2018-2019学年河南省洛阳市高一下学期期中考试数学试题（解析版）

2018-2019学年河南省洛阳市高一下学期期中考试数学试题（解析版）

‎2018-2019学年河南省洛阳市高一下学期期中考试数学试题 一、单选题 ‎1．已知角α的终边经过点P（-3，y），且y＜0，cosα=-，则tanα=（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】C ‎【解析】由题意利用任意角的三角函数的定义，即可求解的值，得到答案．‎ ‎【详解】‎ 由题意，角的终边经过点，且，则，‎ ‎∴，所以，‎ 故选：C．‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查了任意角的三角函数的定义，其中解答中熟记三角函数的定义是解答的关键，着重考查了运算与求解能力，属于基础题．‎ ‎2．已知向量=（-2，3），=（x，1），且⊥，则x=（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】D ‎【解析】根据即可得出，进行数量积的坐标运算，即可求解，得到答案．‎ ‎【详解】‎ 由题意，向量=（-2，3），=（x，1），‎ 又由，则，解得，‎ 故选D．‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查了向量垂直的充要条件，以及向量数量积的坐标运算，其中解答中熟记向量的数量积的运算公式和向量垂直的条件是解答的关键，着重考查了运算与求解能力，属于基础题．‎ ‎3．把-765°化成2kπ+α（0≤α＜2π），k∈Z）的形式是（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】D ‎【解析】根据终边相同角的定义及角度制与弧度制的互化，即可求解，得到答案．‎ ‎【详解】‎ 由题意，可得，‎ 故选：D．‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查了终边相同角的表示，以及角度制与弧度值的互化，其中将角进行拆分是解决本题的关键，着重考查了运算与求解能力，属于基础题．‎ ‎4．cos475°-sin475°的值为（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】A ‎【解析】直接利用平方差公式以及二倍角的余弦函数，化简即可求解，得到答案．‎ ‎【详解】‎ 由题意，可知 ‎．‎ 故选：A．‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查了二倍角的三角函数，及三角函数求值，其中解答中熟记余弦的二倍角公式和特殊角的三角函数值是解答的关键，着重考查了运算与求解能力，属于基础题．‎ ‎5．若扇形的周长为8，圆心角为2rad，则该扇形的面积为（　　）‎ A．2 B．4 C．8 D．16‎ ‎【答案】B ‎【解析】设扇形的半径为，弧长为，由且，解得，再利用扇形的面积公式，即可求解．‎ ‎【详解】‎ 设扇形的半径为，弧长为，则且，解得，‎ 所以该扇形的面积为．‎ 故选：B．‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查了扇形的弧长公式和扇形的面积公式的应用，其中解答中熟记扇形的弧长公式和面积公式，准确运算是解答的关键，着重考查了运算与求解能力，属于基础题．‎ ‎6．在中，，则一定是　　‎ A．等腰三角形 B．等边三角形 C．直角三角形 D．锐角三角形 ‎【答案】C ‎【解析】此题考查解三角形 解：由sin(A+B)=sin(A-B)得，所以，又因为为三角形的内角，故，因此，，所以是直角三角形.选C.‎ 答案：C ‎7．要得到函数y=cosx的图象，只需将y=cos （2x+）的图象所有点（　　）‎ A．横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再向右平移个单位长度 B．横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再向右平移个单位长度 C．横坐标缩短到原来的倍，纵坐标不变，再向右平移个单位长度 D．横坐标缩短到原来的倍，纵坐标不变，再向左平移个单位长度 ‎【答案】A ‎【解析】先根据三角函数的伸缩变换，得到，再根据平移变换，可得到函数，即可求解，得到答案．‎ ‎【详解】‎ 由题意，函数图像所有点横坐标伸长为原来的2倍，纵坐标不变，‎ 可得函数，再将函数图象上个点向右平移个单位长度，即可得函数的图象． ‎ 故选：A．‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查了三角函数的图象变换，其中解答中熟记三角函数的伸缩变换和三角函数的平移变换的规则，合理变换是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题．‎ ‎8．已知tan（α+β）=，tanβ=，则tanα=（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】A ‎【解析】利用两角差的正切函数的公式，化简，即可求解，得到答案．‎ ‎【详解】‎ 由题意知，‎ 则，‎ 故选：A．‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查了两角差的正切函数公式的化简、求值问题，其中解答中合理完成角的配凑，及熟记两角差的正切公式是解答的关键，着重考查了运算与求解能力，属于基础题．‎ ‎9．对于函数f（x）=-3cos（2x-），下列说法正确的是（　　）‎ A．在上单调递减 B．的图象关于点对称 C．在上最大值为3 D．的图象关于直线对称 ‎【答案】B ‎【解析】利用型函数的图象和性质，逐一判定四个选项，即可求解，得到答案．‎ ‎【详解】‎ 当时，，所以在上先增后减，所以A错误；‎ 当时，，所以函数的图象关于点对称，所以B正确；‎ 当时，，所以在的最大值为 ，所以C错误；‎ 当时，，所以函数的图象不关于对称，所以D错，‎ 故选B．‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查了三角函数的图象与性质的应用，其中解答中熟记余弦型函数的图象与性质，逐项判定是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题．‎ ‎10．已知向量，满足||=2，|-3|=5，|+3|=1，则在方向上的投影为（　　）‎ A． B．1 C． D．2‎ ‎【答案】C ‎【解析】通过向量的模求解向量的数量积，然后求解在方向上的投影，得到答案．‎ ‎【详解】‎ 由题意，向量满足，‎ 可得 ‎，‎ 解得，‎ 则在方向上的投影为．‎ 故选：C．‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查了向量的数量积的应用，向量的模的求法，其中解答中熟记向量的数量积的运算公式和向量的模的公式是解答的关键，着重考查了运算与求解能力，属于基础题．‎ ‎11．已知0＜β＜＜α＜，cos（+α）=-，sin（+β）=，则cos（α+β）=（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】D ‎【解析】利用同角三角函数的基本关系求得和的值，再利用两角和的余弦公式求得的值，即可求解．‎ ‎【详解】‎ 由题意知，，，所以为第二象限角，‎ 所以，‎ 因为，所以为第二象限角，所以，‎ 则 ‎，‎ 故选：D．‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查了同角三角函数的基本关系，两角和的余弦公式的应用，以及三角函数在各个象限中的符号，其中解答中熟记三角恒等变换的公式，准确运算是解答的关键，着重考查了运算与求解能力，属于基础题．‎ ‎12．在锐角△ABC中，AC=BC=2，=x+y（其中x+y=1），若函数f（λ）=|-λ|的最小值为，则||的最小值为（　　）‎ A．1 B． C．2 D．‎ ‎【答案】B ‎【解析】因为的最小值为，得到恒成立，当且仅当时等号成立，代入函数中得到，再利用向量的模的计算公式和二次函数的性质，即可求解，得到答案．‎ ‎【详解】‎ 由,‎ 因为的最小值为，‎ 即恒成立，即恒成立，‎ 当且仅当时等号成立，‎ 代入函数中得到，所以，‎ 所以 ‎，‎ 当且仅当时，取得最小值，‎ 所以的最小值为，故选B．‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查了平面向量的和与差的模的最值，其中解答中熟记向量的模的运算公式，以及合理利用二次函数的性质求解是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于中档试题．‎ 二、填空题 ‎13．若sin（π-α）=-，且α∈（π，），则cosα=______‎ ‎【答案】-.‎ ‎【解析】利用三角函数的诱导公式结合同角三角函数关系进行转化，即可求解，得到答案．‎ ‎【详解】‎ 由题意，可知，所以，‎ 因为，所以，所以，‎ 故答案为：．‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查了三角函数值的化简和计算，其中解答中结合三角函数的诱导公式以及同角三角函数关系是解决本题的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题．