新疆乌鲁木齐市第十中学2018-2019学年高一下学期期末考试数学试题

新疆乌鲁木齐市第十中学2018-2019学年高一下学期期末考试数学试题

乌鲁木齐第十中学高一2018-2019年期末考试数学试卷 一、选择题（本大题共21小题，共84分）‎ ‎1.设集合，，则（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ 试题分析：集合，集合，所以,故选D.‎ 考点：1、一元二次不等式；2、集合的运算.‎ ‎2.设函数，则（　）‎ A. 2 B. ‎4 ‎C. 8 D. 16‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据分段函数定义域，代入可求得，根据的值再代入即可求得的值．‎ ‎【详解】因为 所以 所以 所以选B ‎【点睛】本题考查了根据定义域求分段函数的值，依次代入即可，属于基础题．‎ ‎3.化简结果为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据指数幂运算法则进行化简即可.‎ ‎【详解】‎ 本题正确选项：‎ ‎【点睛】本题考查指数幂的运算，属于基础题.‎ ‎4.给出函数为常数，且，，无论a取何值，函数恒过定点P，则P的坐标是　　‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ 试题分析：因为恒过定点，所以函数恒过定点.故选D.‎ 考点：指数函数的性质.‎ ‎5.给定函数：①；②；③；④，其中奇函数是（ ）‎ A. ① B. ② C. ③ D. ④‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ 试题分析：，知偶函数，，知非奇非偶，知偶函数，，知 奇函数.‎ 考点：函数奇偶性定义.‎ ‎6.已知幂函数过点，则的值为( )‎ A. B. ‎1 ‎C. 3 D. 6‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 设，代入点的坐标，求得，然后再求函数值．‎ ‎【详解】设，由题意，，即，‎ ‎∴．‎ 故选：C.‎ ‎【点睛】本题考查幂函数的解析式，属于基础题．‎ ‎7.下列函数中，在区间上是减函数的是（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据初等函数的单调性对各个选项的函数的解析式进行逐一判断 ‎【详解】函数在单调递增，在单调递增. 在单调递减，在单调递增.‎ 故选：C ‎【点睛】本题主要考查了基本初等函数的单调性的判断，属于基础试题．‎ ‎8.在下列区间中，函数的零点所在的区间为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由函数的解析式，再根据函数零点的存在定理可得函数的零点所在的区间．‎ ‎【详解】函数的零点所在的区间即函数与的交点所在区间.‎ 由函数与在定义域上 只有一个交点，如图.‎ 函数在定义域上只有一个零点.‎ 又，‎ 所以.‎ 所以的零点在上 故选：B ‎【点睛】本题主要考查求函数的零点所在区间，函数零点的存在定理，属于基础题．‎ ‎9.一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由几何体的三视图得该几何体是一个底面半径，高的扣在平面上的半圆柱，由此能求出该几何体的体积 ‎【详解】由几何体三视图得： 该几何体是一个底面半径，高的放在平面上的半圆柱，如图， 故该几何体的体积为： ‎ 故选：D ‎【点睛】本题考查几何体的体积的求法，考查几何体的三视图等基础知识，考查推理能力与计算能力，是中档题．‎ ‎10.如果直线a平行于平面，则（ ）‎ A. 平面内有且只有一直线与a平行 B. 平面内有无数条直线与a平行 C. 平面内不存在与a平行的直线 D. 平面内的任意直线与直线a都平行 ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据线面平行的性质解答本题．‎ ‎【详解】根据线面平行的性质定理，已知直线平面. 对于A，根据线面平行的性质定理，只要过直线a的平面与平面相交得到的交线，都与直线a平行；所以平面内有无数条直线与a平行；故A错误； 对于B，只要过直线a的平面与平面相交得到的交线，都与直线a平行；所以平面内有无数条直线与a平行；故B正确； 对于C，根据线面平行的性质，过直线a的平面与平面相交得到的交线，则直线，所以C错误； 对于D，根据线面平行的性质，过直线a的平面与平面相交得到的交线，则直线，则在平面内与直线相交的直线与a不平行，所以D错误； 故选：B．