数学卷·2018届河北省保定市定州中学高二上学期12月月考数学试卷（承智班） （解析版）

数学卷·2018届河北省保定市定州中学高二上学期12月月考数学试卷（承智班） （解析版）

‎2016-2017学年河北省保定市定州中学高二（上）12月月考数学试卷（承智班）‎ ‎　‎ 一、选择题 ‎1．设全集U={x∈N|x≥2}，集合A={x∈N|x2≥5}，则∁UA=（　　）‎ A．∅ B．{2} C．{5} D．{2，5}‎ ‎2．若实数x、y满足，则Z=的取值范围为（　　）‎ A．（﹣∞，﹣4]∪[，+∞） B．（﹣∞，﹣2]∪[，+∞） C．[﹣2，] D．[﹣4，]‎ ‎3．若实数x，y满足条件，则z=2x+y的最大值是（　　）‎ A．10 B．8 C．6 D．4‎ ‎4．《莱因德纸草书》（Rhind Papyrus）是世界上最古老的数学著作之一，书中有这样一道题：把120个面包分成5份，使每份的面包数成等差数列，且较多的三份之和恰好是较少的两份之和的7倍，则最少的那份有（　　）个面包．‎ A．4 B．3 C．2 D．1‎ ‎5．已知O，N，P在△ABC所在平面内，且|=，且，则点O，N，P依次是△ABC的（　　）‎ A．重心 外心 垂心 B．重心 外心 内心 C．外心 重心 垂心 D．外心 重心 内心 ‎6．已知平面向量、满足•（+）=5，且||=2，||=1，则向量与夹角的余弦值为（　　）‎ A． B．﹣ C． D．﹣‎ ‎7．若方程x3﹣3x+m=0在[0，2]上只有一个解，则实数m的取值范围是（　　）‎ A．[﹣2，2] B．（0，2] C．[﹣2，0）∪{2} D．（﹣∞，﹣2）∪（2，+∞）‎ ‎8．设Sn是等比数列{an}的前n项和，S4=5S2，则此数列的公比q=（　　）‎ A．﹣2或﹣1 B．1或2 C．±1或2 D．±2或﹣1‎ ‎9．若函数f（x）=2|x﹣a|（a∈R）满足f（1+x）=f（3﹣x），且f（x）在[m，+∞）单调递增，则实数m的最小值为（　　）‎ A．﹣2 B．﹣1 C．2 D．1‎ ‎10．已知函数是定义域上的单调增函数，则a的取值范围是（　　）‎ A．[3﹣，2） B． C． D．‎ ‎11．函数f（x）=x3﹣3x+1在闭区间[﹣3，0]上的最大值、最小值分别是（　　）‎ A．1，﹣1 B．1，﹣17 C．3，﹣17 D．9，﹣19‎ ‎12．公差不为0的等差数列{an}的部分项ak1，ak2，ak3…，…构成等比数列{akn}，且k1=1，k2=2，k3=6，则k4为（　　）‎ A．20 B．22 C．24 D．28‎ ‎　‎ 二、填空题 ‎13．关于下列命题 ‎①函数y=tanx在第一象限是增函数； ‎ ‎②函数y=cos2（﹣x）是偶函数；‎ ‎③函数y=4sin（2x﹣）的一个对称中心是（，0）；‎ ‎④函数y=sin（x+）在闭区间[﹣，]上是增函数；‎ 写出所有正确的命题的题号：　　．‎ ‎14．已知方程+=﹣1表示椭圆，求k的取值范围．　　．‎ ‎15．已知函数f（x）=，则f（f（8））=　　．‎ ‎16．计算：（﹣lg4）÷的值为　　．‎ ‎　‎ 三、解答题 ‎17．已知点H（﹣6，0），点P（0，b）在y轴上，点Q（a，0）在x轴的正半轴上，且满足⊥，点M在直线PQ上，且满足﹣2=，‎ ‎（Ⅰ）当点P在y轴上移动时，求点M的轨迹C的方程；‎ ‎（Ⅱ）过点T（﹣1，0）作直线l与轨迹C交于A、B两点，线段AB的垂直平分线与x轴的交点为E（x0，0），设线段AB的中点为D，且2|DE|=|AB|，求x0的值．