2018-2019学年湖北省四校（襄州一中、枣阳一中、宜城一中、曾都一中）高二下学期期中联考数学（理）试题 解析版

2018-2019学年湖北省四校（襄州一中、枣阳一中、宜城一中、曾都一中）高二下学期期中联考数学（理）试题 解析版

绝密★启用前 湖北省四校（襄州一中、枣阳一中、宜城一中、曾都一中)2018-2019学年高二下学期期中联考数学（理)试题 评卷人 得分 一、单选题 ‎1．设命题：，，则命题的否定为（ ）‎ A．， B．， ‎ C．， D．， ‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ 特称命题的否定为全称命题，所以命题：，的否定为，,故选A.‎ ‎2．双曲线的实轴长是（ ）‎ A． B． C．4 D．‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 双曲线化为标准方程为 ，即可求得实轴长 ‎【详解】‎ 双曲线化为标准方程为 解得 即双曲线的实轴长为 故选B ‎【点睛】‎ 本题主要考查了双曲线的简单性质，解题的关键是将双曲线转化为标准方程，属于基础题。‎ ‎3．如图所示，一圆形纸片的圆心为， 是圆内一定点， 是圆周上一动点，把纸片折叠使与重合，然后抹平纸片，折痕为，设与交于点，则点的轨迹是（ ）‎ A．椭圆 B．双曲线 C．抛物线 D．圆 ‎【答案】A ‎【解析】考点：椭圆的定义．‎ 分析：根据CD是线段MF的垂直平分线．可推断出|MP|=|PF|，进而可知|PF|+|PO|=|PM|+|PO|=|MO|结果为定值，进而根据椭圆的定义推断出点P的轨迹．‎ 解：由题意知，CD是线段MF的垂直平分线．‎ ‎∴|MP|=|PF|，‎ ‎∴|PF|+|PO|=|PM|+|PO|=|MO|（定值），‎ 又显然|MO|＞|FO|，‎ ‎∴根据椭圆的定义可推断出点P轨迹是以F、O两点为焦点的椭圆．‎ 故选A ‎4．设,则“”是“”的（ ）‎ A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 先解出不等式的解集，然后判断出结果 ‎【详解】‎ 解不等式 可得 ‎ 则“”是“”的必要不充分条件 故选B ‎【点睛】‎ 本题考查了必要不充分条件，在判定时根据范围的取值情况得到答案，较为基础 ‎5．已知方程表示焦点在y轴上的椭圆，则实数k的取值范围是 A． B． C． D．‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ 解：因为方程表示焦点在y轴上的椭圆，因此2k-1>0,2-k>0,同时2k-1>2-k,这样解得为选项C ‎6．已知命题：不等式的解集是，命题“在中，是的充要条件”则（ ） ‎ A．真假 B．假 C．真 D．假真 ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 解一元二次不等式即可判断出命题的真假，根据正弦定理的边角互化的推论，可以判定出命题的真假，对题目中的四个答案逐一进行判断，即可得到答案 ‎【详解】‎ 命题：解不等式 ，可得，故命题是真命题；‎ 命题：在中，等价于，即，故命题是真命题；‎ 对于：假错误 对于:为真，故选项错误 对于，真错误 故四个选项中只有正确，故选 ‎【点睛】‎ 本题是一道复合命题真假性的题目，解题的关键在于判定每一个命题的真假，属于基础题。‎ ‎7．若是空间的一个基底，则下列各组中不能构成空间一个基底的是（ ）‎ A． B．‎ C． D．‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据空间向量的共面定理，一组不共面的向量构成空间的一个基底，对选项中的向量进行判断即可。‎ ‎【详解】‎ 对于，每组都是不共面的向量，能构成空间的一个基底，‎ 对于：满足：‎ ‎，是共面向量，不能构成空间的一个基底，‎ 故选D ‎【点睛】‎ 本题主要考查了向量的相关知识，考查了空间向量共面的判断与应用问题，熟练掌握向量基底的定义以及判断条件是解题的关键，属于基础题。‎ ‎8．已知向量，则下列向量中与成的夹角的是（ ） ‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据空间向量数量积的坐标公式，即可得到答案 ‎【详解】‎ 根据夹角余弦值 ‎ 对于A若则，而，故不符合条件 对于若则，而，故符合条件 对于若则，故不符合条件 对于若则，故不符合条件 故选B ‎【点睛】‎ 本题考查了向量的数量积，运用公式代入进行求解，较为简单 ‎9．