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文档介绍
2021届课标版高考文科数学大一轮复习精练:§9-5 抛物线及其性质(试题部分)
§9.5 抛物线及其性质 探考情 悟真题 【考情探究】 考点 内容解读 5年考情 预测热度 考题示例 考向 关联考点 抛物线的定义及标准方程 ①了解抛物线的定义,并会用定义进行解题; ②掌握求抛物线标准方程的基本步骤(定型、定位、定量)和基本方法(定义法和待定系数法) 2019课标全国Ⅰ,21,12分 抛物线定义及方程 圆的方程,圆的几何性质,抛物线的几何性质 ★★☆ 抛物线的几何性质 ①知道抛物线的简单几何性质(范围、对称性、顶点、离心率); ②能用其性质解决有关抛物线的问题,了解抛物线的一些实际应用 2019课标全国Ⅱ,9,5分 抛物线的几何性质 椭圆的几何性质 ★★☆ 2016课标全国Ⅱ,5,5分 抛物线的几何性质 等轴双曲线 直线与抛物线的位置关系 ①会用代数法和数形结合法判断直线与抛物线的位置关系; ②根据所学知识熟练解决直线与抛物线位置关系的综合问题 2018课标全国Ⅰ,20,12分 直线与抛物线的位置关系 直线的方程,定值问题的证明 ★★★ 2019课标全国Ⅲ,21,12分 直线与抛物线的位置关系 直线过定点,圆的方程,直线与圆的位置关系 分析解读 从近几年的高考试题来看,抛物线的定义、标准方程、几何性质以及直线与抛物线的位置关系等一直是高考命题的热点,题型既有选择题、填空题,又有解答题;客观题突出“小而巧”的特点,主要考查抛物线的定义、标准方程,主观题考查得较为全面,除考查定义、性质之外,还考查直线与抛物线的位置关系,考查基本运算能力、逻辑思维能力和综合分析问题的能力,着重于对数学思想方法及数学语言的考查. 破考点 练考向 【考点集训】 考点一 抛物线的定义及标准方程 1.(2019河北衡水三模,6)设F为抛物线y2=4x的焦点,A,B,C为该抛物线上三点,若A,B,C三点坐标分别为(1,2),(x1,y1),(x2,y2),且|FA|+|FB|+|FC|=10,则x1+x2=( ) A.6 B.5 C.4 D.3 答案 A 2.(2020届贵州贵阳摸底,14)若直线l过抛物线C:y2=2px(p>0)的焦点F,与C相交于A,B两点,且线段AB的中点M的坐标为(3,2),则抛物线C的方程为 . 答案 y2=4x或y2=8x 3.(2018云南玉溪模拟,14)已知F是抛物线y=x2的焦点,M、N是该抛物线上的两点,|MF|+|NF|=3,则线段MN的中点到x轴的距离为 . 答案 54 考点二 抛物线的几何性质 1.(2019皖中地区调研,9)抛物线E:y2=2px(p>0)的焦点为F,点A(0,2),若线段AF的中点B在抛物线上,则|BF|=( ) A.54 B.52 C.22 D.324 答案 D 2.(2019广东韶关第一中学月考,11)直线l过抛物线y2=ax(a>0)的焦点F且与抛物线交于A,B两点,则|AF|·|BF||AF|+|BF|=( ) A.a2 B.a4 C.2a D.4a 答案 B 考点三 直线与抛物线的位置关系 答案 B 2.(2020届山东夏季高考模拟,15)直线l过抛物线C:y2=2px(p>0)的焦点F(1,0),且与C交于A,B两点,则p= ,1|AF|+1|BF|= .(本题第一空2分,第二空3分) 答案 2;1 3.(2020届河南百校联盟10月联考,20)已知抛物线C:y2=2px(p>0)的焦点为F,直线l:y=x+1与抛物线C相切于点P,过点P作抛物线C的割线PQ,割线PQ与抛物线C的另一个交点为Q,A为线段PQ的中点,过A作y轴的垂线,与直线l相交于点N,M为线段AN的中点. (1)求抛物线C的方程; (2)求证:点M在抛物线C上. 答案 (1)由y=x+1,y2=2px得y2=2p(y-1), 即y2-2py+2p=0①.(1分) 依题意得,Δ=(-2p)2-8p=0,由p>0,解得p=2. 所以抛物线C的方程为y2=4x.(4分) (2)证明:将p=2代入①得y2-4y+4=0,解得y1=y2=2, 将y=2代入y=x+1,得x=1,所以点P(1,2).