‎ ‎18．（1）焦点在y轴上的椭圆的一个顶点为A（2，0），其长轴长是短轴长的2倍，求椭圆的标准方程．‎ ‎（2）已知双曲线的一条渐近线方程是x+2y=0，并经过点（2，2），求此双曲线的标准方程．‎ ‎19．滨湖区拟建一主题游戏园，该游戏园为四边形区域ABCD，其中三角形区城ABC为主题活动区，其中∠ACB=60°，∠ABC=45°，AB=12m；AD、CD为游客通道（不考虑宽度），且∠ADC=120°，通道AD、CD围成三角形区域ADC为游客休闲中心，供游客休憩．‎ ‎（1）求AC的长度；‎ ‎（2）记游客通道AD与CD的长度和为L，求L的最大值．‎ ‎20．已知函数f（x）=x3+bx2+cx+d的图象过点P（0，2），且在点M（﹣1，f（﹣1））处的切线方程6x﹣y+7=0．‎ ‎（1）求函数y=f（x）的解析式；‎ ‎（2）求函数g（x）=x2﹣9x+a+2与y=f（x）的图象有三个交点，求a的取值范围．‎ ‎　‎ ‎2016-2017学年河北省保定市定州中学高二（上）12月月考数学试卷（承智班）‎ 参考答案与试题解析 ‎　‎ 一、选择题 ‎1．设全集U={x∈N|x≥2}，集合A={x∈N|x2≥5}，则∁UA=（　　）‎ A．∅ B．{2} C．{5} D．{2，5}‎ ‎【考点】补集及其运算．‎ ‎【分析】先化简集合A，结合全集，求得∁UA．‎ ‎【解答】解：∵全集U={x∈N|x≥2}，集合A={x∈N|x2≥5}={x∈N|x≥3}，‎ 则∁UA={2}，‎ 故选：B．‎ ‎　‎ ‎2．若实数x、y满足，则Z=的取值范围为（　　）‎ A．（﹣∞，﹣4]∪[，+∞） B．（﹣∞，﹣2]∪[，+∞） C．[﹣2，] D．[﹣4，]‎ ‎【考点】简单线性规划．‎ ‎【分析】由约束条件作出可行域，然后利用Z=的几何意义求解z的范围．‎ ‎【解答】解：作出不等式组对应的平面区域OBC．‎ 因为，‎ 所以z的几何意义是区域内任意一点（x，y）与点P（1，﹣2）两点直线的斜率．‎ 所以由图象可知当直线经过点P，C时，斜率为正值中的最小值，‎ 经过点P，O时，直线斜率为负值中的最大值．‎ 由题意知C（4，0），所以kOP=﹣2，，‎ 所以的取值范围为或z≤﹣2，‎ 即（﹣∞，﹣2]∪[，+∞）．‎ 故选B．‎ ‎　‎ ‎3．若实数x，y满足条件，则z=2x+y的最大值是（　　）‎ A．10 B．8 C．6 D．4‎ ‎【考点】简单线性规划．‎ ‎【分析】作出不等式组对应的平面区域，利用目标函数的几何意义，求出最优解即可求最大值．‎ ‎【解答】解：作出不等式组对应的平面区域如图：（阴影部分）．‎ 由z=2x+y得y=﹣2x+z，‎ 平移直线y=﹣2x+z，‎ 由图象可知当直线y=﹣2x+z经过点A时，直线y=﹣2x+z的截距最大，‎ 此时z最大．‎ 由，解得，即A（2，2），‎ 代入目标函数z=2x+y得z=2×2+2=6．‎ 即目标函数z=2x+y的最大值为6，‎ 故选：C．‎ ‎　‎ ‎4．《莱因德纸草书》（Rhind Papyrus）是世界上最古老的数学著作之一，书中有这样一道题：把120个面包分成5份，使每份的面包数成等差数列，且较多的三份之和恰好是较少的两份之和的7倍，则最少的那份有（　　）个面包．‎ A．4 B．3 C．2 D．1‎ ‎【考点】等差数列的通项公式．