2-2x-2）=0
∴x-3=0或x2-2x-2=0
解之：x1=3，x2=1+，x3=1-
经检验，它们都是原方程的根。
有3个解
故答案为：D
【分析】将分子分母能分解因式的先分解因式，再去分母，将分式方程转化为整式方程，求出方程的解，检验即可得出结果。易错：方程两边不能同时除以（x-3）.
4.【答案】C
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【解析】 ：设实际工作时每天绿化的面积为x万平方米，则原来每天绿化的面积为 万平方米，
依题意得： ，即 ．
故答案为：C．
【分析】设实际工作时每天绿化的面积为x万平方米，则原来每天绿化的面积为万平方米，原计划的工作时间为：天，实际的工作时间为：天，根据实际比计划提前30天完成了这一任务，列出方程即可。
5.【答案】A
【解析】 ：方程两边同时乘以（x+k）（x-1）得：
x-1=5x+5k
解之：x=
∵x＞0且x≠1，x≠k
∴＞0，≠1，≠k
解之：k＜，k≠-1，k≠
∴k＜且k≠-1
故答案为：A
【分析】先去分母求出分式方程的解。再根据此方程的解为正数，列出关于k的不等式，注意此方程有解，则x≠1，x≠k，求出k的取值范围即可。
6.【答案】B
【解析 方程两边都乘（x+1）（x﹣1），得
6﹣m（x+1）=（x+1）（x﹣1），
由最简公分母（x+1）（x﹣1）=0，可知增根可能是x=1或﹣1．
当x=1时，m=3，
当x=﹣1时，得到6=0，这是不可能的，
所以增根只能是x=1．
故答案为：B．
【分析】将分式方程去分母得6﹣m（x+1）=（x+1）（x﹣1），因为方程有增根，所以（x+1）（x﹣1）=0，解得x=1或﹣1，当x=1时，m=3；当x=﹣1时，得到6=0，不符合实际意义，所以增根是x=1。
7.【答案】A
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【解析】 ：
∴
解之：
∴4A-B=4×-=13
故答案为：A
【分析】先将等式的右边通分化简，再根据分子中的对应项系数相等，建立关于A、B的方程组，求出A、B的值，再求出4A-B的值即可。
8.【答案】A
【解析】 关键描述语为：提前20分钟完成任务；等量关系为：原计划用的时间-提前的时间=实际用的时间．原计划植树用的时间应该表示为 ，而实际用的时间为 ，那么方程可表示为 ．故答案为：A．
【分析】由题意可得相等关系：原计划用的时间-提前的时间=实际用的时间．根据相等关系列出分式方程即可。即设原计划的工作效率为x,则实际的工作效率为1.2x,原计划植树用的时间为,实际用的时间为,20分钟=小时。
9.【答案】D
【解析】 ：去分母得， ，
解得， ，
∵关于x的分式方程 的解是正实数且
∴ ，
解得，m<6且m≠2.
故答案为：D.
【分析】首先将分式方程去分母整理成整式方程，然后将m作为常数，求解得出方程的解，根据分式方程的解是正实数，从而得出关于m的不等式组，，及≠0，求解得出m的取值范围。
10.【答案】B
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【解析】 甲班每人的捐款额为： 元，乙班每人的捐款额为： 元，
根据（2）中所给出的信息，方程可列为： ，
故答案为：B．
【分析】设甲班有x人，甲班每人的捐款额为：元，乙班有学生（x-5）人，乙班每人的捐款额为：元，根据乙班平均每人捐款数比甲班平均每人捐款数多，列出方程即可。
11.【答案】B
【解析】 去分母，得a+2=x+1，
解得，x=a+1，
∵x≤0且x+1≠0，
∴a+1≤0且a+1≠-1，
∴a≤-1且a≠-2，
∴a≤-1且a≠-2．
故答案为：B．
【分析】先解分式方程，求出方程的解，再根据方程有解，得出x+1≠0，且x≤0，建立关于a的不等式组，求解即可。
12.【答案】A
【解析】 ：设原来的平均车速为xkm/h，则根据题意可列方程为： ﹣ =1．故答案为：A．【分析】由题意可得相等关系：提速前走完全程所需时间-提速后走完全程所需时间=缩短的时间，根据这个相等关系即可列方程。
二、填空题
13.【答案】x=2
【解析】 ：方程两边同时乘以x（x+6)得：
x+6=4x
∴x=2.
经检验得x=2是原分式方程的解.
故答案为：2.
【分析】方程两边同时乘以最先公分母x（x+6)，将分式方程转化为整式方程，解之即可得出答案.
14.【答案】-1
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【解析】 ∵与互为相反数.
∴
方程两边同时乘以（2x-1）（x+4）得
3(x+4)+3（2x-1）=0
解之：x=-1
经检验x=-1时此分式方程的根。
故答案为：-1【分析】根据若a、b互为相反数，则a+b=0，建立关于x的分式方程，解方程检验即可。
15.【答案】x=1
【解析】 两边都乘以x-1，得
x+m=2x-2，
∵方程有增根，
∴最简公分母x-1=0,即增根是x=1，
把x=1代入整式方程,得m=-1，
故答案是:x=1.
【分析】将m看做常数，解分式方程，分式方程有增根，即当x=1时，分母为0，所以有增根，方程的解不等于1 即可.