(5分) 设Q(m,n),则n2=4m,因为A为线段PQ的中点, 所以Am+12,n+22.(7分) 联立y=x+1,y=n+22,得Nn2,n+22, 所以线段AN的中点M的坐标为m+n+14,n+22,(9分) 又4×m+n+14=n24+n+1=n+222,满足y2=4x,(11分) 所以线段AN的中点M在抛物线C上.(12分) 炼技法 提能力 【方法集训】 方法1 求抛物线的标准方程的方法 1.(2018河南顶级名校12月联考,7)已知直线l过抛物线y2=-2px(p>0)的焦点,且与抛物线交于A、B两点,若线段AB的长是8,AB的中点到y轴的距离是2,则此抛物线的方程是( ) A.y2=-12x B.y2=-8x C.y2=-6x D.y2=-4x 答案 B 2.(2019湖南八校第一次调研,9)在平面直角坐标系xOy中,动点P到圆(x-2)2+y2=1上的点的最小距离与其到直线x=-1的距离相等,则P点的轨迹方程是( ) A.y2=8x B.x2=8y C.y2=4x D.x2=4y 答案 A 3.(2020届山西康杰中学期中,14)顶点在原点,焦点在x轴上的抛物线截直线y=2x-4所得的弦长|AB|=35,则此抛物线的方程为 . 答案 y2=4x或y2=-36x 方法2 抛物线定义的应用策略 1.过抛物线y2=2px(p>0)的焦点F的直线l与抛物线交于B、C两点,l与抛物线的准线交于点A,且|AF|=6,AF=2FB,则|BC|=( ) A.8 B.132 C.6 D.92 答案 D 2.(2019宁夏银川质量检测,14)已知P是抛物线y2=4x上一动点,定点A(0,22),过点P作PQ⊥y轴于点Q,则|PA|+|PQ|的最小值是 . 答案 2 3.(2019河南顶级名校高三入学测试,15)抛物线y2=8x的焦点为F,点A(6,3),P为抛物线上一点,且P不在直线AF上,则△PAF周长的最小值为 . 答案 13 方法3 与直线和抛物线位置关系有关问题的求解方法 1.(2018福建莆田模拟,6)已知O为坐标原点,F为抛物线C:y2=8x的焦点,过F作直线l与C交于A,B两点.若|AB|=10,则△OAB的重心的横坐标为( ) A.43 B.2 C.83 D.3 答案 B 2.(2019湖南衡阳一模,9)已知抛物线C:y2=4x的焦点为F,过F的直线与C交于A、B两点,且线段AB中点的纵坐标为2,O为坐标原点,则△AOB的面积为( ) A.22 B.2 C.2 D.4 答案 A 3.(2020届云南师范大学附中第二次月考,20)过F(0,1)的直线l与抛物线C:x2=4y交于A,B两点,以A,B两点为切点分别作抛物线C的切线l1,l2,设l1与l2交于点Q(x0,y0). (1)求y0; (2)过Q,F的直线交抛物线C于M,N两点,证明:QF⊥AB,并求四边形AMBN面积的最小值. 答案 (1)设A(x1,y1),B(x2,y2),直线l:y=kx+1, 联立x2=4y,y=kx+1得x2-4kx-4=0,所以x1+x2=4k,x1x2=-4, 由x2=4y得y=x24,则y'=12x,所以l1:y-y1=12x1(x-x1),即l1:y=12x1x-x124,同理l2:y=12x2x-x224, 由y=12x1x-x124,y=12x2x-x224,x1+x2=4k,y1=kx1+1得x=x1+x22=2k,y=-1,所以y0=-1. (2)因为QF=-x1+x22,2,AB=(x2-x1,y2-y1), 所以QF·AB=-x22-x122+2(y2-y1)=-x22-x122+x22-x122=0, 所以QF⊥AB,即MN⊥AB. 由(1)得|AB|=y1+y2+2=k(x1+x2)+4=4k2+4, 同理|MN|=4k2+4, 则S四边形AMBN=12|AB||MN|=8(k2+1)1k2+1=8k2+1k2+2≥32,当且仅当k=±1时,取“=”. 所以四边形AMBN面积的最小值为32. 【五年高考】 A组 统一命题·课标卷题组 1.(2019课标全国Ⅱ,9,5分)若抛物线y2=2px(p>0)的焦点是椭圆x23p+y2p=1的一个焦点,则p=( ) A.2 B.3 C.4 D.8 答案 D 2.