2018版高考文科数学(北师大版)一轮文档讲义:章7-2基本不等式及其应用

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文档介绍

2018版高考文科数学(北师大版)一轮文档讲义:章7-2基本不等式及其应用

第2讲 基本不等式及其应用 最新考纲 1.了解基本不等式的证明过程;2.会用基本不等式解决简单的最大(小)值问题.‎ 知 识 梳 理 ‎1.基本不等式:≤ ‎(1)基本不等式成立的条件:a≥0,b≥0.‎ ‎(2)等号成立的条件:当且仅当a=b时取等号.‎ ‎(3)其中称为正数a,b的算术平均数,称为正数a,b的几何平均数.‎ ‎2.几个重要的不等式 ‎(1)a2+b2≥2ab(a,b∈R),当且仅当a=b时取等号.‎ ‎(2)ab≤2(a,b∈R),当且仅当a=b时取等号.‎ ‎(3)≥2(a,b∈R),当且仅当a=b时取等号.‎ ‎(4)+≥2(a,b同号),当且仅当a=b时取等号.‎ ‎3.利用基本不等式求最值 已知x≥0,y≥0,则 ‎(1)如果积xy是定值p,那么当且仅当x=y时,x+y有最小值是2(简记:积定和最小).‎ ‎(2)如果和x+y是定值s,那么当且仅当x=y时,xy有最大值是(简记:和定积最大).‎ 诊 断 自 测 ‎1.判断正误(在括号内打“√”或“×”) 精彩PPT展示 ‎(1)当a≥0,b≥0时,≥.(  )‎ ‎(2)两个不等式a2+b2≥2ab与≥成立的条件是相同的.(  )‎ ‎(3)函数y=x+的最小值是2.(  )‎ ‎(4)函数f(x)=sin x+的最小值为2.(  )‎ ‎(5)x>0且y>0是+≥2的充要条件.(  )‎ 解析 (2)不等式a2+b2≥2ab成立的条件是a,b∈R;‎ 不等式≥成立的条件是a≥0,b≥0.‎ ‎(3)函数y=x+值域是(-∞,-2]∪[2,+∞),没有最小值.‎ ‎(4)函数f(x)=sin x+的最小值为-5.‎ ‎(5)x>0且y>0是+≥2的充分条件.‎ 答案 (1)√ (2)× (3)× (4)× (5)×‎ ‎2.设x>0,y>0,且x+y=18,则xy的最大值为(  )                   ‎ A.80 B.77 C.81 D.82‎ 解析 xy≤2=81,当且仅当x=y=9时等号成立,故选C.‎ 答案 C ‎3.(2015·福建卷)若直线+=1(a>0,b>0)过点(1,1),则a+b的最小值等于(  )‎ A.2 B.3 C.4 D.5‎ 解析 因为直线+=1(a>0,b>0)过点(1,1),所以+=1.所以a+b=(a+b)·=2++≥2+2=4,当且仅当a=b=2时取“=”,故选C.‎ 答案 C ‎4.若函数f(x)=x+(x>2)在x=a处取最小值,则a等于(  )‎ A.1+ B.1+ ‎ C.3 D.4‎ 解析 当x>2时,x-2>0,f(x)=(x-2)++2≥2+2=4,当且仅当x-2=(x>2),即x=3时取等号,即当f(x)取得最小值时,即a=3,选C.‎ 答案 C ‎5.(教材改编)一段长为30 m的篱笆围成一个一边靠墙的矩形菜园,墙长18 m,则这个矩形的长为______m,宽为________m时菜园面积最大.‎ 解析 设矩形的长为x m,宽为y m.则x+2y=30,所以S=xy=x·(2y)≤2=,当且仅当x=2y,即x=15,y=时取等号.‎ 答案 15  考点一 配凑法求最值                   ‎ ‎【例1】 (1)已知x<,求f(x)=4x-2+的最大值;‎ ‎(2)求函数y=的最大值.‎ 解 (1)因为x<,所以5-4x>0,‎ 则f(x)=4x-2+=-+3≤‎ ‎-2+3=-2+3=1.‎ 当且仅当5-4x=,即x=1时,等号成立.‎ 故f(x)=4x-2+的最大值为1.‎ ‎(2)令t=≥0,则x=t2+1,‎ 所以y==.‎ 当t=0,即x=1时,y=0;‎ 当t>0,即x>1时,y=,‎ 因为t+≥2=4(当且仅当t=2时取等号),‎ 所以y=≤,‎ 即y的最大值为(当t=2,即x=5时y取得最大值).