‎ ‎【分析】设五个人所分得的面包为a﹣2d，a﹣d，a，a+d，a+2d，（其中d＞0），则由条件求得a 和d的值，可得最少的一份为a﹣2d的值．‎ ‎【解答】解：设五个人所分得的面包为a﹣2d，a﹣d，a，a+d，a+2d，（其中d＞0），‎ 则有（a﹣2d）+（a﹣d）+a+（a+d）+（a+2d）=5a=120，∴a=24．‎ 由a+a+d+a+2d=7（a﹣2d+a﹣d），‎ 得3a+3d=7（2a﹣3d）；‎ ‎∴24d=11a，∴d=11．‎ ‎∴最少的一份为a﹣2d=24﹣22=2，‎ 故选：C．‎ ‎　‎ ‎5．已知O，N，P在△ABC所在平面内，且|=，且，则点O，N，P依次是△ABC的（　　）‎ A．重心 外心 垂心 B．重心 外心 内心 C．外心 重心 垂心 D．外心 重心 内心 ‎【考点】向量在几何中的应用．‎ ‎【分析】据O到三角形三个顶点的距离相等，得到O是三角形的外心，根据所给的四个选项，第一个判断为外心的只有③④两个选项，只要判断第三个条件可以得到三角形的什么心就可以，移项相减，得到垂直，即得到P是三角形的垂心．‎ ‎【解答】解：∵||=||=||，∴O到三角形三个顶点的距离相等，‎ ‎∴O是三角形的外心，‎ 根据所给的四个选项，第一个判断为外心的只有C，D两个选项，‎ ‎∴只要判断第三个条件可以得到三角形的内心或垂心就可以，‎ ‎∵，∴（）=0， =0，∴，‎ 同理得到另外两个向量都与边垂直，‎ 得到P是三角形的垂心，‎ 故选C．‎ ‎　‎ ‎6．已知平面向量、满足•（+）=5，且||=2，||=1，则向量与夹角的余弦值为（　　）‎ A． B．﹣ C． D．﹣‎ ‎【考点】平面向量数量积的运算．‎ ‎【分析】根据条件进行向量数量积的运算便可得出，从而得出向量夹角的余弦值．‎ ‎【解答】解：根据条件， =；‎ ‎∴．‎ 故选：C．‎ ‎　‎ ‎7．若方程x3﹣3x+m=0在[0，2]上只有一个解，则实数m的取值范围是（　　）‎ A．[﹣2，2] B．（0，2] C．[﹣2，0）∪{2} D．（﹣∞，﹣2）∪（2，+∞）‎ ‎【考点】二分法求方程的近似解．‎ ‎【分析】令f（x）=x3﹣3x+m，则由题意可得函数f（x）在[0，2]只有一个零点，故有f（0）•f（2）≤0，并验证其结论，问题得以解决．‎ ‎【解答】解：设f（x）=x3﹣3x+m，f′（x）=3x2﹣3=0，可得x=1或x=﹣1是函数的极值点，‎ 故函数的减区间为[0，1]，增区间为（1，2]，‎ 根据f（x）在区间[0，2]上只有一个解，‎ f（0）=m，f（1）=m﹣2，f（2）=2﹣m，‎ 当f（1）=m﹣2=0时满足条件，即m=2，满足条件，‎ 当f（0）f（2）≤0时，解得﹣2≤m≤0时，‎ 当m=0时，方程x3﹣3x=0．解得x=0，x=1，不满足条件，‎ 故要求的m的取值范围为[﹣2，0）∪{2}．‎ 故选：C．‎ ‎　‎ ‎8．设Sn是等比数列{an}的前n项和，S4=5S2，则此数列的公比q=（　　）‎ A．﹣2或﹣1 B．1或2 C．±1或2 D．±2或﹣1‎ ‎【考点】等比数列的前n项和．‎ ‎【分析】对q分类讨论，利用等比数列的求和公式即可得出．‎ ‎【解答】解：q=1时不满足条件，舍去．‎ q≠1时，∵S4=5S2，则=，‎ ‎∴1﹣q4=5（1﹣q2），‎ ‎∴（q2﹣1）（q2﹣4）=0，q≠1，‎ 解得q=﹣1，或±2．‎ 故选：D．‎ ‎　‎ ‎9．若函数f（x）=2|x﹣a|（a∈R）满足f（1+x）=f（3﹣x），且f（x）在[m，+∞）单调递增，则实数m的最小值为（　　）‎ A．