(2016课标全国Ⅱ,5,5分)设F为抛物线C:y2=4x的焦点,曲线y=kx(k>0)与C交于点P,PF⊥x轴,则k=( ) A.12 B.1 C.32 D.2 答案 D 3.(2018课标全国Ⅰ,20,12分)设抛物线C:y2=2x,点A(2,0),B(-2,0),过点A的直线l与C交于M,N两点. (1)当l与x轴垂直时,求直线BM的方程; (2)证明:∠ABM=∠ABN. 答案 (1)当l与x轴垂直时,l的方程为x=2,可得M的坐标为(2,2)或(2,-2). 所以直线BM的方程为y=12x+1或y=-12x-1. (2)证明:当l与x轴垂直时,AB为MN的垂直平分线,所以∠ABM=∠ABN. 当l与x轴不垂直时,设l的方程为y=k(x-2)(k≠0),M(x1,y1),N(x2,y2),则x1>0,x2>0. 由y=k(x-2),y2=2x得ky2-2y-4k=0,可知y1+y2=2k,y1y2=-4. 直线BM,BN的斜率之和为 kBM+kBN=y1x1+2+y2x2+2=x2y1+x1y2+2(y1+y2)(x1+2)(x2+2).① 将x1=y1k+2,x2=y2k+2及y1+y2,y1y2的表达式代入①式分子,可得x2y1+x1y2+2(y1+y2)=2y1y2+4k(y1+y2)k=-8+8k=0. 所以kBM+kBN=0,可知BM,BN的倾斜角互补,所以∠ABM=∠ABN. 综上,∠ABM=∠ABN. 4.(2017课标全国Ⅰ,20,12分)设A,B为曲线C:y=x24上两点,A与B的横坐标之和为4. (1)求直线AB的斜率; (2)设M为曲线C上一点,C在M处的切线与直线AB平行,且AM⊥BM,求直线AB的方程. 答案 (1)设A(x1,y1),B(x2,y2), 则x1≠x2,y1=x124,y2=x224,x1+x2=4, 于是直线AB的斜率k=y1-y2x1-x2=x1+x24=1. (2)由y=x24,得y'=x2, 设M(x3,y3),由题设知x32=1, 解得x3=2,于是M(2,1). 设直线AB的方程为y=x+m, 故线段AB的中点为N(2,2+m),|MN|=|m+1|. 将y=x+m代入y=x24得x2-4x-4m=0. 当Δ=16(m+1)>0,即m>-1时,x1,2=2±2m+1. 从而|AB|=2|x1-x2|=42(m+1). 由题设知|AB|=2|MN|, 即42(m+1)=2(m+1),解得m=7. 所以直线AB的方程为y=x+7. 5.(2016课标全国Ⅲ,20,12分)已知抛物线C:y2=2x的焦点为F,平行于x轴的两条直线l1,l2分别交C于A,B两点,交C的准线于P,Q两点. (1)若F在线段AB上,R是PQ的中点,证明AR∥FQ; (2)若△PQF的面积是△ABF的面积的两倍,求AB中点的轨迹方程. 答案 由题设知F12,0.设l1:y=a,l2:y=b,易知ab≠0, 且Aa22,a,Bb22,b,P-12,a,Q-12,b,R-12,a+b2. 记过A,B两点的直线为l,则l的方程为2x-(a+b)y+ab=0.(3分) (1)证明:由于F在线段AB上,故1+ab=0. 记AR的斜率为k1,FQ的斜率为k2,则 k1=a-b1+a2=a-ba2-ab=1a=-aba=-b=k2. 所以AR∥FQ.(5分) (2)设l与x轴的交点为D(x1,0),则S△ABF=12|b-a||FD|=12|b-a|x1-12,S△PQF=|a-b|2. 由题设可得2×12|b-a|x1-12=|a-b|2, 所以x1=0(舍去)或x1=1. 设满足条件的AB的中点为E(x,y). 当AB与x轴不垂直时, 由kAB=kDE可得2a+b=yx-1(x≠1). 而a+b2=y,所以y2=x-1(x≠1). 当AB与x轴垂直时,E与D重合. 所以,所求轨迹方程为y2=x-1.(12分) B组 自主命题·省(区、市)卷题组 考点一 抛物线的定义及标准方程 (2016浙江,19,15分)如图,设抛物线y2=2px(p>0)的焦点为F,抛物线上的点A到y轴的距离等于|AF|-1. (1)求p的值; (2)若直线AF交抛物线于另一点B,过B与x轴平行的直线和过F与AB垂直的直线交于点N,AN与x轴交于点M.求M的横坐标的取值范围. 