‎ 规律方法 (1)应用基本不等式解题一定要注意应用的前提:“一正”“二定”“‎ 三相等”.所谓“一正”是指正数,“二定”是指应用基本不等式求最值时,和或积为定值,“三相等”是指满足等号成立的条件.‎ ‎(2)在利用基本不等式求最值时,要根据式子的特征灵活变形,配凑出积、和为常数的形式,然后再利用基本不等式.‎ ‎【训练1】 (1)(2017·湖北重点中学一联)若对任意x≥1,不等式x+-1≥a恒成立,则实数a的取值范围是________.‎ ‎(2)函数y=(x>1)的最小值为________.‎ 解析 (1)因为函数f(x)=x+-1在[1,+∞)上单调递增,所以函数g(x)=x+1+-2在[0,+∞)上单调递增,所以函数g(x)在[1,+∞)的最小值为g(1)=,因此对任意x≥1不等式x+-1≥a恒成立,所以a≤g(x)最小值=,故实数a的取值范围是.‎ ‎(2)y== ‎= ‎=(x-1)++2≥2+2.‎ 当且仅当x-1=,即x=+1时,等号成立.‎ 答案 (1) (2)2+2‎ 考点二 常数代换或消元法求最值(易错警示)‎ ‎【例2】 (1)若正数x,y满足x+3y=5xy,则3x+4y的最小值为________;‎ ‎(2)(2017·南昌模拟)已知x>0,y>0,x+3y+xy=9,则x+3y的最小值为________.‎ 解析 (1)法一 由x+3y=5xy可得+=1,‎ ‎∴3x+4y=(3x+4y) ‎=+++≥+=5(当且仅当=,即x=1,y=时,等号成立),‎ ‎∴3x+4y的最小值是5.‎ 法二 由x+3y=5xy,得x=,‎ ‎∵x>0,y>0,∴y>,‎ ‎∴3x+4y=+4y=+4y=+·+4 ‎≥+2=5,‎ 当且仅当y=时等号成立,∴(3x+4y)min=5.‎ ‎(2)由已知得x=.‎ 法一 (消元法)‎ 因为x>0,y>0,所以0<y<3,‎ 所以x+3y=+3y ‎=+3(y+1)-6≥2-6=6,‎ 当且仅当=3(y+1),‎ 即y=1,x=3时,(x+3y)min=6.‎ 法二 ∵x>0,y>0,‎ ‎9-(x+3y)=xy=x·(3y)≤·2,‎ 当且仅当x=3y时等号成立.‎ 设x+3y=t>0,则t2+12t-108≥0,‎ ‎∴(t-6)(t+18)≥0,又∵t>0,∴t≥6.故当x=3,y=1时,(x+3y)min=6.‎ 答案 (1)5 (2)6‎ 规律方法 条件最值的求解通常有三种方法:一是消元法,即根据条件建立两个量之间的函数关系,然后代入代数式转化为函数的最值求解;二是将条件灵活变形,利用常数代换的方法构造和或积为常数的式子,然后利用基本不等式求解最值;三是对条件使用基本不等式,建立所求目标函数的不等式求解.‎ 易错警示 (1)利用基本不等式求最值,一定要注意应用条件;(2)尽量避免多次使用基本不等式,若必须多次使用,一定要保证等号成立的条件一致.‎ ‎【训练2】 (1)已知x>0,y>0且x+y=1,则+的最小值为________.‎ ‎(2)(2017·西安模拟)已知正数x,y满足x+2y-xy=0,则x+2y的最小值为(  )‎ A.8 B.4 C.2 D.0‎ 解析 (1)(常数代换法)‎ 因为x>0,y>0,且x+y=1,‎ 所以+=(x+y)‎ ‎=10++≥10+2=18,‎ 当且仅当=,即x=2y时等号成立,‎ 所以当x=,y=时,+有最小值18.‎ ‎(2)由x+2y-xy=0,得+=1,且x>0,y>0.‎ ‎∴x+2y=(x+2y)×=++4≥4+4=8.‎ 答案 (1)18 (2)A 考点三 基本不等式在实际问题中的应用 ‎【例3】 运货卡车以每小时x千米的速度匀速行驶130千米,按交通法规限制50≤x≤100(单位:千米/时).假设汽油的价格是每升2元,而汽车每小时耗油升,司机的工资是每小时14元.‎ ‎(1)求这次行车总费用y关于x的表达式;‎ ‎(2)当x为何值时,这次行车的总费用最低,并求出最低费用的值.