‎ ‎14．在△ABC中，||=3，||=5，D是BC边的中点，则•=______‎ ‎【答案】8.‎ ‎【解析】利用已知条件，表示出向量，然后求解向量的数量积,即可得到答案．‎ ‎【详解】‎ 在中，,是边上的中点，‎ 则,‎ 故答案为：．‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查了平面向量的数量积的应用，其中解答中熟记向量的数量积的运算是解答的关键，着重考查转化思想以及计算能力，属于基础题．‎ ‎15．已知向量=（6，3），=（sinθ，cosθ），若//，则sin2θ-2cos2θ=______‎ ‎【答案】.‎ ‎【解析】因为，求得，得，在由，即可求解，得到答案．‎ ‎【详解】‎ 由题意，因为，所以，即，所以，‎ 所以，‎ 故答案为：．‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查了向量的共线定理的应用，以及三角函数的基本关系式的化简、求值，其中解答中熟练应用向量的共线定理，合理利用三角函数的基本关系式求解是解答的关键，着重考查了运算与求解能力，属于基础题．‎ ‎16．在平面直角坐标系xOy中，P（1，），若||=||=||=1，++=，则•的取值范围是______‎ ‎【答案】[-，].‎ ‎【解析】根据题，可得点在以原点为圆心，1为半径的圆上运动的正三角形，设，再利用向量的数量积的运算和三角函数的性质，即可求解，得到答案．‎ ‎【详解】‎ 由，得点在以原点为圆心，1为半径的圆上运动的正三角形，‎ 设，‎ 则，‎ 则 ‎ 因为2，‎ 所以，‎ 故答案为：‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查了单位圆、平面向量数量积的性质及其运算及两角差的余弦公式与辅助角公式的应用，试题的综合性强，属于中档试题，着重考查了分析问题和解答问题的能力．‎ 三、解答题 ‎17．已知向量=（2，-1），=（m，1）‎ ‎（1）若，的夹角为锐角，求m的取值范围；‎ ‎（2）当3-2=（4，n）时，求m-n的值．‎ ‎【答案】（1）（）.(2)6.‎ ‎【解析】（1）若的夹角为锐角，则且去掉的情况，即可求解；‎ ‎（2）直接根据向量减法的坐标表示及向量相等的条件，即可求解．‎ ‎【详解】‎ ‎（1）由题意，因为，所以，‎ 若的夹角为锐角，则，解得，‎ ‎∴的取值范围．‎ ‎（2）由，所以，解得，‎ 所以 ‎【点睛】‎ 本题主要考查了向量的数量积的性质 的坐标表示及向量减法的坐标表示，着重考查了运算与求解能力，属于基础试题．‎ ‎18．已知f（α）=，其中α≠kπ（k∈Z）．‎ ‎（1）化简f（α）；‎ ‎（2）若f（+β）=-，β是第四象限的角，求sin（2β+）的值．‎ ‎【答案】(1)(2)‎ ‎【解析】（1）直接利用三角函数的诱导公式，化简运算，即可求解；‎ ‎（2）由，得，进一步求得，得到sin2与cos2，再由sin（2+）展开两角和的正弦求解．‎ ‎【详解】‎ ‎（1）由题意，可得 ‎=；‎ ‎（2）由f（+）==-，得sin．‎ 又β是第四象限的角，∴cos=．‎ ‎∴sin2，cos2．‎ ‎∴sin（2+）=sin2cos+cos2sin=．‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查了三角函数的化简求值，及诱导公式及两角差的正弦公式的应用，其中解答中熟记三家函数的恒等变换的公式，准确运算是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题．‎ ‎19．已知，的夹角为120°，且||=2，||=3，记=3-2，=2+k ‎（1）若⊥，求实数k的值；‎ ‎（2）当k=时，求向量与的夹角θ．‎ ‎【答案】(1)(2)‎ ‎【解析】（1）根据条件求得，则，根据，利用，从而求出k的值；‎ ‎（2）当时，可求出，从而可求出，再由根据向量夹角的范围，即可求解．‎ ‎【详解】‎ ‎（1）由题意，可知，则，‎ 因为，‎ 所以 解得．‎ ‎（2）当时，，∴，‎ ‎∴，又，∴．‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查了向量数量积的运算及计算公式，向量垂直的充要条件，以及向量夹角公式的应用，其中熟记向量的数量积的运算公式，以及向量的运算是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题．‎ ‎20．已知函数f（x）=sin（2ωx+）+sin（2ωx-）+2cos2ωx，其中ω＞0，且函数f（x）的最小正周期为π ‎（1）求ω的值；‎ ‎（2）求f（x）的单调增区间 ‎（3）若函数g（x）=f（x）-a在区间[-，]上有两个零点，求实数a的取值范围．