数学经典易错题会诊与高考试题预测8
经典易错题会诊与2012届高考试题预测（八）
考点8 直线与圆
命题角度1 直线的方程
命题角度2 两直线的位置关系
命题角度3 简单线性规划
命题角度4 圆的方程
命题角度5 直线与圆
探究开放题预测
预测角度1 直线的方程
预测角度2 两直线的位置关系
预测角度3 线性规划
预测角度4 直线与圆
预测角度5 有关圆的综合问题
经典易错题会诊
命题角度1 直线的方程
1．(典型例题)已知点A
[考场错解] ∵
[专家把脉]主要是没有考虑到
[对症下药]
2.(典型例题)点(1,-1)到直线x-y+1=0的距离是 ( )
[考场错解]直接运用点到直线的距离公式.
[专家把脉]在运用点到直线的距离公式时，没有理解直线Ax+By+C=0中，B的取值，B应取-1,而不是取1.
[对症下药]
2．(典型例题)若直线2x-y+c=0按向量a=(1,-1)平移后与圆x2+y2=5相切，则c的值为( )
A.8或-2 B.6或-4
C.4或-6 D.2或-8
[考场错解]C.直线2x-y+c=0按向量a=(1,-1)平移后的直线方程为：2(x+1)-(y+1)+c=0即：2x-y+1+c=0,此直线与圆相切，故圆心到直线的距离等于半径，即或-6, 故选C.
[专家把脉]坐标平移公式运用错误，应用x-h,y-k分别来替换原来的x,y.
[对症下药]A直线2x-y+c=0按向量a=(1,-1)平移后的直线为2x-y-3+c=0,此直线与圆相切有：或者说c=-2,故选A.
4.(典型例题)设直线ax+by+c=0的倾斜角为a,且sina+cosa=0,则a、b满足 ( )
A.A+b=1 B.a-b=1
C.a+b=0 D.a-b=0
[考场错解]C.
[专家把脉]直线Ax+By+c=0的斜率k=
[对症下药]D
专家会诊
1． 已知直线的方程，求直线的斜率与倾斜角的范围，反之求直线方程，注意倾斜角的范围及斜率不存在时的情况。
2． 会用直线的五种形式求直线方程，不可忽视每种形式的限制条件。
考场思维训练
1已知A(3,0),B(-1,-6),延长BA到P，使则点P的坐标是_________.
答案：(，2) 解析：由已知P分的比为-，由定比分点坐标公式可得．
2直线
A(-2,3) B(-4,5)
C(-2-) D(-3,4)
答案： D解析：略．
答案：16．2x-y+8=0 解析：由已知可设l2的方程为：y=tan2α·x-2，l1与l3垂直，l1，的斜率为k1=2,∴tan2α=，即l2的方程为y=-x-2，解方程组得P点坐标(-3，2)．由点斜式得l1，的方程为y=2(x+3)+2．
命题角度2两直线的位置关系
1．(典型例题)已知过点A(-2,m)和B(M,4)的直线与直线2x+y-1=0平行，则m的值为 ( )
A.0 B.-8 C.2 D.10
[考场错解]A两直线平行故斜率相等可得：∴m=0.故选A.
[专家把脉]
[对症下药]B利用两直线平行斜率相等可得：
2．在坐标平面内，与点A(1,2)距离为1，且与点B(3,1)距离为2的直线共有
A．1条 B.2条 C.3条 D.4条
[考场错解]D由题意知所求直线必不与任何坐标轴平行，可设直线y=kx+b即,kx-y+b=0,
[专家把脉]当时此时kAB=-不符合题意。
[对症下药]B法一：由题意知所求直线必不与任何坐标轴平行可设直线y=kx+b,即kx-y+b=0
法二：以A为圆心，1为半径画圆，以B为圆心2为半径作圆，∵圆心距|AB|=∴⊙A′与⊙B必相交，则⊙A与⊙B的分切线有两条，
即到点A距离为1到点B距离为2的直线有2条.
