高中数学 第二章 推理与证明综合检测 新人教A版选修2-2
第二章 推理与证明综合检测
时间120分钟，满分150分。
一、选择题(本大题共12个小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1．锐角三角形的面积等于底乘高的一半；
直角三角形的面积等于底乘高的一半；
钝角三角形的面积等于底乘高的一半；
所以，凡是三角形的面积都等于底乘高的一半．
以上推理运用的推理规则是( )
A．三段论推理
B．假言推理
C．关系推理
D．完全归纳推理
[答案] D
[解析] 所有三角形按角分，只有锐角三角形、Rt三角形和钝角三角形三种情形，上述推理穷尽了所有的可能情形，故为完全归纳推理．
2．数列1,3,6,10,15，…的递推公式可能是( )
A.
B.
C.
D.
[答案] B
[解析] 记数列为{an}，由已知观察规律：a2比a1多2，a3比a2多3，a4比a3多4，…，可知当n≥2时，an比an－1多n，可得递推关系(n≥2，n∈N*)．
3．有一段演绎推理是这样的“有些有理数是真分数，整数是有理数，则整数是真分数”，结论显然是错误的，因为( )
A．大前提错误
B．小前提错误
C．推理形式错误
D．不是以上错误
[答案] C
[解析] 大小前提都正确，其推理形式错误．故应选C.
4．用数学归纳法证明等式1＋2＋3＋…＋(n＋3)＝(n∈N*)时，验证n＝1，左边应取的项是( )
A．1
B．1＋2
C．1＋2＋3
D．1＋2＋3＋4
[答案] D
[解析] 当n＝1时，左＝1＋2＋…＋(1＋3)＝1＋2＋…＋4，故应选D.
5．在R上定义运算⊗：x⊗y＝x(1－y)．若不等式(x－a)⊗(x＋a)＜1对任意实数x都成立，则( )
A．－1＜a＜1
B．0＜a＜2
C．－＜a＜
D．－＜a＜
[答案] C
[解析] 类比题目所给运算的形式，得到不等式(x－a)⊗(x＋a)<1的简化形式，再求其恒成立时a的取值范围．
(x－a)⊗(x＋a)<1⇔(x－a)(1－x－a)<1
即x2－x－a2＋a＋1>0
不等式恒成立的充要条件是
Δ＝1－4(－a2＋a＋1)<0
即4a2－4a－3<0
解得－
>0，>>0，
所以＋>＋>0，所以a时，f(2k＋1)－f(2k)＝________.
[答案] ＋＋…＋
[解析] f(2k＋1)＝1＋＋＋…＋
f(2k)＝1＋＋＋…＋
f(2k＋1)－f(2k)＝＋＋…＋.
15．观察①sin210°＋cos240°＋sin10°cos40°＝；
②sin26°＋cos236°＋sin6°cos36°＝.两式的结构特点可提出一个猜想的等式为________________．
[答案] sin2α＋cos2(30°＋α)＋sinαcos(30°＋α)＝
[解析] 观察40°－10°＝30°，36°－6°＝30°，
由此猜想：
sin2α＋cos2(30°＋α)＋sinαcos(30°＋α)＝.
可以证明此结论是正确的，证明如下：
sin2α＋cos2(30°＋α)＋sinα·cos(30°＋α)
＝＋＋[sin(30°＋2α)－sin30°]＝1＋[cos(60°＋2α)－cos2α]＋sin(30°＋2α)－
＝1＋[－2sin(30°＋2α)sin30°]＋sin(30°＋2α)－
＝－sin(30°＋2α)＋sin(30°＋2α)＝.
16．设P是一个数集，且至少含有两个数，若对任意a、b∈P，都有a＋b、a－b、ab、∈P(除数b≠0)，则称P是一个数域．例如有理数集Q是数域；数集F＝{a＋b|a，b∈Q}也是数域．有下列命题：
①整数集是数域；
②若有理数集Q⊆M，则数集M必为数域；
③数域必为无限集；
④存在无穷多个数域．
其中正确命题的序号是________．(把你认为正确命题的序号都填上)
[答案] ③④
[解析] 考查阅读理解、分析等学习能力．
①整数a＝2，b＝4，不是整数；
②如将有理数集Q，添上元素，得到数集M，则取a＝3，b＝，a＋b∉M；
③由数域P的定义知，若a∈P，b∈P(P中至少含有两个元素)，则有a＋b∈P，从而a＋2b，a＋3b，…，a＋nb∈P，∴P中必含有无穷多个元素，∴③对．
④设x是一个非完全平方正整数(x>1)，a，b∈Q，则由数域定义知，F＝{a＋b|a、b∈Q}必是数域，这样的数域F有无穷多个．
三、解答题(本大题共6个小题，共74分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)
17．(本题满分12分)已知：a、b、c∈R，且a＋b＋c＝1.
求证：a2＋b2＋c2≥.
[证明] 由a2＋b2≥2ab，及b2＋c2≥2bc，c2＋a2≥2ca.
三式相加得a2＋b2＋c2≥ab＋bc＋ca.
∴3(a2＋b2＋c2)≥(a2＋b2＋c2)＋2(ab＋bc＋ca)＝(a＋b＋c)2.