已知抛物线的准线过双曲线的一个焦点，且双曲线的一条渐近线方程为，则该双曲线的方程为（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 求出抛物线的准线方程，再根据题意求出的值，结合渐近线方程列出关于的方程，继而求出双曲线的方程 ‎【详解】‎ 由抛物线可知准线为 由题意可得双曲线 的一个焦点为，‎ 又双曲线的一条渐近线方程为，‎ ‎，得到又由，故，‎ 则双曲线为 故选A ‎【点睛】‎ 本题主要考查了双曲线的简单性质以及抛物线的简单性质，熟练运用公式来求解是解题的关键，较为基础。‎ ‎10．已知空间三点坐标分别为A（4,1,3），B(2,3,1），C（3,7，-5），又点P（x,-1,3) ‎ 在平面ABC内，则x的值 （ ） ‎ A．-4 B．1 C．10 D．11‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 利用平面向量的共面定理即可求出答案 ‎【详解】‎ 在平面内 使得等式成立 ‎，消去解得 故选D ‎【点睛】‎ 本题主要考查了空间向量的坐标运算，共面向量定理的应用，熟练掌握平面向量的共面定理是解决本题的关键，属于基础题。‎ ‎11．以下四个关于圆锥曲线的命题,‎ ‎①双曲线与椭圆有相同的焦点；‎ ‎②在平面内，设为两个定点，为动点，且，其中常数为正实数，则动点的轨迹为椭圆；‎ ‎③方程的两根可以分别作为椭圆和双曲线的离心率；‎ ‎④过双曲线的右焦点作直线交双曲线于两点，若，则这样的直线有且仅有3条.‎ 其中真命题的个数为（ ）‎ A．4 B．3 C．2 D．1‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 利用椭圆和双曲线的几何性质，焦点、离心率等知识来判定四个选项 ‎【详解】‎ ‎①在双曲线中，，则双曲线的焦点坐标为，在椭圆中，，则椭圆的焦点坐标为，则它们的焦点不相同，故错误；‎ ‎②在平面内，设为两个定点，为动点，且，其中常数为正实数，则动点的轨迹为椭圆，错误。当，则动点的轨迹为椭圆；当时，则动点的轨迹为线段，当时，则动点的轨迹不存在；‎ ‎③方程的两根可以分别作为椭圆和双曲线的离心率，因为椭圆的离心率在内，双曲线的离心率大于1，故正确；‎ ‎④当过右焦点垂直于轴的直线与双曲线的右支的交点为 ，，‎ 所以与右支有两个交点时，只有一条直线；‎ ‎，则过右焦点与双曲线左右支各一个交点时，满足此时有2条直线，一共有3条直线，故正确 综上真命题的个数为2个 故选C ‎【点睛】‎ 本题考查了椭圆与双曲线的几何性质，需要掌握焦点、离心率等知识，并能熟练运用进行判定，较为基础 ‎12．已知双曲线C：的左、右顶点分别为，P为曲线C上一动点且直线的斜率的取值范围为，则直线的斜率的取值范围为（ ） ‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由已知条件设出点坐标，然后求出两条直线的斜率的取值范围，结合直线 的斜率求出结果 ‎【详解】‎ 由双曲线可得左顶点，右顶点 设 ‎ 则 ‎ 记直线的斜率为，直线的斜率为，‎ 则 ‎ 直线的斜率范围是 ‎ 则直线的斜率范围是 故选C ‎【点睛】‎ 本题考查了双曲线中直线斜率的取值范围问题，在求解过程中需要设出点坐标，然后结合已知条件进行求解，需掌握解题方法 第II卷（非选择题)‎ 请点击修改第II卷的文字说明 评卷人 得分 二、填空题 ‎13．.某工厂为了对新研发的一种产品进行合理定价，将该产品事先拟订的价格进行试销，得到如下数据.‎ 单价（元）‎ ‎4‎ ‎5‎ ‎6‎ ‎7‎ ‎8‎ ‎9‎ 销量（件）‎ ‎90‎ ‎84‎ ‎83‎ ‎80‎ ‎75‎ ‎68‎ 由表中数据求得线性回归方程，则元时预测销量为_________件．‎ ‎【答案】62‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 计算样本中心，代入回归方程解出，得到回归方程，再计算时的预测值，进而得到答案 ‎【详解】‎ ‎ ‎ ‎ ‎ 则回归方程 ‎ 当时，则 故答案为62‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查了线性回归方程的性质，先求出线性回归方程，然后利用线性回归方程进行预测，属于基础题 ‎14．如图所示,在空间四边形OABC中，,点在线段上，且，为中点，若，则_____________‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 用表示 ，从而求出，即可求出，从而得出答案 ‎【详解】‎ 点在上，且，为的中点 ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ 故 ‎ 故答案为 ‎【点睛】‎ 本题主要考查了平面向量的线性运算，运用向量的加法法则来求解，属于基础题 ‎15．