3．(典型例题)如下图，定圆半径为a,圆心为(b,c)则直线ax+by+c=0与直线x-y+1=0的交点在 ( )
A．第一象限 B.第二象限
C.第三象限 D.第四象限
[考场错解]B由图知b>a>c>0.取b=3,a=2,c=1.解方程组
[专家把脉]由图看出的是长度大小关系，在比较时坐标值与长度值相混淆。
[对症下药]C由图形如此图圆心在第二象限且a、b、c满足球队0
0时,z最大，当B<0时，当直线过可行域且y轴上截距最大时，z值最小。
2． 由于最优解是通过图形来规定的，故作图要准确，尤其整点问题。
考场思维训练
1在直角坐标面上有两个区域M和N.M是由y≥0,y≤x和y≤2-x三个不等式来确定的.N是由不等式t≤x≤t+1来确定的，t的取值范围是0≤t≤1,设M和N的公共面积是函数f(t),则f(t)为 ( )
2
答案： A 解析：画出M和N的所表示的区域，可得面积等于-t2+t+,所以选A
2设实数x,y满足不等式组
A．7+3a,1-3a B.7+3a,-1-2a
C.-1-2a,1-3a D.以上都不对
答案： A 解析：画出不等式组所表示的平面区域，由线性规划的知识知选A
3某运输公司有10辆载重量为6吨的A型卡车与载重量为8吨的B型卡车，有11名驾驶员。在建筑某段高速公路中，该公司承包了每天至少搬运480吨沥青的任务。已知每辆卡车每天往返的次数为A型卡车8次，B型卡车7次；每辆卡车每天的成本费A型车350元，B型车400元。问每天派出A型车与B型车各多少辆，公司所花的成本费最低，最低为多少？
答案：解：设每天派出A型车与B型车各x、y辆，并设公司每天的成本为z元．由题意，得
且z=350x+400y.
作出可行域，作直线l0:350x+400y=0，
即7x+8y=0．
作出一组平行直线：7x+8y=t中(t为参数)经过可行域内的点和原点距离最近的直线，此直线经过6x +7y=60和y=5的交点A(，5)，由于点A的坐标不都是整数，而x，y∈N,所以可行域内的点A(,5)不是最优解．
为求出最优解，必须进行定量分析．
因为，7×+8×5≈69.2，所以经过可行域内的整点(横坐标和纵坐标都是整数的点)且与原点最小的直线是7X+8y=10，在可行域内满足该方程的整数解只有x=10，y=0，所以(10，0)是最优解，即当l通过B点时，z=350×10+400×O=3500元为最小．
答：每天派出A型车10辆不派B型车，公司所化的成本费最低为3500元
命题角度4 圆的方程
1(典型例题)从原点向圆x2+y2-12y+27=0作两条切线，则该圆夹在两条切线间的劣弧长为 ( )
[考场错解]由半径为3，圆心与原点距离为6，可知两切线间的夹角为60。，故所相应的圆心角为120，故所求劣弧为圆弧长的.
[专家把脉]没有理解清楚优弧，劣弧的概念，劣弧应为相对较短的一段弧。
[对症下药]所求劣弧是整个圆弧的.
2.(典型例题) △ABC的外接圆的圆心为O，两条边上的高的交点为H.则实数m=______.
[考场错解]选取特殊三角形，取△ABC为等边三角形，则故m 可取任意实数。
[专家把脉]情况太特殊，若所取三角形为等腰三角形(非等边三角形)此时此时与m为任意实数相矛盾。
[对症下药]
3．(典型例题)圆心在直线2x-y-7=0上的圆C与y轴交于两点A(0,-4),B(0,-2),则圆C的方程为_____.
[考场错解]设圆的方程为
解得x0=-3,y0=-13,r=.故所求圆的方程为(x+3)2+(y+13)2=168.
