2017-2018学年湖南省茶陵县第三中学高二上学期第三次月考数学（理）试题

2017-2018学年湖南省茶陵县第三中学高二上学期第三次月考数学（理）试题

‎2017-2018学年湖南省茶陵县第三中学高二上学期第三次月考理科数学试卷 全卷共150分 时量：120分钟 一、 选择题(本大题共12小题，每小题5分，满分60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．) ‎ 班级 姓名 考场 考号 ‎ ‎-----------------------装-----------------------订---------------------线-------------------内-------------------不-------------------要----------------答-------------------题-------------------------‎ ‎ ‎ ‎1. 过点与抛物线只有一个公共点的直线有 ( )‎ ‎ A. 1条 B. 2条 C. 3条 D. 无数条.‎ ‎2.实轴长为，虚轴长为的双曲线的标准方程是（ ）‎ A. B. ‎ C. ，或 D. ，或 ‎3．在以下命题中，不正确的个数为(　　)‎ ‎①|a|－|b|＝|a＋b|是a，b共线的充要条件；‎ ‎②若a∥b，则存在唯一的实数λ，使a＝λb；‎ ‎③对于空间任意一点O和不共线的三点A，B，C，若＝2－2－，则P，A， B，C四点共面；‎ ‎④|(a·b)c|＝|a|·|b|·|c|.‎ A．1个　　　B．2个　　　C．3个　　　D．4个 ‎4. “m>n>0”是“方程mx2＋ny2＝1表示焦点在y轴上的椭圆”的(　　)‎ A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 ‎5.若双曲线－＝1的一条渐近线经过点(3，－4)，则此双曲线的离心率为(　　)‎ ‎ A. B. C. D. ‎6.设F为抛物线C：y2＝3x的焦点，过F且倾斜角为30°的直线交C于A，B两点，则|AB|＝(　　)‎ ‎ A. B.6 C.12 D.7 ‎7. 在如图1所示的空间直角坐标系中,正方体棱长为2，为正方体的棱的中点,为棱上的一点,且则点F的坐标为（ ）‎ 图1‎ A. B. ‎ C. D. ‎ ‎8、双曲线的离心率为2，有一个焦点与抛物线的焦点重合，则n的值为（ ）‎ A、1 B、4 C、8 D、12‎ ‎9.已知椭圆C：＋＝1(a＞b＞0)的左、右焦点为F1、F2，离心率为，过F2的直线l交C于A、B两点.若△AF1B的周长为4，则C的方程为(　　)‎ ‎ A.＋＝1 B.＋y2＝1 C.＋＝1 D.＋＝1‎ ‎10．已知抛物线C：的焦点为F，准线为l，P是l上一点，Q是直线PF与C的一个交点．若，则|QF|＝（　　）‎ A． B．3 C． D．2‎ ‎11. 已知平行六面体ABCD - A1B1C1D1中，底面ABCD是边长为1的正方形，AA1＝2，‎ ‎∠A1AB＝∠A1AD＝120°，则异面直线AC1与A1D所成角的余弦值 ( ) ‎ A. B. C. D. ‎ ‎12．已知椭圆(a>b>0)的半焦距为c(c>0)，左焦点为F，右顶点为A，抛物线与椭圆交于B、C两点，若四边形ABFC是菱形，则椭圆的离心率是( )‎ A． B． C． D． ‎ 二、填空题（本题共4个小题，每小题5分，共20分）‎ ‎13．抛物线的准线方程为___________．‎ ‎14.已知双曲线过点(4，)，且渐近线方程为y＝±x，则该双曲线的标准方程为______________.‎ ‎15．设P是抛物线y2＝4x上的一个动点，则点P到点A(0,1)的距离与点P到直线的距离之和的最小值是________．‎ ‎16．已知向量a＝(1,2,3)，b＝(－2，－4，－6)，|c|＝，若(a＋b)·c＝7，则a与c的夹角为______________.‎ 三、解答题（共70分）‎ ‎17．(10分)已知方程mx2+（m﹣4）y2=2m+2表示焦点在x轴上的双曲线．‎ ‎（1）求m的取值范围；‎ ‎（2）若该双曲线与椭圆+=1有共同的焦点．求该双曲线的渐近线方程．‎ ‎18．（12分）是否存在同时满足下列两条件的直线l：‎ ‎⑴l与抛物线有两个不同的交点A和B；‎ ‎⑵线段AB被直线l1：垂直平分．