数学理卷·2018届四川省眉山市高二上学期期末考试（2017-01）

数学理卷·2018届四川省眉山市高二上学期期末考试（2017-01）

眉山市高中 2018 届第三学期期末教学质量检测 数学试卷卷（理工类） 第Ⅰ卷（共 60 分） 一、选择题：本大题共 12 个小题,每小题 5 分,共 60 分.在每小题给出的四个选 项中，只有一项是符合题目要求的. 1.已知双曲线 2 2 2 12 x y a   的一条渐近线过点  2,1 ，则此双曲线的一个交点坐标是（ ） A． ( 2,0) B． (2,0) C． ( 6,0) D． ( 10,0) 2.命题 :P “若 a b ，则 a c b c   ”，则命题 P 的原题、逆命题、否命题和逆否命题中 正确命题的个数是 （ ） A． 0 B． 2 C．3 D． 4 3.已知直线 1 2: ( 2) 1 0, : 2 0l ax a y l x ay       ，则“ 1 2//l l ”是“ 1a   ”的 （ ） A．必要不充分条件 B．充分不必要条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条 件 4.抛物线 2 2 ( 0)y px p  的准线被圆 2 2 2 3 0x y x    所截得的线段长为 4 ，则 p  （ ） A．1 B． 2 C． 4 D．8 5.下列否定不正确的是 （ ） A．“ 2, 0x R x   ”的否定是“ 2 0 0, 0x R x   ” B．“ 2 0 0, 0x R x   ”的否定“ 2, 0x R x   ” C．“ 0 0 0,sin cos 1R      ”的否定是“ ,sin cos 1R      ” D．“ ,sin 1R    ”的否定是“ 0 0,sin 1R    ” 6.执行如下图所示的程序框图，则输出的i 值为 （ ） A．3 B． 4 C．5 D． 6 7.已知圆 C 的圆心在 x 上，且经过 (5,2), ( 1,4)A B  两点，则圆C 的方程是 （ ） A． 2 2( 2) 17x y   B． 2 2( 2) 13x y   C． 2 2( 1) 20x y   D． 2 2( 1) 20x y   8.一个圆形纸片，圆心为 ,O F 为圆内的一定点，M 是圆周上一动点，把纸片折叠使 M 与 F 重合，然后抹平纸片，折痕为CD ，设 CD 与OM 交于 P ，则 P 的轨迹是 （ ） A．椭圆 B．双曲线 C．抛物线 D．圆 9.设正方体 1 1 1 1ABCD A B C D 的棱长为 2 ，则 1D 到平面 1A BD 的距离是 （ ） A． 3 2 B． 2 2 C． 3 3 D． 2 3 3 10.线段 AB 圆 2 2 1 : 2 6 0C x y x y    的一条直径，离心率为 5 的双曲线 2C 以 ,A B 为 焦点，若 P 是圆 1C 与双曲线 2C 的一个公共点，则 PA PB  （ ） A． 6 2 B． 4 2 C． 4 3 D． 2 2 11. ,x y 满足约束条件 2 0 2 2 0 2 0 x y x y x y            ，若 z y ax  取得最大值的最优解不唯一，则实数 a 的值为 （ ） A． 1 2 或 1 B． 2 或 1 2 C． 2 或 1 D． 2 或1 12.已知抛物线 2 4 ( 0)x py p  的焦点为 F ，直线 2y x  与该抛物线交于 ,A B 两点，M 是线段 AB 中点，过 M 作 x 轴的垂线，垂足为 N ，若 2( ) 1 5AF BF AF BF FB p           ，则 p 的值为 （ ） A． 1 4 B． 1 2 C．1 D． 2 第Ⅱ卷（共 90 分） 二、填空题（每题 5 分，满分 20 分，将答案填在答题纸上） 13.抛物线 24y x 的准线方程为 ． 14.利用秦九韶算法公式 0 1 ,( 1,2,3 , )n k k n k v a k nv v a       ， 计算多项式   2 43 2 1f x x x x    ，当 2x  时的函数值，则 3v  ． 15.如图所示，在直三棱柱 1 1 1ABC A B C 中，底面是 ABC 为直角的等腰直角三角形， 12 , 3 ,AC a BB a D  是 1 1AC 的中点，点 F 在线段 1AA 上，当 AF  时，CF  平面 1B DF ． 