2018-2019学年河南省林州市第一中学高二上学期开学考试数学试题（解析版）

2018-2019学年河南省林州市第一中学高二上学期开学考试数学试题（解析版）

‎2018-2019学年河南省林州市第一中学高二上学期开学考试数学试题 一、单选题 ‎1．已知集合，，则等于（ ）‎ A． B． C． D． ‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 先化简集合，再根据集合交集定义运算即可.‎ ‎【详解】‎ 因为，故选A.‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查了集合的交集运算，属于容易题.‎ ‎2．已知函数，则等于（ ）‎ A． B． C． D． ‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 因为，所以代入对应解析式，得 代入 对应解析式即可求解C.‎ ‎【详解】‎ ‎，故选C.‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查了分段函数求值，属于中档题题.解此类问题关键是分析所给自变量范围，根据范围代入求解即可.‎ ‎3．若函数为增函数，则函数的图像大致是（ ）‎ A． B． C． D． ‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据复合函数的增减性知，，从而画出图象，再由偶函数的对称性得出所求图象.‎ ‎【详解】‎ 由题可知，故为减函数，由复合函数为增函数可得.当，此时函数为减函数，结合函数为偶函数可知，函数的图象为选项A中的图象.‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查了复合函数的单调性，函数的奇偶性，对数函数的图象，属于中档题.‎ ‎4．如图所示，在正四棱柱中，分别是的中点，则以下结论中不成立的是（ ）‎ A． B． ‎ C． D． ‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据直线与直线垂直，直线与平面平行垂直，平面与平面垂直的判定，逐一验证即可.‎ ‎【详解】‎ 过分别作，连结，则 ‎ ，故C正确.‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查了中位线，线面平行，线线平行垂直，属于中档题.‎ ‎5．某人从甲地去乙地共走了500m，途径一条宽为m的河流，该人不小心把一件物品丢在途中，若物品掉在河里就找不到，若物品不掉在河里就能找到.已知该物品能被找到的概率为，则河宽为（ ）‎ A． B． C． D． ‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由题意知，这是一个几何概型问题，其找到的概率是长度比，故可求出河宽.‎ ‎【详解】‎ 由题意，物品能找到的概率，解得米，所以选B.‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查了概率为长度比的几何概型，属于中档题.‎ ‎6．一个袋内装有大小相同的6个白球和5个黑球，从中随机抽取2个球，抽到白球、黑球各1个的概率为（ ）‎ A． B． C． D． ‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由题意知从11个小球中随机抽取2个，共有基本事件个，抽到白球、黑球各一个，共有个基本事件，根据概率公式计算即可.‎ ‎【详解】‎ 题意知从11个小球中随机抽取2个，共有基本事件个，抽到白球、黑球各一个，共有个基本事件，所以满足条件的事件概率 ，故选A.‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查了等可能事件的概率，属于中档题.本题解题的关键是做出满足条件的事件数，借助组合数来求比较简单.‎ ‎7．如图，在四边形中，，，，则的值为（ ）‎ A． B． C． D． ‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由可知,因为，‎ ‎，所以，因为，同向，可得 ，又，代入 即可.‎ ‎【详解】‎ 因为可知，‎ 因为，，‎ 所以 因为，同向，可得 ‎ 又 所以=‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查了向量的垂直与数量积的关系，向量的共线，向量数量积的运算性质，向量的运算，考查了推理与计算的能力，属于难题.‎ ‎8．已知函数为偶函数，其图象与直线的交点的横坐标为，若的最小值为，则（ ）‎ A． B． ‎ C． D． ‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由题意知周期,所以，又函数为偶函数且，所以，即可求解.‎ ‎【详解】‎ 因为函数与直线的交点的横坐标为，且的最小值为，所以周期，,所以，又函数为偶函数且，所以，故选A.‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查了正弦型函数的图象与性质，涉及周期性和奇偶性，属于中档题.‎ ‎9．如图为函数的部分图象，分别为图象的最高点和最低点，若，则等于（ ）‎ A． B． C． D． ‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由题意知再由知：可得 ‎ 得，则，过作垂直于轴于，则，可知函数的周期，从而求解.‎ ‎【详解】‎ 由题意知，‎ 得，则，过作垂直于轴于，则，所以，则，故选C.‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查了向量数量积的运算性质，向量的夹角，三角函数的周期，考查了推理与计算的能力，属于中档题.‎ ‎10．设的内角所对的边分别为，若， 则的形状为（ ）‎ A． 锐角三角形 B． 直角三角形 C． 钝角三角形 D． 不确定 ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由条件利用正弦定理可得，再由两角和的正弦公式、诱导公式求得，可得由此可得的形状．‎ ‎【详解】‎ 的内角所对的边分别为， ∵，则由正弦定理可得， 即，可得，故，故为直角三角形， 故选：B．‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查正弦定理以及两角和的正弦公式、诱导公式的应用，根据三角函数的值求角，属于中档题．‎ ‎11．在中，内角所对的边分别为，若，，则等于（ ）‎ A． B． C． D． ‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由正弦定理可得又，利用余弦定理即可求出,从而求出.‎ ‎【详解】‎ 由，变形得：，利用正弦定理化简得：，即，由，整理得：‎ ‎，，‎ 则，故选C.‎ ‎【点睛】‎ 本题考主要考查了正弦定理和余弦定理的灵活运用，及同角三角函数之间的关系，属于中档题.‎ ‎12．已知的内角满足，面积满足，记分别为所对边，则下列不等式一定成立的是（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】A ‎【解析】试题分析：的内角满足 ‎，‎ ‎，，，化为,.设外接圆的半径为,由正弦定理可得：.由,及正弦定理得,即,面积满足,即,由可得,显然选项C，D不一定正确,,,正确,,即,但,不一定正确, 故选A.‎ ‎【考点】1、正弦定理、两角和与差的正弦公式以及正弦的二倍角公式；2、三角形内角和定理及三角形的面积公式.‎ ‎【方法点睛】本题主要考查正弦定理的应用、两角和差的正弦公式以及正弦的二倍角公式和三角形的面积公式，属于难题.在解与三角形有关的问题时，正弦定理、余弦定理是两个主要依据.一般来说 ,当条件中同时出现及 、 时，往往用余弦定理，而题设中如果边和正弦、余弦函数交叉出现时，往往运用正弦定理将边化为正弦函数或者将正弦转化为边再结合和、差、倍角的正余弦公式进行解答.本题就是利用这种思路先得到，然后根据正弦定理以及不等式的性质进行解答的. ‎ 二、填空题 ‎13．向量在向量 方向上的投影为________.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据向量在向量方向上的投影公式计算即可.‎ ‎【详解】‎ 依题意得，因此向量在向量方向上的投影为.‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查了向量在向量方向上的投影及其计算，属于中档题.‎ ‎14．已知圆的圆心在直线上，圆与直线相切，且被直线截得的弦长为，则圆的方程_______________.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由圆的圆心在直线上，可设圆心坐标为，又圆与直线相切，所以圆的半径，圆心到直线的距离,利用弦心距、半弦长、半径所组成的直角三角形求解即可.‎ ‎【详解】‎ 由圆的圆心在直线上，可设圆心坐标为，又圆与直线相切，所以圆的半径，圆心到直线的距离，圆被直线截得的弦长为所以由勾股定理知，，即，解得，所以圆的方程为.‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查了圆的方程，直线与圆的位置关系，圆的平面几何性质，属于中档题.‎ ‎15．已知分别为的三个内角的对边， ，且，则面积的最大值为__________．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】由题意 又知 ，‎ 所以 ‎ 面积 ‎ 而 ‎ 所以 ，当且仅当时取等号 即面积的最大值为．‎ ‎【点睛】本题考查正弦定理，余弦定理，基本不等式，三角形面积公式在解三角形中的应用等知识，解题根据题意灵活应用基本不等式是解题的关键，特别注意应用基本不等式时一定要指出等号成立的条件．‎ 三、解答题 ‎16．已知集合.‎ ‎（1）若，求的取值范围；‎ ‎（2）若，求的值.