‎ 解 (1)设所用时间为t=(h),‎ y=×2×+14×,x∈[50,100].‎ 所以,这次行车总费用y关于x的表达式是y=+x,x∈[50,100]‎ ‎(或y=+x,x∈[50,100]).‎ ‎(2)y=+x≥26,‎ 当且仅当=x,‎ 即x=18时等号成立.‎ 故当x=18千米/时,这次行车的总费用最低,最低费用的值为26元.‎ 规律方法 (1)设变量时一般要把求最大值或最小值的变量定义为函数.‎ ‎(2)根据实际问题抽象出函数的解析式后,只需利用基本不等式求得函数的最值.‎ ‎(3)在求函数的最值时,一定要在定义域(使实际问题有意义的自变量的取值范围)求解.‎ ‎【训练3】 某项研究表明:在考虑行车安全的情况下,某路段车流量F(单位时间内经过测量点的车辆数,单位:辆/时)与车流速度v(假设车辆以相同速度v行驶,单位:米/秒),平均车长l(单位:米)的值有关,其公式为F=.‎ ‎(1)如果不限定车型,l=6.05,则最大车流量为______辆/时;‎ ‎(2)如果限定车型,l=5,则最大车流量比(1)中的最大车流量增加________辆/时.‎ 解析 (1)当l=6.05时,F=,‎ ‎∴F==≤=1 900,‎ 当且仅当v=,即v=11时取“=”.‎ ‎∴最大车流量F为1 900辆/时.‎ ‎(2)当l=5时,F==,‎ ‎∴F≤=2 000,‎ 当且仅当v=,即v=10时取“=”.‎ ‎∴最大车流量比(1)中的最大车流量增加2 000-1 900=100辆/时.‎ 答案 (1)1 900 (2)100‎ ‎[思想方法]‎ ‎1.基本不等式具有将“和式”转化为“积式”和将“积式”转化为“和式”的放缩功能,常常用于比较数(式)的大小或证明不等式,解决问题的关键是分析不等式两边的结构特点,选择好利用基本不等式的切入点.‎ ‎2.对于基本不等式,不仅要记住原始形式,而且还要掌握它的几种变形形式及公式的逆用等,例如:ab≤2≤,≤≤(a>0,b>0)等,同时还要注意不等式成立的条件和等号成立的条件.‎ ‎3.对使用基本不等式时等号取不到的情况,可考虑使用函数y=x+(m>0)的单调性.‎ ‎[易错防范]‎ ‎1.使用基本不等式求最值,“一正”“二定”“三相等”三个条件缺一不可.‎ ‎2.连续使用基本不等式求最值要求每次等号成立的条件一致.‎ 基础巩固题组 ‎(建议用时:30分钟)                   ‎ 一、选择题 ‎1.下列不等式一定成立的是(  )‎ A.lg>lg x(x>0)‎ B.sin x+≥2(x≠kπ,k∈Z)‎ C.x2+1≥2|x|(x∈R)‎ D.<1(x∈R)‎ 解析 当x>0时,x2+≥2·x·=x,所以lg≥lg x(x>0),故选项A不正确;运用基本不等式时需保证“一正”“二定”“三相等”,而当x≠kπ,k∈Z时,sin x的正负不定,故选项B不正确;由基本不等式可知,选项C正确;当x=0时,有=1,故选项D不正确.‎ 答案 C ‎2.若2x+2y=1,则x+y的取值范围是(  )‎ A.[0,2] B.[-2,0]‎ C.[-2,+∞) D.(-∞,-2]‎ 解析 2≤2x+2y=1,所以2x+y≤,即2x+y≤2-2,所以x+y≤-2.‎ 答案 D ‎3.(2016·合肥二模)若a,b都是正数,则·的最小值为(  )‎ A.7 B.8 C.9 D.10‎ 解析 ∵a,b都是正数,∴=5++≥5+2=9,当且仅当b=2a>0时取等号.故选C.‎ 答案 C ‎4.若a>0,b>0,且a+b=4,则下列不等式恒成立的是(  )‎ A.≤ B.+≤1‎ C.≥2 D.a2+b2≥8‎ 解析 4=a+b≥2(当且仅当a=b时,等号成立),即≤2,ab≤4,≥,选项A,C不成立;+==≥1,选项B不成立;a2+b2=(a+b)2-2ab=16-2ab≥8,选项D成立.‎ 答案 D ‎5.(2015·湖南卷)若实数a,b满足+=,则ab的最小值为(  )‎ A. B.2 C.2 D.4‎ 解析 依题意知a>0,b>0,则+≥2=,当且仅当=,即b=2a时,“=”成立.