[专家把脉]应是令x=0,而不是令y=0，故后面的结果均错。2
[对症下药] 法一:∵AB的中垂线,必过圆心
故解得圆心坐标为
所求圆的方程为
法二:设圆C 的方程:
圆心在直线上
①
又圆过A (0, -4) B (0, -2)
②
③
由①②③解得圆的方程
专家会诊
1.求圆的方程应注意根据所给的条件,恰当选
择方方程的形式,用待定系数法求解.
2讨论点、直线、圆与圆的位置关系时，一般可从代数特征（方程组解的个数）或几何特征去考虑，其中几何特征数更为简捷实用。
考场思维训练
1过点A（1，-2），B（-1，1），且圆心在直线0上的圆的方程是 ( )
A.
B.
C.
D.
答案： A ∵只有A中的圆心(3，-1)在直线x+y-2=0上，
∴选A.
2 方程所以表示的曲线图形是
答案： D 解析：方程的解为x=1或x2+y2=2，且x2+y2>1，当x=1，y≠0．
3．已知两点A（-1，0），B（0，2），若点P是圆（x-1）2+( )
3已知两点A（-1，0），B（0，2），若点P是圆
y2=1上的动点，则△ABP面积的最大值和最小值分别为 （ ）
答案： B 解析：过圆心C作CM⊥AB于M，设CM交圆于P、Q两点，从图可以看出，△ABP和△ABQ分别为最大和最小值，可以求得最大值和最小值分别为(4+)， (4-)，所以选B
4 如图8 –
5，已知点A、B的坐标分别是（-3，0），（3，0），点C为线段AB上任一点，P、Q分别以AC和BC为直径的两圆 O1、O 2的外公切线的切点，求线段PQ的中点的轨迹方程.
答案：解：作MC⊥AB交PQ于点M，则MC是两圆的公切线，
∴|MC|=|MQ|，|MC|=|MP|，即M为PQ的中点．设M(x，y)，则点C、O1、O2的坐标分别是(x，0)、(, 0)、(，0)．连O1M，O2M，由平几知识得：∠O1MO2=90°，
∴有|O1M|2+|O2M|2=|O1O2|2，即：
(x-)2+y2+(x-)2+y2
=(-)2，化简得x2+4y2=9.
又∵点C(x,0)在线段AB上，且AC、BC是圆的直径，
∴ -30)，由于A、B两点在抛物线上，
∴解出：r=，p= .
得抛物线方程为y2=x.
由此可知A点坐标为(1，1)，且A点关于M(3，0)的对称点C的坐标是(5，-1)，∴直线l的方程为y-(-1)=(x-5),，即x-3y-8=0．
(3)将圆方程(x-3)2+y2=(2)2分别与AC、BD的直线方程：
y=(x-2)，y=2(x-3)联立，可解得A(-1，2)， B(5，4)．
设抛物线方程为了y2=a(x-m)(*)将A(-1，2)、B (5，4)的坐标代入(*)，得
解得：a=2，m=-3，
∴抛物线的方程为y2=2(x+3)．
A(-1，2)，点关于M(3，0)的观点为C(7，-2)，
故直线l的方程为y-(-2)=(x-7)，即x-3y- 13=0．
预测角度2
两直线的位置关系
1．若直线mx+y+2=0与线段AB有交点，其中A(-2，3)，B(3，2)，求实数m的取值范围．
[解题思路] 运用数形结合的思想来解，直线mx+y+ 2=0的斜率-m应为倾角的正切，而当倾角在(0°，90°)或 (90°，180°)内，角的正切函数都是单调递增的，因此当直线在∠ACB内部变化时，众应大于或等于kBC，或者k小于或等于kAC，当A、B两点的坐标变化时，求出m的范围．
[解答] 直线m+y+2=0过一定点C(0，-2)，直线mx+y+2=0实际上表示的是过定点(0，-2)的直线系，因为直线与线段AB有交点，则直线只能落在∠ABC的内部，设BC、CA这两条直线的斜率分别为k1、k2，则由斜率的定义可知，直线mx+y+2=0的斜率A应满足k≥k1，或k≤k2，∵A(-2，3) B(3，2)
2．如图8-11，已知：射线OA为y=kx(k>0，x>0)，射线OB为了y=-kx(x>0)，动点P(x，y)在∠AOx的内部，PM⊥OA于M，PN⊥kOB于N，四边形ONPM的面积恰为k．