﹣2 B．﹣1 C．2 D．1‎ ‎【考点】函数单调性的判断与证明．‎ ‎【分析】由f（x）的解析式便知f（x）关于x=a对称，而由f（1+x）=f（3﹣x）知f（x）关于x=2对称，从而得出a=2，这样便可得出f（x）的单调递增区间为[2，+∞），而f（x）在[m，+∞）上单调递增，从而便得出m的最小值为2．‎ ‎【解答】解：∵f（x）=2|x﹣a|；‎ ‎∴f（x）关于x=a对称；‎ 又f（1+x）=f（3﹣x）；‎ ‎∴f（x）关于x=2对称；‎ ‎∴a=2；‎ ‎∴；‎ ‎∴f（x）的单调递增区间为[2，+∞）；‎ 又f（x）在[m，+∞）上单调递增；‎ ‎∴实数m的最小值为2．‎ 故选：C．‎ ‎　‎ ‎10．已知函数是定义域上的单调增函数，则a的取值范围是（　　）‎ A．[3﹣，2） B． C． D．‎ ‎【考点】分段函数的应用．‎ ‎【分析】利用分段函数以及指数函数与对数函数的性质，列出不等式组求解即可．‎ ‎【解答】解：函数是定义域上的单调增函数，‎ 可得，‎ 解得：a∈[3﹣，2）．‎ 故选：A．‎ ‎　‎ ‎11．函数f（x）=x3﹣3x+1在闭区间[﹣3，0]上的最大值、最小值分别是（　　）‎ A．1，﹣1 B．1，﹣17 C．3，﹣17 D．9，﹣19‎ ‎【考点】函数的最值及其几何意义．‎ ‎【分析】求导，用导研究函数f（x）=x3﹣3x+1在闭区间[﹣3，0]上的单调性，利用单调性求函数的最值．‎ ‎【解答】解：f′（x）=3x2﹣3=0，x=±1，‎ 故函数f（x）=x3﹣3x+1[﹣3，﹣1]上是增函数，在[﹣1，0]上是减函数 又f（﹣3）=﹣17，f（0）=1，f（1）=﹣1，f（﹣1）=3．‎ 故最大值、最小值分别为3，﹣17；‎ 故选C．‎ ‎　‎ ‎12．公差不为0的等差数列{an}的部分项ak1，ak2，ak3…，…构成等比数列{akn}，且k1=1，k2=2，k3=6，则k4为（　　）‎ A．20 B．22 C．24 D．28‎ ‎【考点】等差数列的通项公式．‎ ‎【分析】设等差数列{an}的公差为d，由a1，a2，a6成等比数列可求得等比数列ak1，ak2，ak3…的公比q=4，从而可求得ak4，继而可求得k4．‎ ‎【解答】解：设等差数列{an}的公差为d，‎ ‎∵a1，a2，a6成等比数列，‎ ‎∴a22=a1•a6，即（a1+d）2=a1•（a1+5d），‎ ‎∴d=3a1．‎ ‎∴a2=4a1，‎ ‎∴等比数列ak1，ak2，ak3…的公比q=4，‎ ‎∴ak4=a1•q3=a1•43=64a1．‎ 又ak4=a1+（k4﹣1）•d=a1+（k4﹣1）•（3a1），‎ ‎∴a1+（k4﹣1）•（3a1）=64a1，a1≠0，‎ ‎∴3k4﹣2=64，‎ ‎∴k4=22．‎ 故选：B．‎ ‎　‎ 二、填空题 ‎13．关于下列命题 ‎①函数y=tanx在第一象限是增函数； ‎ ‎②函数y=cos2（﹣x）是偶函数；‎ ‎③函数y=4sin（2x﹣）的一个对称中心是（，0）；‎ ‎④函数y=sin（x+）在闭区间[﹣，]上是增函数；‎ 写出所有正确的命题的题号：　①③　．‎ ‎【考点】正弦函数的图象．‎ ‎【分析】①由正切函数的图象可知命题正确；‎ ‎②化简可得f（x）=sin2x，由f（﹣x）=sin（﹣2x）=﹣sin2x=﹣f（x），可知命题不正确；‎ ‎③代入有0=4sin（2×﹣），可得命题正确；‎ ‎④由2k≤x+≤2k可解得函数y=sin（x+）的单调递增区间为[2k，2k]k∈Z，比较即可得命题不正确．