‎ ‎【答案】（1）；（2）3‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）化简集合A，分类讨论,写出集合B,利用求解（2）要满足，显然时成立，验证成立即可.‎ ‎【详解】‎ ‎（1），.‎ 当时，B为空集，不合题意；‎ 当时，，应满足；‎ 当时，，应满足，‎ ‎.‎ ‎（2）要满足，显然时成立，‎ ‎，‎ 而所求a的值为3.‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查了集合的子集，集合的交集，分类讨论的思想，属于中档题.‎ ‎17．如图所示，在四棱柱中，，，.‎ ‎（1）求证：‎ ‎（2）若为线段的中点，求证：.‎ ‎【答案】（1）见解析；（2）见解析 ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）证明BD垂直平面即可（2）可证明即可.‎ ‎【详解】‎ ‎（1）因为，‎ 所以BD是线段AC的垂直平分线.‎ 所以.‎ 又，，‎ 所以.‎ 因为，所以.‎ ‎（2）因为，‎ 所以，连结AE.‎ 因为E为BC的中点，所以.‎ 所以.‎ 所以.‎ 因为，，所以.‎ 因为棱柱，所以.‎ 因为，，所以，‎ ‎，所以.‎ 因为.‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查了线面垂直的判定，直线与平面平行的判定，平面与平面平行的判定与性质，属于中档题.证明直线与平面平行时，可考虑线线平行，也可以考虑面面平行再得线面平行.‎ ‎18．一台还可以用的机器由于使用的时间较长，它按不同的转速生产出来的某机械零件有一些会有缺陷，每小时生产有缺陷零件的多少随机器运转的速率而变化，下表为抽样试验结果：‎ 转速x（转/秒）‎ ‎16‎ ‎14‎ ‎12‎ ‎8‎ 每小时生产有缺陷的零件数y（件）‎ ‎11‎ ‎9‎ ‎8‎ ‎5‎ ‎（1）画出散点图；‎ ‎（2）如果y与x有线性相关的关系，求回归直线方程；‎ ‎（3）若实际生产中，允许每小时生产的产品中有缺陷的零件最多为10个，那么机器的运转速度应控制在什么范围内？‎ ‎【答案】（1）见解析；（2）；（3）‎ 机器的转速应控制在14.9转/秒以下 ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）由表中数据做图（2）根据线性回归方程中公式求即可写出方程（3）利用线性回归方程建立不等式求解.‎ ‎【详解】‎ ‎（1）画出散点图，如图所示：‎ ‎（2）‎ ‎，‎ ‎.‎ 故回归直线方程为.‎ ‎（3）要使，.故机器的转速应控制在14.9转/秒以下.‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查了散点图，线性回归方程，利用线性回归方程解决问题，属于中档题.‎ ‎19．已知函数.‎ ‎（1）求函数的最小值和最小正周期；‎ ‎（2）若为锐角，且向量与向量垂直，求的值.‎ ‎【答案】（1）最小正周期为，最小值为-2；（2）‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）利用降幂公式化简三角函数式即可（2）由与垂直，得，化简得即，又利用可求解.‎ ‎【详解】‎ ‎（1）‎ 所以的最小正周期为，最小值为-2.‎ ‎（2）由与垂直，得，‎ ‎，即.‎ ‎.‎ ‎，‎ ‎，.‎ ‎.‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查了二倍角的余弦公式变形，两角差的正弦、余弦公式，向量垂直的条件，以及正弦函数的性质等，需要特别注意角的取值范范，属于中档题.‎ ‎20．已知的三个内角，，的对边分别为，，，且.‎ ‎（1）求角的大小；‎ ‎（2）若，，求.‎ ‎【答案】（1）；（2）.‎ ‎【解析】分析：（1）由条件及正弦定理可得，化简后再利用余弦定理可得，于是得．（2）根据（1）中的结论及可得，再利用余弦定理可求得．‎ 详解：（1）∵，‎ ‎∴‎ 由正弦定理得，‎ 化简得， ‎ 由余弦定理的推论得，‎ ‎∵，‎ ‎∴．‎ ‎（2）由（1）知，‎ 又，‎ ‎∴， ‎ 由余弦定理得，‎ ‎∴．‎ 点睛：（1）解三角形时要注意根据条件选择正（余）‎ 弦定理进行边角间的转化，已达到求解的目的．‎ ‎（2）三角形的面积公式和余弦定理常综合在一起考查，解题时注意公式的变形，如，然后利用整体代换的方法求解．‎ ‎21．在中，设角的对边分别为，已知.‎ ‎（1）求角的大小；‎ ‎（2）若，求周长的取值范围.‎ ‎【答案】（1）；（2）‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）由三角函数的平方关系及余弦定理即可得出（2）利用正弦定理、两角和差的正弦公式、三角函数的单调性转化为三角函数求值域即可得出.‎ ‎【详解】‎ ‎（1）由题意知，‎ 即，‎ 由正弦定理得 由余弦定理得，‎ 又.‎ ‎（2），‎ 则的周长 ‎.‎ ‎，‎ ‎，‎ 周长的取值范围是.‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查了三角函数的平方关系，正余弦定理，两角和差的正弦公式，三角函数的单调性，属于中档题.‎