‎ ‎【点睛】本题考查了线面平行的性质定理；如果直线与平面平行，那么过直线的平面与已知平面相交，直线与交线平行．‎ ‎11.（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 直接根据特殊角的三角函数值，得出答案.‎ ‎【详解】根据特殊角的三角函数值，可知.故选D.‎ ‎【点睛】本小题主要考查特殊角的三角函数值，属于基础题.从到内特殊角的三角函数值需要熟练记忆.‎ ‎12.若变量满足约束条件，则的最大值是( )‎ A. 0 B. ‎2 ‎C. 5 D. 6‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由题意作出不等式组所表示的平面区域，将化为，相当于直线的纵截距，由几何意义可得结果．‎ 详解】由题意作出其平面区域，‎ 令，化为，相当于直线的纵截距，‎ 由图可知，，解得，，‎ 则的最大值是，故选C．‎ ‎【点睛】本题主要考查线性规划中利用可行域求目标函数的最值，属简单题.求目标函数最值的一般步骤是“一画、二移、三求”：（1）作出可行域（一定要注意是实线还是虚线）；（2）找到目标函数对应的最优解对应点（在可行域内平移变形后的目标函数，最先通过或最后通过的顶点就是最优解）；（3）将最优解坐标代入目标函数求出最值.‎ ‎13.若，则函数的最小值是（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 直接用均值不等式求最小值.‎ ‎【详解】‎ 当且仅当,即时，取等号.‎ 故选：B ‎【点睛】本题考查利用均值不等式求函数最小值,属于基础题.‎ ‎14.如图，在正方体中，，分别是，中点，则异面直线与所成的角是（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【详解】‎ 如图，平移直线到，则直线与直线所成角，由于点都是中点，所以 ‎，则，而，所以，即，应选答案D．‎ ‎15.计算( )‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据对数运算,即可求得答案.‎ ‎【详解】‎ 故选:A.‎ ‎【点睛】本题主要考查了对数运算,解题关键是掌握对数运算基础知识,考查了计算能力,属于基础题.‎ ‎16.函数的最小正周期为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 直接由的周期的公式计算可得.‎ ‎【详解】函数的最小正周期为. 故选：B ‎【点睛】本题考查型的周期的计算，属于基础题.‎ ‎17.已知，，则（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ 分析】‎ 利用公式可得到答案.‎ ‎【详解】已知，，则 故选：D ‎【点睛】本题考查利用点的坐标求向量的坐标，属于基础题.‎ ‎18.设向量 ＝（2，4）与向量 ＝（x，6）共线，则实数x＝（ ）‎ A. 2 B. ‎3 ‎C. 4 D. 6‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ 由向量平行的性质，有2∶4＝x∶6，解得x＝3，选B 考点：本题考查平面向量的坐标表示，向量共线的性质，考查基本的运算能力.‎ ‎19.在中，，，，则（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 直接用正弦定理直接求解边.‎ ‎【详解】在中，，，‎ 由余弦定理有：,即 ‎ 故选：D ‎【点睛】本题考查利用正弦定理解三角形，属于基础题.‎ ‎20.在公比为2的等比数列中，，则等于（ ）‎ A. 4 B. ‎8 ‎C. 12 D. 24‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由等比数列的性质可得，可求出，则答案可求解.‎ ‎【详解】等比数列的公比为2，‎ 由，即，所以舍 ‎ 所以 ‎ 故选：D ‎【点睛】本题考查等比数列的性质和通项公式的应用，属于基础题.‎ ‎21.在等差数列中，为其前n项和，若，则（ ）‎ A. 60 B. ‎75 ‎C. 90 D. 105‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由条件，利用等差数列下标和性质可得，进而得到结果.