‎ ‎【解答】解：①由正切函数的图象可知函数y=tanx在第一象限是增函数，命题正确；‎ ‎②f（x）=cos2（﹣x）=cos（﹣2x）=sin2x，f（﹣x）=sin（﹣2x）=﹣sin2x=﹣f（x），故命题不正确；‎ ‎③∵0=4sin（2×﹣），∴命题正确；‎ ‎④由2k≤x+≤2k可解得函数y=sin（x+）的单调递增区间为[2k，2k]k∈Z，故命题不正确．‎ 综上，所有正确的命题的题号：①③，‎ 故答案为：①③‎ ‎　‎ ‎14．已知方程+=﹣1表示椭圆，求k的取值范围．　（﹣∞，﹣3）　．‎ ‎【考点】椭圆的标准方程．‎ ‎【分析】化曲线方程为椭圆的标准方程，由分母大于0且不相等求得k的取值范围．‎ ‎【解答】解：由+=﹣1，得，‎ ‎∵方程+=﹣1表示椭圆，‎ ‎∴，解得k＜﹣3．‎ ‎∴k的取值范围是（﹣∞，﹣3）．‎ 故答案为：（﹣∞，﹣3）．‎ ‎　‎ ‎15．已知函数f（x）=，则f（f（8））=　﹣4　．‎ ‎【考点】函数的值．‎ ‎【分析】先求f（8），再代入求f（f（8））．‎ ‎【解答】解：f（8）=﹣log28=﹣3，‎ f（f（8））=f（﹣3）=4﹣23=﹣4，‎ 故答案为：﹣4．‎ ‎　‎ ‎16．计算：（﹣lg4）÷的值为　﹣20　．‎ ‎【考点】对数的运算性质．‎ ‎【分析】利用对数、指数的性质、运算法则直接求解．‎ ‎【解答】解：：（﹣lg4）÷‎ ‎=lg（）÷‎ ‎=lg ‎=﹣2×10‎ ‎=﹣20．‎ 故答案为：﹣20．‎ ‎　‎ 三、解答题 ‎17．已知点H（﹣6，0），点P（0，b）在y轴上，点Q（a，0）在x轴的正半轴上，且满足⊥，点M在直线PQ上，且满足﹣2=，‎ ‎（Ⅰ）当点P在y轴上移动时，求点M的轨迹C的方程；‎ ‎（Ⅱ）过点T（﹣1，0）作直线l与轨迹C交于A、B两点，线段AB的垂直平分线与x轴的交点为E（x0，0），设线段AB的中点为D，且2|DE|=|AB|，求x0的值．‎ ‎【考点】抛物线的简单性质．‎ ‎【分析】（Ⅰ）设点M的坐标为（x，y），求得、、、的坐标，运用向量垂直的条件：数量积为0，向量共线的坐标表示，运用代入法，即可得到所求轨迹方程；‎ ‎（Ⅱ）由题意知直线l：y=k（x+1），设A（x1，y1），B（x2，y2），联立抛物线的方程，运用韦达定理和中点坐标公式，以及弦长公式，化简整理，解方程即可得到所求值．‎ ‎【解答】解：（Ⅰ）设点M的坐标为（x，y），‎ 则，，，‎ ‎，‎ 由⊥，得6a﹣b2=0．　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　‎ 由﹣2=0，得，‎ 则由6a﹣b2=0得y2=x，‎ 故点M的轨迹C的方程为y2=x（x＞0）；　　　　　‎ ‎（Ⅱ）由题意知直线l：y=k（x+1），‎ 设A（x1，y1），B（x2，y2），‎ 联立得k2x2+（2k2﹣1）x+k2=0（k≠0），‎ 由△=（2k2﹣1）2﹣4k4=1﹣4k2＞0，解得﹣＜k＜，‎ ‎∴，‎ ‎∴，‎ ‎∴，‎ ‎，‎ 令y=0，解得，‎ ‎∴，‎ ‎∴，‎ ‎∴，‎ ‎∵，‎ 故有，‎ 则，化简得，此时．‎ ‎　‎ ‎18．（1）焦点在y轴上的椭圆的一个顶点为A（2，0），其长轴长是短轴长的2倍，求椭圆的标准方程．‎ ‎（2）已知双曲线的一条渐近线方程是x+2y=0，并经过点（2，2），求此双曲线的标准方程．