若不存在，说明理由，若存在，求出直线l的方程．‎ ‎19．（12分）‎ ‎ 如图，在四棱锥P－ABCD中，PD⊥底面ABCD，底面ABCD为正方形，PD＝DC=2，E、F分别是AB、PB的中点．‎ ‎(1)求证：EF⊥CD；‎ ‎(2)求DB与平面DEF所成角的正弦值．‎ ‎20.（12分）已知椭圆C：＋＝1(a＞b＞0)的离心率为,点(2,)在C上.‎ ‎ (1)求C的方程；‎ ‎ (2)直线l不经过原点O且不平行于坐标轴，l与C有两个交点A，B，线段AB中点为M， ‎ 证明：直线OM的斜率与直线l的斜率的乘积为定值.‎ ‎21.（12分）‎ 如图,在四棱锥中,平面平面 为的中点.‎ ‎（1）证明:‎ ‎（2）求二面角的余弦值. ‎ ‎22.（12分）‎ 已知椭圆的右焦点为左顶点为 ‎（1）求椭圆的方程；‎ ‎（2）过点作两条相互垂直的直线分别与椭圆交于（不同于点的）两点.试判断直线与轴的交点是否为定点,若是,求出定点坐标；若不是,请说明理由.‎ ‎2017年下学期高二年级12月份月考理科数学试卷答案 全卷共150分 考试时间为120分钟 一、 选择题(本大题共12小题，每小题5分，满分60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．) ‎ ‎1. 过点与抛物线只有一个公共点的直线有 ( C )‎ ‎ A. 1条 B. 2条 C. 3条 D. 无数条.‎ ‎2.实轴长为，虚轴长为的双曲线的标准方程是（ D ）‎ A. B. ‎ C. ，或 D. ，或 ‎3．在以下命题中，不正确的个数为(　D　)‎ ‎①|a|－|b|＝|a＋b|是a，b共线的充要条件；‎ ‎②若a∥b，则存在唯一的实数λ，使a＝λb；‎ ‎③对于空间任意一点O和不共线的三点A，B，C，若＝2－2－，则P，A， B，C四点共面；‎ ‎④|(a·b)c|＝|a|·|b|·|c|.‎ A．1个　　　B．2个　　　C．3个　　　D．4个 ‎4. “m>n>0”是“方程mx2＋ny2＝1表示焦点在y轴上的椭圆”的(　C　)‎ A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 ‎5.若双曲线－＝1的一条渐近线经过点(3，－4)，则此双曲线的离心率为(　D　)‎ ‎ A. B. C. D. ‎6.设F为抛物线C：y2＝3x的焦点，过F且倾斜角为30°的直线交C于A，B两点，则|AB|＝(　C　)‎ ‎ A. B.6 C.12 D.7 ‎7. 在如图1所示的空间直角坐标系中,正方体棱长为2，为正方体的棱的中点,为棱上的一点,且则点F的坐标为（ C ）‎ 图1‎ A. B. ‎ C. D. ‎ ‎8、双曲线的离心率为2，有一个焦点与抛物线的焦点重合，则n的值为（ D ）‎ A、1 B、4 C、8 D、12‎ ‎9.已知椭圆C：＋＝1(a＞b＞0)的左、右焦点为F1、F2，离心率为，过F2的直线l交C于A、B两点.若△AF1B的周长为4，则C的方程为(　A　)‎ ‎ A.＋＝1 B.＋y2＝1 C.＋＝1 D.＋＝1‎ ‎10．已知抛物线C：的焦点为F，准线为l，P是l上一点，Q是直线PF与C的一个交点．若，则|QF|＝（　B　）‎ A． B．3 C． D．2‎ ‎11. 已知平行六面体ABCD - A1B1C1D1中，底面ABCD是边长为1的正方形，AA1＝2，‎ ‎∠A1AB＝∠A1AD＝120°，则异面直线AC1与A1D所成角的余弦值 ( C ) ‎ A. B. C. D. ‎ ‎12．已知椭圆(a>b>0)的半焦距为c(c>0)，左焦点为F，右顶点为A，抛物线与椭圆交于B、C两点，若四边形ABFC是菱形，则椭圆的离心率是( D )‎ A． B． C． D． ‎ 二、填空题（本题共4个小题，每小题5分，共20分）‎ ‎13．抛物线的准线方程为___________．‎ 答案:‎ ‎14.已知双曲线过点(4，)，且渐近线方程为y＝±x，则该双曲线的标准方程为______________.‎ 答案: －y2＝1‎ ‎15．设P是抛物线y2＝4x上的一个动点，则点P到点A(0,1)的距离与点P到直线的距离之和的最小值是________．‎ ‎[答案]　 ‎ ‎16．已知向量a＝(1,2,3)，b＝(－2，－4，－6)，|c|＝，若(a＋b)·c＝7，则a与c的夹角为______________.