答案 (1)由题意可得,抛物线上点A到焦点F的距离等于点A到直线x=-1的距离,由抛物线的定义得p2=1,即p=2. (2)由(1)得,抛物线方程为y2=4x,F(1,0),可设A(t2,2t),t≠0,t≠±1. 因为AF不垂直于y轴,可设直线AF:x=sy+1(s≠0),由y2=4x,x=sy+1消去x得y2-4sy-4=0, 故y1y2=-4,所以,B1t2,-2t. 又直线AB的斜率为2tt2-1,故直线FN的斜率为-t2-12t. 从而得直线FN:y=-t2-12t(x-1),直线BN:y=-2t. 所以Nt2+3t2-1,-2t. 设M(m,0),由A,M,N三点共线得 2tt2-m=2t+2tt2-t2+3t2-1,于是m=2t2t2-1.所以m<0或m>2. 经检验,m<0或m>2满足题意. 综上,点M的横坐标的取值范围是(-∞,0)∪(2,+∞). 考点二 抛物线的几何性质 答案 D 2.(2018北京,10,5分)已知直线l过点(1,0)且垂直于x轴.若l被抛物线y2=4ax截得的线段长为4,则抛物线的焦点坐标为 . 答案 (1,0) 3.(2017天津,12,5分)设抛物线y2=4x的焦点为F,准线为l.已知点C在l上,以C为圆心的圆与y轴的正半轴相切于点A.若∠FAC=120°,则圆的方程为 . 答案 (x+1)2+(y-3)2=1 考点三 直线与抛物线的位置关系 (2019浙江,21,15分)如图,已知点F(1,0)为抛物线y2=2px(p>0)的焦点.过点F的直线交抛物线于A,B两点,点C在抛物线上,使得△ABC的重心G在x轴上,直线AC交x轴于点Q,且Q在点F的右侧.记△AFG,△CQG的面积分别为S1,S2. (1)求p的值及抛物线的准线方程; (2)求S1S2的最小值及此时点G的坐标. 答案 本题主要考查抛物线的几何性质,直线与抛物线的位置关系等基础知识,同时考查运算求解能力和综合应用能力.体现了数学抽象的核心素养和转化与化归的思想方法. (1)由题意得p2=1,即p=2. 所以,抛物线的准线方程为x=-1. (2)设A(xA,yA),B(xB,yB),C(xC,yC),重心G(xG,yG).令yA=2t,t≠0,则xA=t2.由于直线AB过F,故直线AB方程为x=t2-12ty+1,代入y2=4x,得y2-2(t2-1)ty-4=0,故2tyB=-4,即yB=-2t,所以B1t2,-2t.又由于xG=13(xA+xB+xC),yG=13(yA+yB+yC)及重心G在x轴上,故2t-2t+yC=0, 得C1t-t2,21t-t,G2t4-2t2+23t2,0. 所以,直线AC方程为y-2t=2t(x-t2),得Q(t2-1,0). 由于Q在焦点F的右侧,故t2>2. 从而S1S2=12|FG|·|yA|12|QG|·|yC| =2t4-2t2+23t2-1·|2t|t2-1-2t4-2t2+23t2·2t-2t =2t4-t2t4-1=2-t2-2t4-1. 令m=t2-2,则m>0, S1S2=2-mm2+4m+3=2-1m+3m+4 ≥2-12m·3m+4 =1+32. 当m=3时,S1S2取得最小值1+32,此时G(2,0). C组 教师专用题组 考点一 抛物线的定义及标准方程 1.(2014课标Ⅰ,10,5分)已知抛物线C:y2=x的焦点为F,A(x0,y0)是C上一点,|AF|=54x0,则x0=( ) A.1 B.2 C.4 D.8 答案 A 答案 C 3.(2011课标,9,5分)已知直线l过抛物线C的焦点,且与C的对称轴垂直,l与C交于A,B两点,|AB|=12,P为C的准线上一点,则△ABP的面积为( ) A.18 B.24 C.36 D.48 答案 C 4.(2017山东,15,5分)在平面直角坐标系xOy中,双曲线x2a2-y2b2=1(a>0,b>0)的右支与焦点为F的抛物线x2=2py(p>0)交于A,B两点.若|AF|+|BF|=4|OF|,则该双曲线的渐近线方程为 . 答案 y=±22x 考点二 抛物线的几何性质 (2013课标Ⅱ,10,5分)设抛物线C:y2=4x的焦点为F,直线l过F且与C交于A,B两点.