16.已知 1 2,F F 是椭圆和双曲线的公共焦点， P 是它们的一个公共点，且 1 2 3F PF   ，则 椭圆与双曲线的离心率的倒数着的最大值为 ． 三、解答题 （本大题共 6 小题，共 70 分.解答应写出文字说明、证明过程或演 算步骤.） 17. （本小题满分 10 分） 已知圆 2 2 8x y  内有一点 0 ( 1,2)P  ， AB 为过点 0P 且倾斜角为 的弦． （1）当 3 4   时，求 AB 的长； （2）当先 AB 被点 0P 平分时，写出直线 AB 的方程． 18. （本小题满分 12 分） 已知 0a  ，命题 : 0, 2ap x x x     成立，命题 :q k R  ，直线 2 0kx y   与椭圆 2 2 2 1yx a   有公共点，求使得 p q 为真命题， p q 为假命题的实数 a 的取值范围． 19. （本小题满分 12 分） 如图：Rt ABC 中， 290 , 2, 2CAB AB AC    ，曲线 E 过C 点，动点 P 在 E 上运 动， 且保持 PA PB 的值不变． （1）建立适当的坐标系，求曲线 E 的标准方程； （2）过 B 点且倾斜角为120 的直线l 交曲线 E 于 ,M N 两点，求 MN 的长度． 20. （本小题满分 12 分） 在平面直角坐标系 xOy 中，直线 l 与抛物线 2 2y x 相交于 ,A B 两点． （1）求证：“如果直线l 过点 (3,0)T ，那么 3OA OB   ”是真命题； （2）写出（1）中命题的逆命题，判断它是真命题还是假命题，并说明理由． 21. （本小题满分 12 分） 如图，在四棱锥 P ABCD 中，平面 PAD  平面 ,ABCD E 为 AD 上一点， F 为 PC 上 一点，四边形 BCDE 为矩形， 060PAD  ． （1）求证： PE  平面 ABCD ； （2）若二面角 F BE C  为30 ，设 PF FC  ，求  的值． 22. （本小题满分 12 分） 已知椭圆 2 2 2:9 ( 0)C x y m m   ，直线l 不过原点O 且不平行于坐标轴，l 与C 有两个 交点 ,A B ，线段 AB 的中点为 M ． （1）证明：直线OM 的斜率与l 的斜率的乘积为定值； （2）若l 过点 ( , )3 m m ，延长线段OM 与C 交于点 P ，四边形OAPB 能否为平行四边形？ 若能，求此时l 的斜率，若不能，说明理由． 试卷答案 一、选择题 1-5:CDABB 6-10:BCADA 11、C 12：B 二、填空题 13. 1 16y   14. 24 15. a 或 2a 16. 4 3 3 三、解答题 三、解答题 17、解：⑴.当 3 4   时，直线 AB 的方程为： 2 ( 1) 1 0y x x y        设圆心到直线 AB 的距离为 d，则 2 2d  ∴ 2 2| | 2 30AB r d   ………………………… 5 分 ⑵.当弦 AB 被点 P0 平分时 OP0⊥AB ∵ 0 2OPK   ∴ 1 2ABK  故直线 AB 的方程为： 12 ( 1)2y x   即 2 5 0x y   ………10 分 18、解：命题 p ：因为 0a > 时，对 ax axx 2,0 任意 ， 所以 1,22  aa 故 ………………………………………………2 分 命题q ：由 2 2 2 2 0 1 kx y yx a      得 2 2 2 24 4 0k a x kx a     ，  2 2 2 2 2 2 2(4 ) 4( )(4 ) 4 4 0k k a a a a k         ， 即 2 2 4a k   ； 而 2 4k  在 R 上的最大值为 4；∴ 2 4a  ， ∵ 0a  ，∴解得 2a  ； ………………………………………………….6 分 （ 说 明 ： 直 线 2 0kx y   经 过 定 (0,2) ， 点 (0,2) 在 椭 圆 2 2 2 1yx a   内 ， 满 足 2 2 20 1a + < Þ 2a  也可） qp  为真命题， qp  为假命题时， ,p q 一真一假；………………….7 分 ∴（1）若 p 真 q 假，则： 1 0 2 a a     ；∴1 2a  ； …………………9 分 （2）若 p 假 q 真，则： 0 1 2 a a     ；∴ a  ； …………………….. .11 分. 