‎ 答案:120°‎ 三、解答题（共70分）‎ ‎17．(10分)已知方程mx2+（m﹣4）y2=2m+2表示焦点在x轴上的双曲线．‎ ‎（1）求m的取值范围；‎ ‎（2）若该双曲线与椭圆+=1有共同的焦点．求该双曲线的渐近线方程．‎ ‎1.解：（1）由题意得：，解得：0＜m＜4；..................5分 ‎（2）由题意得：8﹣2=+，解得：m=2或m=﹣4（舍），‎ 故双曲线方程是：x2﹣y2=3，故渐近线方程是：y=±x．..................10分 ‎18．（12分）是否存在同时满足下列两条件的直线l：‎ ‎⑴l与抛物线有两个不同的交点A和B；‎ ‎⑵线段AB被直线l1：垂直平分．若不存在，说明理由，若存在，求出直线l的方程．‎ ‎2．解：假设存在满足条件的直线l，可设 ‎ 联解 得 ………………………… 4分 ‎ 设，，其中点 ‎ 由△＞0得 且，‎ ‎ ∴ 而 ‎ 故 ‎ ‎ ∴存在这样的直线l，方程为 ………………………… 12分 ‎19．（12分）‎ ‎ 如图，在四棱锥P－ABCD中，PD⊥底面ABCD，底面ABCD为正方形，PD＝DC，E、 F分别是AB、PB的中点．‎ ‎(1)求证：EF⊥CD；‎ ‎(2)求DB与平面DEF所成角的正弦值．‎ 解：以DA，DC，DP所在直线分别为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系(如图)．‎ ‎ 设AD＝a，则D(0,0,0)，‎ ‎ A(a,0,0)，B(a，a, 0)，C(0，a,0)，‎ ‎ E(a，，0)，P(0,0，a)，F(，，)．… 2分 ‎ (1)证明：∵·＝(－，0，)·(0，a,0)＝0，‎ ‎ ∴⊥，∴EF⊥CD. ……………5分 ‎ (2)设平面DEF的法向量为n＝(x，y，z)，‎ ‎ 由，得 ，‎ 即，取x＝1，则y＝－2，z＝1，‎ ‎∴n＝(1，－2,1)， ................8分 ‎∴cos〈，n〉＝＝＝－.………11分 设DB与平面DEF所成角为θ，则sinθ＝.…………12分 ‎20.（12分）已知椭圆C：＋＝1(a＞b＞0)的离心率为,点(2,)在C上.‎ ‎ (1)求C的方程；‎ ‎ (2)直线l不经过原点O且不平行于坐标轴，l与C有两个交点A，B，线段AB中点为M，证明：直线OM的斜率与直线l的斜率的乘积为定值.‎ ‎8.解　(1)由题意得＝，＋＝1，解得a2＝8，b2＝4.‎ 所以C的方程为＋＝1. ..................5分 ‎(2)设直线l：y＝kx＋b(k≠0,b≠0),A(x1,y1),B(x2,y2)，M(xM，yM).将y＝kx＋b代入＋＝1得 ‎(2k2＋1)x2＋4kbx＋2b2－8＝0.故xM＝＝，yM＝k·xM＋b＝. ........9分 于是直线OM的斜率kOM＝＝－，即kOM·k＝－.‎ 所以直线OM的斜率与直线l的斜率的乘积为定值. .............12分 ‎21.（12分）‎ 如图,在四棱锥中,平面平面 为的中点.‎ ‎（1）证明:‎ ‎（2）求二面角的余弦值. ‎ 解：（1）联结因为为的中点,‎ 所以又平面平面交线为 平面所以又 所以…………（5分）‎ ‎（2）取线段的中点因为所以由（1）知, 故可以为原点, 射线分别为的正半轴建立空间直角坐标系则…………（6分）‎ 于是 设平面的一个法向量为由得 令得…………（8分）‎ 设平面的法向量为由得 令得…………（10分）‎ 所以易知二面角的平面角为锐角,所以二面角的余弦值为…………（12分）‎ ‎22.（12分）‎ 已知椭圆的右焦点为左顶点为 ‎（1）求椭圆的方程；‎ ‎（2）过点作两条相互垂直的直线分别与椭圆交于（不同于点的）两点.试判断直线与轴的交点是否为定点,若是,求出定点坐标；若不是,请说明理由.‎ 解：（1）由已知得…………（3分）‎ 所以椭圆的方程为…………（4分）‎ ‎（2）①当直线与轴垂直时,直线的方程为 联立得解得 此时直线的方程为直线与轴的交点为 …………（6分）‎ ‎②当直线不垂直于轴时,设直线的方程为 联立得 设则 且即…………（8分）‎ 而由题意知,‎ 即 解得或…………（10分）‎ 当时,满足直线的方程为此时与轴的交点为故直线与轴的交点是定点,坐标为…………（12分）‎