‎ ‎【详解】，即，而，故选B.‎ ‎【点睛】本题考查等差数列的性质，考查运算能力与推理能力，属于中档题.‎ 二、解答题（本大题共6小题，共66分）‎ ‎22.写出集合的所有子集．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据集合的子集的定义列举出即可．‎ ‎【详解】集合的所有子集有：‎ ‎【点睛】本题考查了集合的子集的定义，掌握子集的定义是解题的关键，本题是一道基础题．‎ ‎23.已知函数．‎ ‎（1）求证函数在上是单调减函数．‎ ‎（2）求函数在上的值域．‎ ‎【答案】（1）证明见解析 （2）‎ ‎【解析】‎ 分析】‎ ‎(1)直接用定义法证明函数的单调性. (2)利用（1）的单调性结论可求函数在上的值域 ‎【详解】（1）证明：任取，且 则 ‎ 由，且，则，‎ 所以 所以 所以函数在上是单调减函数．‎ ‎（2）由（1）可得函数在上单调减函数 所以，即 所以函数在上的值域为：.‎ ‎【点睛】本题考查利用定义法证明函数的单调性和结合函数单调性求函数的值域.属于基础题.‎ ‎24.如图，在四棱锥P‐ABCD中，四边形ABCD为正方形，PA⊥平面ABCD，E为PD的中点．‎ ‎ 求证：（1）PB∥平面AEC；‎ ‎（2）平面PCD⊥平面PAD．‎ ‎【答案】（1）详证见解析；（2）详证见解析.‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（ 1）可通过连接交于，通过中位线证明和平行得证平面．‎ ‎（ 2）可通过正方形得证，通过平面得证，然后通过线面垂直得证面面垂直．‎ ‎【详解】（ 1）证明： 连交于O, ‎ 因为四边形是正方形 ,‎ 所以 ,‎ 连，则是三角形的中位线, ,‎ 平面，平面 ‎ 所以平面 . ‎ ‎（2）因为平面 ,‎ 所以 , ‎ 因为是正方形，所以, ‎ 所以平面, ‎ 所以平面平面.‎ ‎【点睛】证明线面平行可通过线线平行得证，证明面面垂直可通过线面垂直得证．‎ ‎25.已知函数．‎ ‎（1）求的最小正周期；‎ ‎（2）求在区间上的最大值和最小值．‎ ‎【答案】（1） （2）最大值为2，最小值为 ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎(1)先将函数化简为，根据公式求最小正周期. (2)由，则，可求出函数的最值.‎ ‎【详解】(1) ‎ ‎ ‎ 所以的最小正周期为：.‎ ‎（2）由（1）有 ‎，则 则当，即时，有最小值 .‎ 当即，时，有最大值2.‎ 所以在区间上的最大值为2，最小值为．‎ ‎【点睛】本题考查三角函数化简、求最小正周期和函数在闭区间上的最值，属于中档题.‎ ‎26.在等差数列中，，，等比数列中，，．‎ ‎（1）求数列，的通项公式；‎ ‎（2）若，求数列的前n项和．‎ ‎【答案】（1）， （2）‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）根据等差数列的通项公式求出首项，公差和等比数列的通项公式求出首项，公比即可. (2)由用错位相减法求和.‎ ‎【详解】（1）在等差数列中，设首项为，公差为.‎ 由，有 ，解得： ‎ 所以 又设的公比为，由，，得 ‎ 所以.‎ ‎(2) ‎ ‎…………………………………①‎ ‎……………②‎ 由①－②得 ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ 所以 ‎【点睛】本题考查求等差、等比数列的通项公式和用错位相减法求和,属于中档题.‎ ‎27.在中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知．‎ 求A；‎ 已知，的面积为的周长．‎ ‎【答案】（1）；（2）‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）在中，由正弦定理及题设条件，化简得，即可求解．‎ ‎（2）由题意，根据题设条件，列出方程，求的，得到，即可求解周长．‎ ‎【详解】（1）在中，由正弦定理及已知得，‎ 化简得，‎ ‎，所以.‎ ‎（2）因，所以，‎ 又的面积为，则，‎ 则，所以的周长为.‎ ‎【点睛】在解有关三角形的题目时，要有意识地考虑用哪个定理更合适，或是两个定理都要用，要抓住能够利用某个定理的信息．一般地，如果式子中含有角的余弦或边的二次式时，要考虑用余弦定理；如果式子中含有角的正弦或边的一次式时，则考虑用正弦定理；以上特征都不明显时，则要考虑两个定理都有可能用到．‎