‎ ‎【答案】(1)1.(2) [-+kπ，+kπ]，k∈Z，(3)见解析.‎ ‎【解析】（1）利用三角函数恒等变换的应用化简函数解析式可得，利用三角函数周期公式可求的值．‎ ‎（2）由正弦函数的单调性可求的单调增区间．‎ ‎（3）作出函数在上的图象，从图象可看出 ‎ ‎，可求当曲线与在∈上有两个交点时，2，即可得解实数的取值范围．‎ ‎【详解】‎ ‎（1）由三角恒等变换的公式，可得f（x）=sin（2+）+sin（2 -）+2‎ ‎=sin2 +cos2 +sin2 -cos2 +1+cos2‎ ‎=sin2 +cos2 +1， ‎ 又因为T==π，所以．‎ ‎（2）由2kπ- 2+ 2kπ+，k∈Z，解得：-+kπ +kπ，k∈Z，‎ 可得f（x）的单调增区间为：[-+kπ，+kπ]，k∈Z， ‎ ‎（3）作出函数在上的图象如图：‎ 函数g（x）有两个零点，即方程有两解，‎ 亦即曲线与在x∈上有两个交点，‎ 从图象可看出f（0）=f（）=2，f（）=+1，‎ 所以当曲线与在x∈上有两个交点时，‎ 则2 ，即实数的取值范围是．‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查了三角函数恒等变换的应用，三角函数周期公式，正弦函数的图象和性质，其中解答合理利用三角恒等变换的公式化简函数的解析式，熟记三角函数的图象与性质是解答的关键，着重考查了计算能力和数形结合思想的应用，属于中档题．‎ ‎21．如图在△AOB中，D是边OB的中点，C是边OA上靠近O的三等分点，AD与BC交于M点．设=，=．‎ ‎（1）用，表示；‎ ‎（2）过点M的直线与边OA，OB分别交于E，F．设=p，=p，求+的值．‎ ‎【答案】(1)5.‎ ‎【解析】（1）由A，M，D三点共线和C，M，B三点共线，列出方程，即可求解；‎ ‎（2）利用平面向量的线性运算和共线定理，列出方程组，即可求解．‎ ‎【详解】‎ ‎（1）设，‎ 则，，‎ ‎∵三点共线，∴共线，从而 又C，M，B三点共线，∴共线，同理可得 联立①②，解得，故．‎ ‎（2）∵.‎ ‎．‎ ‎∵共线，∴，整理得．‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查了平面向量共线定理和平面向量的线性运算，其中解答熟记向量的共线定理和平面向量的线性运算，合理里程方程组是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于中档题．‎ ‎22．已知向量=（4cos2（-），cosx+sinx），=（sinx，cosx-sinx），设f（x）=•-1‎ ‎（1）求满足|f（x）|≤1的实数x的集合；‎ ‎（2）若函数φ（x）=[f（2x）+tf（x）-tf（-x）]-（1+）在[-，]上的最大值为2，求实数t的值．‎ ‎【答案】(1) {x|kπ-≤x≤kπ+，k∈Z}.(2) t=-2或6．‎ ‎【解析】（1）由向量的数量积的坐标表示和二倍角公式、诱导公式，化简可得，再由正弦函数的图象可得所求集合；‎ ‎（2）化简，由换元法和二次函数在闭区间上的最值求法，可得所求最大值，解方程可得所求值．‎ ‎【详解】‎ ‎（1）由题意，向量（4cos2（-），cosx+sinx），（sinx，cosx-sinx），‎ 则f（x）=4sinxcos2（-）+（cosx+sinx）（cosx-sinx）-1‎ ‎=2sinx（1+cos（x-））+cos2x-sin2x-1=1-cos2x+cos2x+2sinx-1=2sinx，‎ ‎|f（x）|1，即为2|sinx|1，即- sinx ，‎ 可得kπ- xkπ+，k∈Z，‎ 则满足|f（x）|1的实数x的集合为{x|kπ- xkπ+，k∈Z}；‎ ‎（2）由题意，函数 ‎=[2sin2x+2tsinx-2tcosx]-（1+），‎ 可令u=sinx-cosx=sin（x-），x∈[-，]，即有x-∈[-，]，‎ 可得u∈[-，1]，‎ sin2x=1-u2，g（u）=1-u2+ut-1-=-（u-t）2+-t，‎ 当t＞1即t＞2时，g（u）max=g（1）=t-1，由g（1）=2，可得t=6；‎ 当-≤t≤1，即-2≤t≤2时，则g（t）=-t，‎ 由-t=2，解得t=-2（4舍去）；‎ 当t＜-，即t＜-2时，g（u）max=g（-）=-2-t-t，‎ 由-2-t-t=2，可得t=-（舍去）．‎ 综上可得t=-2或6．‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查了向量的数量积的坐标表示和三角函数的恒等变换，以及换元法、二次函数在闭区间上的最值求法，考查分类讨论思想方法，化简运算能力，属于中档题．‎