因为+=,所以≥,即ab≥2,所以ab的最小值为2,故选C.‎ 答案 C ‎6.(2017·咸阳模拟)若实数x,y满足xy>0,则+的最大值为(  )‎ A.2- B.2+ C.4+2 D.4-2 解析 +===1+=1+≤1+=4-2,当且仅当=,即x2=2y2时取等号.故选D.‎ 答案 D ‎7.若正数x,y满足4x2+9y2+3xy=30,则xy的最大值是(  )‎ A. B. C.2 D. 解析 由x>0,y>0,得4x2+9y2+3xy≥2·(2x)·(3y)+3xy(当且仅当2x=3y时等号成立),∴12xy+3xy≤30,即xy≤2,∴xy的最大值为2.‎ 答案 C ‎8.(2017·安庆二模)已知a>0,b>0,a+b=+,则+的最小值为(  )‎ A.4 B.2 C.8 D.16‎ 解析 由a>0,b>0,a+b=+=,得ab=1,‎ 则+≥2=2.当且仅当=,即a=,b=时等号成立.故选B.‎ 答案 B 二、填空题 ‎9.正数a,b满足ab=a+b+3,则ab的取值范围是________.‎ 解析 ∵a,b是正数,∴ab=a+b+3≥2+3,‎ 解得≥3,即ab≥9.‎ 答案 [9,+∞)‎ ‎10.(2016·湖南雅礼中学一模)已知实数m,n满足m·n>0,m+n=-1,则+的最大值为________.‎ 解析 ∵m·n>0,m+n=-1,∴m<0,n<0,‎ ‎∴+=-(m+n)=-≤-2-2=-4,当且仅当m=n=-时,+取得最大值-4.‎ 答案 -4‎ ‎11.若对于任意x>0,≤a恒成立,则a的取值范围是________.‎ 解析 =,‎ 因为x>0,所以x+≥2(当且仅当x=1时取等号),‎ 则≤=,‎ 即的最大值为,故a≥.‎ 答案  ‎12.(2017·成都诊断)某工厂需要建造一个仓库,根据市场调研分析,运费与工厂和仓库之间的距离成正比,仓储费与工厂和仓库之间的距离成反比,当工厂和仓库之间的距离为4千米时,运费为20万元,仓储费为5万元,当工厂和仓库之间的距离为________千米时,运费与仓储费之和最小,最小为________万元.‎ 解析 设工厂和仓库之间的距离为x千米,运费为y1万元,仓储费为y2万元,则y1=‎ k1x(k1≠0),y2=(k2≠0),‎ ‎∵工厂和仓库之间的距离为4千米时,运费为20万元,仓储费用为5万元,‎ ‎∴k1=5,k2=20,∴运费与仓储费之和为万元,‎ ‎∵5x+≥2=20,当且仅当5x=,即x=2时,运费与仓储费之和最小,为20万元.‎ 答案 2 20‎ 能力提升题组 ‎(建议用时:15分钟)‎ ‎13.设正实数x,y,z满足x2-3xy+4y2-z=0,则当取得最大值时,+-的最大值为(  )‎ A.0 B.1 C. D.3‎ 解析 由已知得z=x2-3xy+4y2,(*)‎ 则==≤1,当且仅当x=2y时取等号,把x=2y代入(*)式,得z=2y2,所以+-=+-=-2+1≤1.‎ 答案 B ‎14.(2017·衡水中学调研)设x,y满足约束条件若目标函数z=ax+2by(a>0,b>0)的最大值为1,则+的最小值为________.‎ 解析 不等式组所表示的平面区域是以(0,0), ‎,(1,1)为顶点的三角形区域(包括边界),观察可知,当直线z=ax+2by过点(1,1)时,z有最大值,故a+2b=1,故1≥2,故ab≤,故+≥≥8,当且仅当a=2b=时等号成立,故+的最小值为8.‎ 答案 8‎ ‎15.(2017·辽宁五校协作体联考)点(a,b)为第一象限内的点,且在圆(x+1)2+(y+1)2=8上,则ab的最大值为________.‎ 解析 由题意知a>0,b>0,且(a+1)2+(b+1)2=8,化简得a2+b2+2(a+b)=6,则6≥2ab+4(当且仅当a=b时取等号),令t=(t>0),则t2+2t-3≤0,解得0
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