(1)当k为定值时，动点P的纵坐标y是横坐标x的函数，求这个函数y=f(x)的解析式；
(2)根据A的取值范围，确定y=f(x)的定义域．
[解题思路] (1)设点的坐标而不求，直接转化．
(2)垂足N必须在射线OB上，所以必须满足条件：y0，b>0)．则|OM|=a，|ON|=b．
由动点P在∠AOx的内部，得00，∴y=
(2)由0．
当01时，由不等式②得x2>
∴(*)x>
但垂足N必须在射线OB上，否则O、N、P、M四点不能组成四边形，所以还必须满足条件：y1)，或x∈A(0｝；
当01时，定义域为{x|0，即t>0，而且直线l往右平移时，t随之增大．当直线l平移至ll的位置时，直线经过可行域上的点 B，此时所对应的t最大；当l在l0的左上方时，直线l上的点(x，y)满足2x-y<0，即t<0，而且直线l往左平移时，t随之减小．当直线l平移至l2的位置时，直线经过可行域上的点C，此时所对应的t最小．
由 解得点B的坐标为(5，3)；
由解得点C的坐标为(1，)．
所以，z最大值=2×5-3=7；z最小值=2
2．已知三种食物P、Q、R的维生素含量与成本如下表所示．
食物P
食物Q
食物R
维生素A（单位/kg）
400
600
400
维生素B（单位/kg）
800
200
400
成本（元/kg）
6
5
4
现在将xkg的食物P和ykg的食物Q及zkg的食物 R混合，制成100kg的混合物．如果这100kg的混合物中至少含维生素A44000单位与维生素B48000单位，那么 x、y、z为何值时，混合物的成本最小?
[解题思路] 由x+y+z=100，得z=100-x-y，所以上述问题可以看作只含x、y两个变量．设混合物的成本为k元，那么k=6x+5y+4(100-x-y)=2x+y+400．于是问题就归结为求∵在已知条件下的线性规划问题．
[解答] 已知条件可归结为下列不等式组：
①
在平面直角坐标系中，画出不等式组①所表示的平面区域，这个区域是直线x+y=100，y=20，2x-y=40围成的一个三角形区域EFG(包括边界)，即可行域，如图所示的阴影部分．
设混合物的成本为k元，那么k=6x+5y+4(100- x-y)=2x+y+400．
作直线l0：2x+y=0，把直线l0向右上方平移至l1位置时，直线经过可行域上的点E，且与原点的距离最小，此时2x+y的值最小，从而A的值最小．
由
得 即点E的坐标是(30，20)．
所以，k最小值=2×30+20+400=480(元)，此时z= 100-30-20=50．
答：取x=30，y=20，z=50时，混合物的成本最小，最小值是480元．
预测角度4
直线与圆
1．已知点T是半圆O的直径AB上一点，AB=2、OT=t (00，x2>0
由 解得k2>3．
由双曲线左准线方程 x=-1且e=2，有
|AMl|·|BM1|=e|x1+1|·e|x2+1|
=4[x1x2+(x1+x2)+1]=4
∵k2-3>0，∴|AM1|×|BM1|>100
又当直线倾斜角等于 时，A(4，y1)、B(4，y2)，|AM1|= |BM1|=e(4+1)=10，|AM1|·|BM1|=100
故 |AM1|·|BM1|≥100．
考点高分解题综合训练
说明：1～4解析：略
1 方程 (λ∈R且λ≠1)表示的曲线是 ( )
A．以点M1(x1，y1)、M2(x2，y2)为端点的线段
B．过点M1(x1，y1)、M2(x2，y2)的直线
C．过点Ml(x1，y1)、M2(x2，y2)两点的直线，去掉点M1的部分
D．过点M1(x1，y1)、M2(x2，y2)两点的直线去掉M2的部分
答案： D
2 直线l经过A(2，1)、B(1，m2)(m∈R)两点，那么直线l的倾斜角的取值范围是 ( )
A．[0，π] B．[0，]∪(，π)