‎ ‎【考点】双曲线的简单性质；椭圆的标准方程．‎ ‎【分析】（1）直接根据条件得到b=2，a=4，即可求出结论；‎ ‎（2）直接根据渐近线方程设出双曲线方程，再结合经过点（2，）即可求出结论．‎ ‎【解答】解：（1）由题可知b=2，a=4，椭圆的标准方程为：‎ ‎（2）设双曲线方程为：x2﹣4y2=λ，‎ ‎∵双曲线经过点（2，2），∴λ=22﹣4×22=﹣12，‎ 故双曲线方程为：．‎ ‎　‎ ‎19．滨湖区拟建一主题游戏园，该游戏园为四边形区域ABCD，其中三角形区城ABC为主题活动区，其中∠ACB=60°，∠ABC=45°，AB=12m；AD、CD为游客通道（不考虑宽度），且∠ADC=120°，通道AD、CD围成三角形区域ADC为游客休闲中心，供游客休憩．‎ ‎（1）求AC的长度；‎ ‎（2）记游客通道AD与CD的长度和为L，求L的最大值．‎ ‎【考点】解三角形的实际应用．‎ ‎【分析】（1）利用正弦定理，求AC的长度．‎ ‎（2）求出AD，CD，可得出L关于θ的关系式，化简后求L的最大值．‎ ‎【解答】解：（1）由已知由正弦定理，得，又∠ACB=60°，∠ABC=45°，AB=12cm，所以AC==24m．‎ ‎（2）因为∠ADC=120°∠CAD=θ，∠ACD=60°﹣θ，‎ 在△ADC中，由正弦定理得到，‎ 所以L=CD+AD=16 [sin（60°﹣θ）+sinθ]=16 [sin60°cosθ﹣cos60°sinθ+sinθ]=16sin（60°+θ），‎ 因0°＜θ＜60°，当θ=30°时，L取到最大值 16m．‎ ‎　‎ ‎20．已知函数f（x）=x3+bx2+cx+d的图象过点P（0，2），且在点M（﹣1，f（﹣1））处的切线方程6x﹣y+7=0．‎ ‎（1）求函数y=f（x）的解析式；‎ ‎（2）求函数g（x）=x2﹣9x+a+2与y=f（x）的图象有三个交点，求a的取值范围．‎ ‎【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程；根的存在性及根的个数判断．‎ ‎【分析】（1）由图象过点P（0，2）求出d的值，再代入求出导数，再由切线方程求出f（﹣1）、f′（﹣1），分别代入求出b和c的值；‎ ‎（2）将条件转化为=a有三个根，再转化为的图象与y=a图象有三个交点，再求出h（x）的导数、临界点、单调区间和极值，再求出a的范围即可．‎ ‎【解答】解：（1）由f（x）的图象经过点P（0，2），得d=2．‎ ‎∴f′（x）=3x2+2bx+c，‎ 由在M（﹣1，f（﹣1））处的切线方程是6x﹣y+7=0，‎ ‎∴﹣6﹣f（﹣1）+7=0，得f（﹣1）=1，且f′（﹣1）=6．‎ ‎∴，即，解得b=c=﹣3．‎ 故所求的解析式是f（x）=x3﹣3x2﹣3x+2．‎ ‎（2）∵函数g（x）与f（x）的图象有三个交点，‎ ‎∴方程x3﹣3x2﹣3x+2=x2﹣9x+a+2有三个根，‎ 即=a有三个根，‎ 令，则h（x）的图象与y=a图象有三个交点．‎ 接下来求h（x）的极大值与极小值，‎ ‎∴h′（x）=3x2﹣9x+6，令h′（x）=0，解得x=1或2，‎ 当x＜1或x＞2时，h′（x）＞0；当1＜x＜2时，h′（x）＜0，‎ ‎∴h（x）的增区间是（﹣∞，1），（2，+∞）；减区间是（1，2），‎ ‎∴h（x）的极大值为h（1）=，h（x）的极小值为h（2）=2‎ 因此2＜a＜．‎ ‎　‎