综上可得，a 的取值范围是[ )1,2 …………………………………12 分 19、解：（1）以 AB、OD 所在的直线分别为 x 轴、y 轴，O 为原点建立直角坐标系….1 分 | PA |+| PB |=| CA |+| CB |= 2 2 + 22 )2 2(2  =2 2 ， 动点的轨迹是以为 ,A B 焦点椭圆…………………………………………….4 分 设其长、短半轴的长分别为 a、b，半焦距为 c，则 a = 2 ，c=1，b=1， 曲线 E 的方程为： 2 2x +y 2 =1 .……………………………………………6 分 （2）直线l 得方程为 3( 1)y x= - - 且 1 1 2 2( , ), ( , )M x y N x y ………….7 分 由方程组 2 2 3( 1) 12 y x x y       得方程 27 12 4 0x x   1 2 12 7x x+ = 1 2 4 7x x = ………………………………………………….9 分 2 1 2| | 1 ( 3) | |MN x x    2 1 2 1 22 ( ) 4x x x x   7 28 7 44)7 12(2 2  故 7 28MN …………………………………………………………..12 分 20、（1）证明：当直线 l 的斜率不存在时， : 3l x  (3, 6)A , (3, 6)B  3)6(633 OBOA …………………………………………1 分 设直线 l 的方程为 ( 3)y k x= - ( 0k )且 1 1( , )A x y ， 2 2( , )B x y 由方程组 2 ( 3) 2 y k x y x     代入化简得 2 2 2 2(6 2) 9 0k x k x k     0k  1 2 9x x = ………………………………………… 3 分 由 2 1 1 2 2 2 2 2 y x y x    得 2 1 2 1 2( ) 4y y x x=  1 2 6y y   …… …… …………….4 分 1 2 1 2OA OB x x y y    9 6 3   ……… ……………………………….5 分 故综上所述：“如果直线l 过点 T（3，0），那么  OA  OB ＝3”是真命题 ….6 分 （2）逆命题：直线 l 与抛物线 2y ＝2 x 相交于 A、B 两点，如果  OA  OB ＝3，那么直线l 过 点 T（3，0）．此逆命题是假命题．……………………………………….8 分 设直线 l 的方程为 x ky m= + 且 1 1( , )A x y ， 2 2( , )B x y 由方程组 2 2 x ky m y x     代入化简得 2 2 2 0y ky m   1 2 2 2 4 4 0 y y m k m       …………………………………………………………….9 分 由 2 1 1 2 2 2 2 2 y x y x    得 2 1 2 1 2( ) 4y y x x=  2 1 2x x m= ……… …………………………………………………………10 分 1 2 1 2OA OB x x y y    = 22m m  =3 解方程 2 2 3 0m m   得 3, 1m m   即直线方程为 3x ky  或 1x ky  … …… ……………………………….11 分 故直线 l 过点（3，0）或 ( 1,0)- 所以此逆命题是假命题…… ………………………………………………….12 分 说明：若有学生用特值法举出一条直线经过 ( 1,0) 且满足  OA  OB ＝3 说明逆命题是假命 题，也给 6 分. 21、解：（1）因为 2, 1, 60 ,AP AE PAD     所以 3PE  . 