C．[0，] D．[0，]∪[π，π]
答案： B
3 曲线y=1+，x∈[-2,2]与直线y=k(x-2)+4有两个交点时，实数k的取值范围是 ( )
答案： D
4 若x、y满足x2+y2-2x+4y=0，则x-2y的最大值是 ( )
答案： C
5 使可行域为的目标函数z=ax+by(ab≠0)，在x=2，y=2取得最大值的充要条件是 ( )
A． |a|≤b B． |a|≤|b|
C. |a|≥b D． |a|≥|b|
答案： A 解析：画出可行区域，直线l：ax+by=0的斜率为-，要使目标函数z=ax+by在x=2，y=2时，取得最大值，必须且只需|-|≤1，且直线l向上平移时，纵截距变大，所以必须且只需|-|≤1且 b>0．
6 已知向量a=(2cosα，2sina)，b=(3cosβ，3sinβ)，a与b的夹角为60°，则直线xcosα-ysinα+=0与圆(x-cosβ)2+(y+sinβ)2=的位置关系是 ( )
A.相切 B．相交
C．相离 D．随α,β的值而定
答案： C 解析：略
7 当x，y满足约束条件 (k为常数)时，能使z=x+3y的最大值为12的k的值为 ( )
A．-9 B．9
C．-12 D．12
答案： A 解析：画出线性约束条件所表示的平面区域，，由图可知，目标函数y=-的图像过直线y=x与2x+y+k=0的交点时，z最大，解得交点为(-，-)，得z=12，所以选A.
说明：8～11解析：略
8 已知点M(-3，0)、N(3，0)、O(1，0)，⊙C与直线MN切于点B，过M、N与⊙C相切的两直线相交于点P， 则P点的轨迹方程为 ( )
A．x2-=1
B．x2-=1(x>1)
C．x2+=1
D．x2+=1
答案： B
9 有下列4个命题：
①两直线垂直的充要条件是k1k2=-1；
②点M(x0，y0)在直线Ax+By+C=0外时，过点M(x0，y0)与直线Ax+By+C=0(AB≠0)平行的直线方程为A(x-x0)+B(y-y0)=0；
③直线l1:y=2x-1到l2：y=x+5的角是；
④两平行直线Ax+By+C1=0与Ax+By+C2=0间的距离是d=其中正确的命题有 ( )
A．①② B．③④
C．②④ D．以上答案均对
答案： C
10 圆x2+y2-4x+2y+c=0与y轴交于A、B两点，圆心为P，若∠APB=120°，则实数c等于____________
答案：-11
11 直线=1与圆x2+y2=r2(r>0)相切的充要条件是_________
答案：|ab|=r
12 已知动圆户与定圆C：(x+2)2+y2=1相外切，又与定直线L:x=1相切，那么动圆圆心户的轨迹方程是________
答案： y2=-8x 解析：设圆心的坐标为(x，y)，
由已知有1-x=，整理后可得．
13 已知△ABC的顶点A(3，-1)，AB边上的中线所在直线的方程为6x+l0y-59=0，∠
B的平分线所在直线的方程为：x-4y+10=0，求边BC所在直线的方程．
答案：解：设B(a，b)，B在直线BT上，∴a-4b+10=0①
又AB中点
M()在直线CM上，∴点M的坐标满足方程6x+10y-59=0
∴6·+10·-59=0②
解①、②组成的方程组可得a=10，b=5
∴B(10，5)，
又由角平分线的定义可知，直线BC到BT的角等于直线BT到直线BA的角，又kAB=，kBT=
∴ ∴kBC=-∴BC所在直线的方程为y-5=-(x-10)即2x+9y-65=0
14 某人有楼房一幢，室内面积共180m2，拟分隔成两类房间作为旅游客房．大房间每间面积为18m2，可住游客5名，每名游客每天住宿费为40元；小房间每间面积为15m2，可住游客3名，每名游客每天住宿费为50元．装修大房间每间需1000元，装修小房间每间需600元．如果他只能筹款8000元用于装修，且游客能住满客房，他应隔出大房间和小房间各多少间，能获得最大收益?