16.【答案】x=
【解析】 根据题意 即
可以知道x在1～2，2～3之间都不可能，在3～4之间，
则
∵x为非整数解，
∴
故答案为：
【分析】利用已知方程的解来求出新方程的两个解 x = ,再根据[x]表示不大于x的最大整数求出 [ x ] = 3，从而求出x的值 .
17.【答案】
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【解析】 设甲工程队每天铺设x米，则乙工程队每天铺设（x+5）米，由题意得： ．
【分析】由题意可知相等关系：甲工程队铺设管道160米所用时间=乙工程队铺设管道200米所用时间，即设甲工程队每天铺设x米，则乙工程队每天铺设（x+5）米，.
18.【答案】k＜3且k≠1
【解析】 去分母得： 解得：
由分式方程的解为负数，得到 且 即
解得： 且
故答案为： 且
【分析】先解关于x的方程，求出x的值，再根据方程的解为负数且x+1≠0，建立不等式，求解即可。
19.【答案】2
【解析】 分式方程可化为：x-5=-m，
由分母可知，分式方程的增根是3，
当x=3时，3-5=-m，解得m=2，
故答案为：2．
【分析】先去分母，把分式方程转化为整式方程，再根据分式方程出现增根，就是分母为0，再将增根代入整式方程，就可求出m的值。
20.【答案】
【解析】 ∵ + + =0，
两边同时乘以ab（b-a）得：
a2-2ab-2b2=0，
两边同时除以a2得：
2（ ） 2+2 -1=0，
令t= （t〉0）,
∴2t2+2t-1=0，
∴t= ，
∴t= = .
故答案为： .
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【分析】等式两边同时乘以ab（b-a）得：a2-2ab-2b2=0，两边同时除以a 得：
2（ ）2+2 -1=0，解此一元二次方程即可得答案.
21.【答案】
【解析】 ：设甲每小时检x个，则乙每小时检测（x-20）个，
甲检测300个的时间为,
乙检测200个所用的时间为
由等量关系可得
故答案为
【分析】根据实际问题列方程，找出列方程的等量关系式：甲检测300个的时间=乙检测200个所用的时间×（1-10%），分别用未知数x表示出各自的时间即可
22.【答案】x=
【解析】 ：根据题意可得：y=x+m−3，
∵“关联数”[1,m−3]的一次函数是正比例函数，
∴m−3=0，
解得：m=3，
则关于x的方程+=1变为+=1
解得：x=，
检验：把x=代入最简公分母3(x−1)≠0，
故x=是原分式方程的解，
故答案为：x=.
【分析】根据[a ， b]为一次函数y＝ax＋b(a≠0，a ， b为实数)的“关联数”得出y=x+m−3，又关联数”[1,m−3]的一次函数是正比例函数，从而得出m−3=0，从而求出m的值，然后将m的值代入分式方程，解方程，再检验即可得出答案。
三、计算题
23.【答案】解：化为整式方程得：2－2x＝x－2x＋4，解得：x＝－2，
把x＝－2代入原分式方程中，等式两边相等，
经检验x＝－2是分式方程的解
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【解析】【分析】先去分母，将分式方程转化为整式方程，求出方程的解即可。
24.【答案】解：去分母，得 ,
去括号，得 ，
移项并合并同类项，得 .
经检验，x=-1是原分式方程的根.
【解析】【分析】解分式方程的一般步骤：（1）去分母；（2）去括号；（3）移项；（4）合并同类项；（5）系数化为1.
四、解答题
25.【答案】解：设A车平均速度为10x，B车平均速度为7x，依题可得：，
解得：x=15,
∴7x=7×15=105（km/h），
10x=10×15=150（km/h），
答:A车平均速度为150km/h，B车平均速度为105km/h.
【解析】【分析】设A车平均速度为10x，B车平均速度为7x，根据A车的行驶时间比B车的少1h列出分式方程，解之并检验.
26.【答案】解：设这种大米的原价为每千克 元，
根据题意，得 .
解这个方程，得 .
经检验， 是所列方程的解.
答：这种大米的原价为每千克 元.
【解析】【分析】设这种大米的原价为每千克 x 元，降价后大米的价格是0.8x元，则第一次.购买大米的数量为：千克，第二次购买大米的数量是千克，根据两次购买的大米质量是40千克，列出方程求解并检验即可。
27.【答案】（1）解：设B型芯片的单价为x元/条，则A型芯片的单价为（x﹣9）元/条，
根据题意得： = ，
解得：x=35，
经检验，x=35是原方程的解，
∴x﹣9=26．
答：A型芯片的单价为26元/条，B型芯片的单价为35元/条
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（2）解：设购买a条A型芯片，则购买（200﹣a）条B型芯片，
根据题意得：26a+35（200﹣a）=6280，
解得：a=80．
答：购买了80条A型芯片
【解析】【分析】（1）设B型芯片的单价为x元/条，则A型芯片的单价为（x﹣9）元/条，则用3120元购进A型芯片的数量是条，用4200元购进B型芯片的数量是条，根据用3120元购买A型芯片的条数与用4200元购买B型芯片的条数相等．列出方程，求解并检验即可；
（2）设购买a条A型芯片，则购买（200﹣a）条B型芯片，根据购进A型芯片的钱数+购进A型芯片的钱数=6280，列出方程，求解即可。
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