所以 PE AD . ………………………………………………………………2 分 又平面 PAD  平面 ABCD ，且平面 PAD  平面 ABCD AD , ∴ PE  平面 ABCD ； ………………………………………………………4 分 （2）由（1）及已知可得：PE、EA、EB 两两垂直，EB＝3，…………….5 分 ∴以 E 为原点建立空间直角坐标系如图所示 (0,0,0)E , (0,3,0)B , ( 2,3,0)C - , (0,0, 3)P 设 ( , , )F x y z ∵ PF FCl=  ∴ ( , , 3) ( 2, 3, )x y z x y zl- = - + - 解得：   1 2x ，   1 3y ，  1 3z ∴=（   1 2 ，   1 3 ， 1 3 ）, =（0，3，0）,…………………8 分 设平面 BEF 的法向量为=（x0，y0，z0）,则·＝0，·＝0， ∴ 0 0 0 0 2 3 3 01 1 1 3 0 x y z y                解得： 0 0 0 3 2 0 1 x y z         ∴平面 BEF 的法向量为=（ 2 3 ，0，1）……………………………10 分 又平面 BEC 的法向量为=（0，0，1） ∵二面角 F－BE－C 为 30°， ∴ |·|= ||·||cos30°, 即 1)2 3(12 3 2  解得 2 3 ． …………………………………………12 分 22、解：(1)设直线 :l y kx b= + ( 0, 0)k b  ， 1 1( , )A x y ， 2 2( , )B x y ， ( , )M MM x y ． 由方程组 2 2 29 y kx b x y m      得方程 2 2 2 2( 9) 2 0k x kbx b m     1 2 2 2 9 0 kbx x k        ………………………………………………………….2 分 故 1 2 22 9M x x kbx k     ， 2 9 9M M by kx b k     ． …………………………………………………4 分 于是直线OM 的斜率 9M OM M yk x k    ，即 9OMk k   ． 所以直线OM 的斜率与直线 l 的斜率的乘积为定值． …………………6 分 （2）四边形OAPB 能为平行四边形 … …………………………………7 分 由（1）知： 21 2 2 9 kbx x k     ， 1 2 1 2 2 18( ) 2 9 by y k x x b k       假设四边形OAPB 能为平行四边形，则 P 在椭圆且OP OA OB= +   又 1 2 1 2( , )OP OA OB x x y y       = 2 2 2 18( , )9 9 kb b k k    P 2 2 2 18( , )9 9 kb b k k    ……………………………………………………………9 分 因为 P 在椭圆 2 2 29 ( 0)x y m m   所以 2 2 2 2 2 2 189( ) ( )9 9 kb b mk k     ……………………………………………..10 分 因为直线l 过点 ( , )3 m m 所以 1 3m km b= + 3 3 bm k   （ 3k  ） 2 2 2 2 2 2 18 39( ) ( ) ( )9 9 3 kb b b k k k      ……………………………………………11 分 化简得 2 8 9 0k k   解得 1 4 7k   2 4 7k   当直线l 的斜率 K = 4 7- 或 4 7+ 时，四边形OAPB 为平行四边形…..12 分 （Ⅱ）解法二. 四边形OAPB 能为平行四边形 ………………………………..7 分 直线 l 过点 ( , )3 m m 直线l 不过原点且与椭圆有两个交点 A ， B 的充要条件为 0k > 且 3k  ….8 分 由（Ⅰ）知OM 的方程 9y xk   ，设 ( , )p pP x y 由 2 2 2 9 9 y xk x y m       得 2 2 ( 3) 3( 9)p mk kx k   Þ 23 9p kmx k   . 因为直线l 过点 ( , )3 m m 所以 1 3m km b= + Þ (3 ) 3 m kb -= 2 2 ( 3) 9 3( 9)M kb mk kx k k     …………………………………………………….10 分 四边形OAPB 为平行四边形当且仅当线段 AB 与线段OP 互相平分,即 2p Mx x 22 ( 3)2 3( 9)3 9 km mk k kk     解得 1 4 7k = - 2 4 7k = + 当直线l 的斜率 K = 4 7 或 4 7+ 时，四边形OAPB 为平行四边形……12 分