由a＋b＋c＝1，得3(a2＋b2＋c2)≥1，
即a2＋b2＋c2≥.
18．(本题满分12分)证明下列等式，并从中归纳出一个一般性的结论．
2cos＝，
2cos＝，
2cos＝，
……
[证明] 2cos＝2·＝
2cos＝2＝2·
＝
2cos＝2
＝2＝
…
19．(本题满分12分)已知数列{an}满足a1＝3，an·an－1＝2·an－1－1.
(1)求a2、a3、a4；
(2)求证：数列是等差数列，并写出数列{an}的一个通项公式．
[解析] (1)由an·an－1＝2·an－1－1得
an＝2－，
代入a1＝3，n依次取值2,3,4，得
a2＝2－＝，a3＝2－＝，a4＝2－＝.
(2)证明：由an·an－1＝2·an－1－1变形，得
(an－1)·(an－1－1)＝－(an－1)＋(an－1－1)，
即－＝1，
所以{}是等差数列．
由＝，所以＝＋n－1，
变形得an－1＝，
所以an＝为数列{an}的一个通项公式．
20．(本题满分12分)已知函数f(x)＝ax＋(a>1)．
(1)证明：函数f(x)在(－1，＋∞)上为增函数；
(2)用反证法证明方程f(x)＝0没有负根．
[解析] (1)证法1：任取x1，x2∈(－1，＋∞)，不妨设x10，且ax1>0，
又∵x1＋1>0，x2＋1>0，
∴f(x2)－f(x1)＝－
＝
＝>0，
于是f(x2)－f(x1)＝ax2－ax1＋－>0，
故函数f(x)在(－1，＋∞)上为增函数．
证法2：f′(x)＝axlna＋＝axlna＋
∵a>1，∴lna>0，∴axlna＋>0，
f′(x)>0在(－1，＋∞)上恒成立，
即f(x)在(－1，＋∞)上为增函数．
(2)解法1：设存在x0<0(x0≠－1)满足f(x0)＝0
则ax0＝－，且00，ax0>0，
∴f(x0)>0.
综上，x<0(x≠－1)时，f(x)<－1或f(x)>0，即方程f(x)＝0无负根．
21．(本题满分12分)我们知道，在△ABC中，若c2＝a2＋b2，则△ABC是直角三角形．现在请你研究：若cn＝an＋bn(n＞2)，问△ABC为何种三角形？为什么？
[解析] 锐角三角形 ∵cn＝an＋bn (n＞2)，∴c＞a, c＞b，
由c是△ABC的最大边，所以要证△ABC是锐角三角形，只需证角C为锐角，即证cosC＞0.
∵cosC＝，
∴要证cosC＞0，只要证a2＋b2＞c2，①
注意到条件：an＋bn＝cn，
于是将①等价变形为：(a2＋b2)cn－2＞cn.②
∵c＞a，c＞b，n＞2，∴cn－2＞an－2，cn－2＞bn－2，
即cn－2－an－2＞0，cn－2－bn－2＞0，
从而(a2＋b2)cn－2－cn＝(a2＋b2)cn－2－an－bn
＝a2(cn－2－an－2)＋b2(cn－2－bn－2)＞0，
这说明②式成立，从而①式也成立．
故cosC＞0，C是锐角，△ABC为锐角三角形．
22．(本题满分14分)(2010·安徽理，20)设数列a1，a2，…an，…中的每一项都不为0.
证明{an}为等差数列的充分必要条件是：对任何n∈N＋，都有＋＋…＋＝.
[分析] 本题考查等差数列、数学归纳法与充要条件等有关知识，考查推理论证、运算求解能力．
解题思路是利用裂项求和法证必要性，再用数学归纳法或综合法证明充分性．
[证明] 先证必要性．
设数列{an}的公差为d.若d＝0，则所述等式显然成立．
若d≠0，则
＋＋…＋
＝
＝
＝＝
＝.
再证充分性．
证法1：(数学归纳法)设所述的等式对一切n∈N＋都成立．首先，在等式＋＝
两端同乘a1a2a3，即得a1＋a3＝2a2，所以a1，a2，a3成等差数列，记公差为d，则a2＝a1＋d.
假设ak＝a1＋(k－1)d，当n＝k＋1时，观察如下两个等式
＋＋…＋＝，①
＋＋…＋＋＝②
将①代入②，得
＋＝，
在该式两端同乘a1akak＋1，得(k－1)ak＋1＋a1＝kak.
将ak＝a1＋(k－1)d代入其中，整理后，得ak＋1＝a1＋kd.
由数学归纳法原理知，对一切n∈N，都有an＝a1＋(n－1)d，所以{an}是公差为d的等差数列．
证法2：(直接证法)依题意有
＋＋…＋＝，①
＋＋…＋＋＝.②
②－①得
＝－，
在上式两端同乘a1an＋1an＋2，得a1＝(n＋1)an＋1－nan＋2.③
同理可得a1＝nan－(n－1)an＋1(n≥2)④
③－④得2nan＋1＝n(an＋2＋an)
即an＋2－an＋1＝an＋1－an，
由证法1知a3－a2＝a2－a1，故上式对任意n∈N*均成立．所以{an}是等差数列．
