2020高中数学 第1章 点、直线、面的位置关系9 面面平行的判定学案 苏教版必修2

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2020高中数学 第1章 点、直线、面的位置关系9 面面平行的判定学案 苏教版必修2

面面平行的判定 一、考点突破 知识点 课标要求 题型 说明 解应用题 熟练掌握三角函数的性质,会用三角代换解决代数、几何、函数等综合问题 选择题 填空题 应用题 面面平行常常与线面平行结合使用,实现线面间的关系转化,注意灵活掌握 二、重难点提示 重点:两个平面平行的判定定理及应用。‎ 难点:平面与平面平行的判定的理解及应用。‎ 考点一:两个平面的位置关系 ‎1. 两个平面平行的定义 如果两个平面没有公共点,我们就说这两个平面平行。‎ ‎2. 空间两个平面的位置关系 位置关系 两平面平行 两平面相交 公共点 没有公共点 有一条公共直线 符号表示 α∥β α∩β=a 图形表示 考点二:两个平面平行的判定 ‎1. 两个平面平行的定义:由于定义是用否定语句来定义的,用它直接来判定两个平面平行,在实际操作中有一定难度,大多数情况需用反证法。‎ ‎2. 两个平面平行的判定定理 如果一个平面内的两条相交直线与另一个平面平行,则这两个平面平行。即如图所示。‎ a⊂β,b⊂β,a∩b=P,a∥α,b∥α⇒β∥α。‎ ‎3. 垂直于同一条直线的两个平面平行。‎ 即∥。‎ ‎4. 平行于同一平面的两个平面平行(即平行平面的传递性)。‎ 即∥,∥∥。‎ 4‎ ‎【随堂练习】已知三条互相平行的直线a、b、c中,a⊂α,b⊂β,c⊂β,则两个平面α、β的位置关系是________。‎ 答案:如图①满足a∥b∥c,a⊂α,b⊂β,c⊂β,此时α与β相交。‎ 图①‎ 如图②亦满足条件a∥b∥c,a⊂α,b⊂β,c⊂β,此时α与β平行。‎ 图②‎ 故应填:相交或平行。‎ 思路分析:按情况分类讨论。‎ 技巧点拨:直线和平面平行的判定必须具备五个条件,其中共面直线相交这个很重要的条件要牢记。注意这种分类思想在几何中的应用。‎ 例题1 (平面与平面间的位置关系)‎ 已知下列说法:‎ ‎①若两个平面α∥β,a∉α,b∉β,则a∥b;‎ ‎②若两个平面α∥β,a∉α,b∉β,则a与b是异面直线;‎ ‎③若两个平面α∥β,a∉α,b∉β,则a与b一定不相交;‎ ‎④若两个平面α∥β,a∉α,b∉β,则a与b平行或异面;‎ ‎⑤若两个平面α∩β=b,a∉α,则a与β一定相交。‎ 其中正确的是________(将你认为正确的序号都填上)。 ‎ 思路分析:由平面间的位置关系逐一判断。‎ 答案:①错,a与b也可能异面;‎ ‎②错,a与b也可能平行;‎ ‎③对,∵α∥β,∴α与β无公共点,又∵a∉α,b∉β,∴a与b无公共点;‎ ‎④对,由已知及③知:a与b无公共点,那么a∥b或a与b异面;‎ ‎⑤错,a与β也可能平行。故应填③④。‎ 技巧点拨:1. 两个平面的位置关系有两种:平行和相交。熟练掌握这两种位置关系,并借助图形来说明,是解决本题的关键。‎ ‎2. 平面与平面的位置关系的判断方法:‎ ‎(1)平面与平面相交的判断,主要是以公理3为依据找出一个交点。‎ ‎(2)平面与平面平行的判断,主要是说明两个平面没有公共点。‎ 例题2 (平面与平面平行的判定)‎ 4‎ 如图,设E、F、E1、F1分别是长方体ABCD-A1B‎1C1D1的棱AB、CD、A1B1、C1D1的中点。求证:平面ED1∥平面BF1。‎ 思路分析:本题可先证明平面ED1和平面BF1的对应两条相交边互相平行,从而利用面面平行的判定定理证得平行结论。‎ 答案:∵E、F分别为AB、CD的中点,‎ ‎∴BE=CF且BE∥CF,‎ ‎∴四边形BEFC为平行四边形,从而EF∥BC,‎ ‎∴FE∥平面BF1,‎ 同理F、F1分别为DC、D‎1C1的中点,‎ ‎∴D‎1F1∥FC且D‎1F1=FC,‎ ‎∴四边形D‎1F1CF为平行四边形,‎ ‎∴D‎1F∥CF1,‎ ‎∴D‎1F∥平面BF1且FE∥平面BF1,‎ 而且D‎1F∩FE=F,‎ ‎∴平面ED1∥平面BF1。‎ 技巧点拨:‎ 证明两平面平行的主要方法是用判定定理,即将“面面平行”转化为“线面平行”再转化为“线线平行”。具体操作就是在其中一个面内寻找出两条相交直线,均平行于另一个平面,而寻找这两条相交直线时,应结合条件,常用到中位线定理、平行四边形的性质、比例线段等平面几何知识。‎ 立体几何与平面几何综合应用 ‎【满分训练】如图(1)所示,三棱锥A-BCD中,M、N、G分别是△ABC、△BCD、△ABD的重心。‎ ‎(1)求证:平面MNG∥平面ACD;‎ ‎(2)求S△MNG∶S△ACD。‎ 4‎ 思路分析:(1)可综合利用三角形重心和平行线段成比例定理证明;(2)可证明△MNG∽△DAC,从而将两三角形的面积之比转化为求三角形对应边之比的平方。 ‎ 答案:(1)如图(2)所示,连接BM、BN、BG并延长分别交AC、CD、DA于P、E、F,由M、N、G分别是△ABC、△BCD、△ABD的重心知P、E、F分别是AC、CD、DA的中点,‎ 连接PE、EF、PF,‎ 则PE∥AD,且PE=AD;‎ EF∥AC,且FE=AC;‎ PF∥CD,且PF=CD,‎ 又=2,‎ ‎∴MN∥PE,∴MN∥AD,‎ 又∵MN⊄平面ACD,AD⊂平面ACD,‎ ‎∴MN∥平面ACD,‎ 同理MG∥平面ACD,‎ ‎∵MN∩MG=M,∴平面MNG∥平面ACD;‎ ‎(2)由(1)知=,‎ ‎∴=,即MN=PE,‎ 又PE=AD,‎ ‎∴MN=AD,即=,‎ 由(1)知MN∥AD,MG∥CD,‎ ‎∴∠GMN=∠ADC,‎ ‎∴△MNG∽△DAC,‎ ‎∴=()2=()2=。‎ 技巧点拨:‎ ‎1. 判定两个平面平行与判定线面平行一样,应遵循先找后作的原则,先在一个平面内找两条与另一个平面平行的相交直线,找不到再引辅助线。‎ ‎2. 平面与平面平行的判定方法:‎ ‎(1)定义法:两个平面没有公共点;‎ ‎(2)判定定理:一个平面内的两条相交直线分别平行于另一个平面;‎ ‎(3)转化为线线平行:平面α内的两条相交直线与平面β内的两条相交直线分别平行,‎ 则α∥β;‎ ‎(4)利用平行平面的传递性:若α∥β,β∥γ,则α∥γ。‎ 4‎
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