已知是抛物线:上一点，则点到直线的最短距离是____‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 要求点到直线的最短距离，则过点作与直线的平行线，且与抛物线相切，然后求出两条平行线之间的距离 ‎【详解】‎ 不妨设过点的直线与抛物线 相切 则 则 ‎ 故直线为 点到直线的最短距离为两条平行线之间的距离，‎ 点到直线的最短距离 ‎ 故答案为 ‎【点睛】‎ 本题考查了点到直线的距离最短问题，需要作出相切线，然后求出两条平行线之间的距离，考查了抛物线与直线的位置关系 ‎16．如图所示，设分别为双曲线的左、右焦点，为双曲线的左顶点，以线段为直径的圆交双曲线一条渐近线于两点，且满足，则该双曲线的离心率为___________‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由已知条件推导出直线方程、圆的方程，联立直线方程与圆的方程，解得的表示方法，由，推导出，由此能求出双曲线的离心率。‎ ‎【详解】‎ 由已知条件推导出直线：，圆的方程为，‎ 联立，解得 ‎ ‎ ‎ 由，‎ ‎ ‎ 解得 ‎ ‎ 则 ‎ 故答案为 ‎【点睛】‎ 本题主要考查了双曲线的简单性质，联立直线方程与圆的方程求出的表示，结合已知条件的角度，运用向量的知识来求解，继而求出双曲线的离心率，本题较为综合 评卷人 得分 三、解答题 ‎17．襄阳市拟在2021年奥体中心落成后申办2026年湖北省省运会，据了解，目前武汉，宜昌，黄石等申办城市因市民担心赛事费用超支而准备相继退出，某机构为调查襄阳市市民对申办省运会的态度，选取某小区的100位居民调查结果统计如下：‎ 支持 不支持 合计 年龄不大于50岁 ‎60‎ 年龄大于50岁 ‎10‎ 合计 ‎80‎ ‎100‎ ‎（1）根据已知数据，把表格数据填写完整；‎ ‎（2）能否在犯错误的概率不超过的前提下认为不同年龄与支持申办省运会无关？‎ 附： , .‎ ‎0.100‎ ‎0.050‎ ‎0.025‎ ‎0.010‎ ‎2.706‎ ‎3.841‎ ‎5.024‎ ‎6.635‎ ‎【答案】（1）详见解析；（2）不能.‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）根据条件中所给的数据，列出列联表，填上对应的数据，得到列联表。‎ ‎（2）根据（1）得到的列联表，把求得的数据代入求观测值的公式求出观测值，把观测值与临界值进行比较即可得到结论。‎ ‎【详解】‎ 解：如图 支持 不支持 合计 年龄不大于50岁 ‎10‎ ‎50‎ ‎60‎ 年龄大于50岁 ‎10‎ ‎30‎ ‎40‎ 合计 ‎20‎ ‎80‎ ‎100‎ ‎（2） ‎ 又 ‎ 所以不能在犯错误的概率不超过5%的前提下认为不同年龄与支持申办奥运无关；‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查了独立性检验及应用，需掌握解题方法，较为基础 ‎18．设命题:实数满足,其中,命题:实数满足．‎ ‎（1）若且为真,求实数的取值范围；‎ ‎（2）若是的必要不充分条件,求实数的取值范围．‎ ‎【答案】（1）；（2）.‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎(1)将 代入分别求出命题与，然后结合为真，求出实数的取值范围 ‎(2)若是的必要不充分条件，则是的充分不必要条件，然后列出不等式组求出结果 ‎【详解】‎ 解:（1）当时， ‎ 又为真，所以真且真，由，得 所以实数的取值范围为 ‎ ‎（2）因为是的必要不充分条件，所以是的充分不必要条件， ‎ 又,所以，解得 ‎ 经检验，实数的取值范围为 ‎【点睛】‎ 本题主要考查了复合命题的判断，考查了集合的包含关系，需掌握解题方法，本题属于常考题型。‎ ‎19．如图，四棱锥的底面是边长为3的正方形，，，，为线段上两点，且.‎ ‎（1）求证：面；‎ ‎（2）求与平面所成角的正弦值.‎ ‎【答案】（1）详见解析；（2）.‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎(1)连交于，连，由三角形中位线证得线线平行，再运用线面平行的判定定理证明结果 ‎(2)以为坐标原点，为轴，为轴，为轴建立直角坐标系，求出平面的法向量，运用空间向量知识求出线面角的正弦值 ‎【详解】‎ 解：（1）连 交于，连 ‎ ‎ ‎ ‎ (2)‎ ‎ ‎ 则面，‎ 以为坐标原点,为轴，为轴，为轴建立空间直角坐标系，如图 则 ‎ 设面法向量,取 ‎,设与平面所成角为，‎ 则 ‎ 所以与平面所成角的正弦值是 ‎【点睛】‎ 本题考查了线面平行及线面角的正弦值，在求解线面平行时运用线面平行的判定定理即可证明，添加辅助线运用三角形中位线等知识证线线平行，而线面角的解答可以建立空间直角坐标系，运用空间向量知识来求解 ‎20．已知一条曲线在轴右边，上每一点到点的距离减去它到轴距离的差都是. ‎ ‎(1)求曲线的方程；‎ ‎(2)若直线与曲线相交于A、B两点，且(是坐标原点），求证：直线AB过定点，并求定点坐标。‎ ‎【答案】（1）；（2）直线AB过定点.‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）设出点坐标，结合题意中距离相等得条件列出等式，化简求出曲线方程 ‎（2）设出直线方程，联立直线方程与抛物线方程，结合条件中的垂直关系求出直线方程，并得直线过定点 ‎【详解】‎ 解：（1）设是曲线上任意一点，‎ 则点满足：，‎ 化简得 故曲线的方程为 ‎（2）设直线，代入，得 则 ‎ 设，则 ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ 则无论取何值时，恒过 ‎ 故直线过定点，定点坐标为 ‎【点睛】‎ 本题主要考查了直线与抛物线的位置关系以及直线恒过定点问题，在解答过程中注意设直线方程，并结合题意计算求得结果，需掌握解题方法 ‎21．如图，在四棱锥中，底面为直角梯形，，，平面底面，为的中点，是棱上的点，，，．‎ ‎（1）求证：平面平面；‎ ‎（2）若为棱的中点，求异面直线与所成角的余弦值；‎ ‎（3）若二面角大小为，求的长．‎ ‎【答案】（1）详见解析；（2）；（3）.‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）由题意先证明，由面面垂直的性质定理得平面，再运用面面垂直的判定定理证明 ‎（2）以为原点建立空间直角坐标系，求出直线与的向量表示，然后运用空间向量知识求出异面直线所成角的余弦值 ‎（3）结合(2)中的空间直角坐标系，运用向量知识结合二面角为求出结果 ‎【详解】‎ ‎（1）证明：为的中点，‎ ‎∴四边形为平行四边形， ‎ ‎ ‎ 即 又平面平面，且平面平面， ‎ ‎∴平面 ‎∵平面， ∴平面平面 ‎ ‎（2）解：为 的中点， ‎ ‎ ‎ ‎∵平面平面，且平面平面， ‎ ‎∴平面．‎ 如图，以 为原点建立空间直角坐标系，‎ 则 ，‎ ‎ 是 的中点， ‎ 设异面直线与所成角为 ， ‎ 则 ‎ ‎∴异面直线与所成角的余弦值为． ‎ ‎（3）解：由（2）知平面的法向量为 ‎ 由 ‎ 得 ‎ 又，‎ 设平面 法向量为，‎ 由可取 ‎∵二面角为60°，，‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查了面面垂直、异面直线所成角以及二面角问题，涉及平面与平面垂直的判定，建立空间直角坐标系是解决问题的关键，属于中档题。‎ ‎22．已知曲线上的点与定点的距离与它到直线的距离的比是常数，又斜率为的直线与曲线交于不同的两点。‎ ‎（Ⅰ）求曲线的方程； ‎ ‎（Ⅱ）若，求 的最大值；‎ ‎（Ⅲ）设，直线与曲线的另一个交点为，直线与曲线的另一个交点为.若和点 共线，求的值。‎ ‎【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）；（Ⅲ）2.‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（Ⅰ）由已知条件点到点的距离与点到线的距离之比是常数，列出关系式，化简求出曲线方程 ‎（Ⅱ）将入，联立直线方程与曲线方程，运用弦长公式求出弦长表达式，求出最大值 ‎（Ⅲ）设出点坐标，联立直线方程与曲线方程，再由三点共线求出的值 ‎【详解】‎ 解：（Ⅰ）根据题意可得：‎ 整理得：‎ 故曲线 的方程为 ‎（Ⅱ）设直线 的方程为，‎ 由消去 可得 ‎ 则 ‎ 设则 则 ‎ 易得当，，故的最大值为 ‎（Ⅲ）设 ‎ 则 ①， ②，‎ 又，所以可设，直线 的方程为 由消去可得 ‎ 则 ‎ 即 代入①式可得，所以 ‎ 所以，同理可得 ‎ ‎ ‎ 因为三点共线，所以 将点的坐标代入化简可得，即 ．‎ ‎【点睛】‎ 本题考查了直线与曲线的位置关系，一般需要设出点坐标，联立直线方程与曲线方程结合弦长公式求出最值问题，本题需要一定的计算能力