若|AF|=3|BF|,则l的方程为( ) A.y=x-1或y=-x+1 B.y=33(x-1)或y=-33(x-1) C.y=3(x-1)或y=-3(x-1) D.y=22(x-1)或y=-22(x-1) 答案 C 考点三 直线与抛物线的位置关系 1.(2015四川,10,5分)设直线l与抛物线y2=4x相交于A,B两点,与圆(x-5)2+y2=r2(r>0)相切于点M,且M为线段AB的中点.若这样的直线l恰有4条,则r的取值范围是( ) A.(1,3) B.(1,4) C.(2,3) D.(2,4) 答案 D 2.(2014课标Ⅱ,10,5分)设F为抛物线C:y2=3x的焦点,过F且倾斜角为30°的直线交C于A,B两点,则|AB|=( ) A.303 B.6 C.12 D.73 答案 C 3.(2014四川,10,5分)已知F为抛物线y2=x的焦点,点A,B在该抛物线上且位于x轴的两侧,OA·OB=2(其中O为坐标原点),则△ABO与△AFO面积之和的最小值是( ) A.2 B.3 C.1728 D.10 答案 B 4.(2014湖南,14,5分)平面上一机器人在行进中始终保持与点F(1,0)的距离和到直线x=-1的距离相等.若机器人接触不到过点P(-1,0)且斜率为k的直线,则k的取值范围是 . 答案 (-∞,-1)∪(1,+∞) 5.(2015浙江,19,15分)如图,已知抛物线C1:y=14x2,圆C2:x2+(y-1)2=1,过点P(t,0)(t>0)作不过原点O的直线PA,PB分别与抛物线C1和圆C2相切,A,B为切点. (1)求点A,B的坐标; (2)求△PAB的面积. 注:直线与抛物线有且只有一个公共点,且与抛物线的对称轴不平行,则称该直线与抛物线相切,称该公共点为切点. 答案 (1)由题意知直线PA的斜率存在,故可设直线PA的方程为y=k(x-t), 由y=k(x-t),y=14x2消去y,整理得x2-4kx+4kt=0, 由于直线PA与抛物线相切,得k=t. 因此,点A的坐标为(2t,t2). 设圆C2的圆心为D(0,1),点B的坐标为(x0,y0),由题意知:点B,O关于直线PD对称,故y02=-x02t+1,x0t-y0=0, 解得x0=2t1+t2,y0=2t21+t2. 因此,点B的坐标为2t1+t2,2t21+t2. (2)由(1)知|AP|=t·1+t2, 和直线PA的方程tx-y-t2=0. 点B到直线PA的距离是d=t21+t2, 设△PAB的面积为S(t),所以S(t)=12|AP|·d=t32. 6.(2014湖北,22,14分)在平面直角坐标系xOy中,点M到点F(1,0)的距离比它到y轴的距离多1.记点M的轨迹为C. (1)求轨迹C的方程; (2)设斜率为k的直线l过定点P(-2,1).求直线l与轨迹C恰好有一个公共点、两个公共点、三个公共点时k的相应取值范围. 答案 (1)设点M(x,y),依题意得|MF|=|x|+1,即(x-1)2+y2=|x|+1, 化简整理得y2=2(|x|+x). 故点M的轨迹C的方程为y2=4x,x≥0,0,x<0. (2)在点M的轨迹C中,记C1:y2=4x,C2:y=0(x<0), 依题意,可设直线l的方程为y-1=k(x+2). 由方程组y-1=k(x+2),y2=4x, 可得ky2-4y+4(2k+1)=0.① (i)当k=0时,y=1.把y=1代入轨迹C的方程,得x=14. 故此时直线l:y=1与轨迹C恰好有一个公共点14,1. (ii)当k≠0时,方程①的判别式为Δ=-16(2k2+k-1).② 设直线l与x轴的交点为(x0,0),则 由y-1=k(x+2),令y=0,得x0=-2k+1k.③ 若Δ<0,x0<0,由②③解得k<-1或k>12, 即当k∈(-∞,-1)∪12,+∞时,直线l与C1没有公共点,与C2有一个公共点, 故此时直线l与轨迹C恰好有一个公共点. 若Δ=0,x0<0或Δ>0,x0≥0, 由②③解得k∈-1,12或-12≤k<0, 即当k∈-1,12时,直线l与C1只有一个公共点,与C2有一个公共点. 当k∈-12,0时,直线l与C1有两个公共点,与C2没有公共点. 故当k∈-12,0∪-1,12时,直线l与轨迹C恰好有两个公共点. 若Δ>0,x0<0,由②③解得-1查看更多