答案：解：设隔出大房间x间，小房间y间时收益为z元，则x、y满足
且 z=200x+150y.
作出可行域及直线l：200x+150y=0，即4x+3y =0．(如图4)把直线l0向上平移至l1的位置时，直线经过可行域上的点B，且与原点距离最大．此时，z=200x+150y取最大值．但解6x+5y=60与5x+3y=40联立的方程组得到B()．由于点B的坐标不是整数，而
x、y∈N，所以可行域内的点B不是最优解．
为求出最优解，同样必须进行定量分析．
因为4×+3×=≈37．1，但该方程的非负整数解(1，11)、(4，7)、(7，3)均不在可行域内，所以应取4x+3y=36．同样可以验证，在可行域内满足上述方程的整点为(0，12)和(3，8)．此时z取最大值 1800元．
15
设有半径为3km的圆形村落，A、B两人同时从村落中心出发，B向北直行，A先向东直行，出村后不久，改变前进方向，沿着与村落周界相切的直线前进，后来恰与。相遇．设A、B两人速度一定，其速度比为3：1，问两人在何处相遇?
答案：解：如图建立平面直角坐标系，由题意可设A、B两人速度分别为3v千米／小时，v千米／小时，再设出发x0小时，在点P改变
方向，又经过y0小时，在点Q处与B相遇．
则P、Q两点坐标为(3vx0，0)，(0，vx0+vy0)．
由|OP|2+|OQ|2=|PQ|2知，(3vx0)2+(vx0+vy0)2=(3vy0)2，
即(x0+y0)(5x0-4y0)=0．
∵x0+y0>0，∴5x0=4y0 ①
将①代人kPQ=- 得kPQ=-
又已知PQ与圆O相切，直线PQ在y轴上的截距就是两个相遇的位置．
设直线y=-x+b与圆O：x2+y2=9相切，
则有=3，∴b=．
答：A、B相遇点在离村中心正北3 千米处．
16 设数列{an}的前n项和Sn=na+n(n-1)b，(n=1，2，…)，a、b是常数且b≠0．
(1)证明：{an}是等差数列．
答案：证明：由条件，得al=S1=a，当n≥2时，
有an=Sn-Sn-1=[na++n(n-1)b]-[(n-1)a+(n- 1)(n-2)b]=a+2(n-1)b．
因此，当n≥2时，有an-an-1=[a+2(n-1)b]-[a+2(n-2)b]=2b．
所以{an}是以a为首项，2b为公差的等差数列．
(2)证明：以(an，-1)为坐标的点Pn(n=1，2，…)都落在同一条直线上，并写出此直线的方程．
答案：证明：∵b≠0，对于n≥2，有
∴所有的点Pn(an，)(n=1，2，…)都落在通过P1 (a，a-1)且以为斜率的直线上．此直线方程为了y-(a-1)= (x-a)，即x-2y+a-2=0.
(3)设a=1，b=，C是以(r，r)为圆心，r为半径的圆(r>0)，求使得点P1、P2、P3都落在圆C外时，r的取值范围．
答案：解：当a=1,b=时，Pn的坐标为(n，)，
使P1(1，0)、P2(2, )、P3(3，1)都落在圆c外的条件是
①
②
③
由不等式①，得r≠1
由不等式②，得r<-或r>+
由不等式③，得r<4-，或r>4+
再注意到r>0，1< --<4-=+<4+
故使P1、P2、P3都落在圆C外时，r的取值范围是(0，1)∪ (1，-)∪(4+，+∞)．
