甘肃省张掖市第二中学2019-2020学年高二4月线上测试数学（理）试卷

甘肃省张掖市第二中学2019-2020学年高二4月线上测试数学（理）试卷

高二数学（理科) （考试时间：120 分钟 试卷满分：150 分） 单选题（每小题 5 分，共 60 分） 1．复数 2 1 2 i i   （ ） A．i B．-i C． 4 i5  D． 4 i5  2．下列说法中正确的是（ ） A．“ (0) 0f  ” 是“函数 ( )f x 是奇函数”的充要条件 B．若 p ： 0x R  ， 2 0 0 1 0x x   ，则 p ： x R  ， 2 1 0x x   C．若 p q 为假命题，则 ,p q 均为假命题 D．“若 6   ，则 1sin 2   ”的否命题是“若 6   ，则 1sin 2   ” 3．双曲线 2 22 8x y  的实轴长是（ ） A．2 B． 2 2 C．4 D．4 2 4．观察下列各式：若 1 1 2 21 3a b a b ＋ ， ＋ ， 3 3 4 44 7a b a b ＋ ， ＋ ，5 5 11a b  ＋ ， ，则 7 7a b＋ 等于( ) A．18 B． 29 C． 47 D．15 5．4 名同学参加班长和文娱委员的竞选，每个职务只需1人，其中甲不能当文娱委员，则共 有（ ）种不同结果（用数字作答） A． 6 B．9 C．12 D．8 6．如图，在正方形 OABC 内任取一点 M ，则点 M 恰好取自阴影部分内的概率为（ ） A． 1 4 B． 1 3 C． 2 5 D． 3 7 7．已知 M，N 分别是四面体 OABC 的棱 OA，BC 的中点，点 P 在线段 MN 上，且 2MP PN ， 设向量OA a  ，OB b  ，OC c  则OP  （ ） A． 1 1 1 6 6 6a b c   B． 1 1 1 3 3 3a b c   C． 1 1 1 6 3 3a b c   D． 1 1 1 3 6 6a b c   8．6本不同的书摆放在书架的同一层上,要求甲、乙两本书必须摆放在两端，丙、丁两本书 必须相邻，则不同的摆放方法有（ ）种 A． 24 B．36 C． 48 D． 60 9．若 2x   是函数   3 21 2 13f x x ax x    的一个极值点，则函数  f x 的极小值 为（ ） A． 11 3  B． 1 6  C． 1 6 D．17 3 10．如图，在三棱锥 1 1 1ABC A B C 中，底面为正三角形，侧棱垂直于底面， 14, 6AB AA  ．若 E 是棱 1BB 上的点，且 1BE B E ，则异面直线 1A E 与 1AC 所成 角的余弦值为（ ） A． 13 13 B． 2 13 13 C． 5 13 13 D． 8 13 13 11．若直线 l： 2 0( 0, 0)ax by a b     过点 ( 1,2) ，当 2 1 a b  取最小值时直线 l 的斜率 为 A．2 B． 1 2 C． 2 D．2 2 12．已知定义在 0, 上的函数  f x 满足     0xf x f x  ，其中  f x 是函数  f x 的导函数若      2018 2018 1f m m f   ，则实数 m 的取值范围为 ( ) A． 0,2018 B． 2018, C． 2018,2019 D． 2019, 填空题 13. （每小题 5 分，共 20 分） ①．曲线 y＝x2+lnx 在点（1，1）处的切线方程为_____． ②．已知实数 ,x y 满足不等式组 2 0 1 0 3 0 y x y x y           ，则 y x 的取值范围为__________． ③．已知 1 n xx     的展开式的所有项的系数和为 64，则其展开式中的常数项为 _______. ④．点  ,P x y 在抛物线 2 4y x 上，则点 P 到 0,3 的距离与点 P 到准线距离之和的 最小 值是___________. 解答题 14．（本题满分 10 分）设命题 p：实数 x 满足 ，其中 ；命题 q： ． （1）若 ，且 为真，求实数 x 的取值范围； （2）若 是 的充分不必要条件，求实数 m 的取值范围． 15．在各项均不相等的等差数列 na 中， 1 1a  ，且 1a ， 2a ， 5a 成等比数列，数列 nb 的 前 n 项和 12 2n nS   ． （1）求数列 na 、 nb 的通项公式； （2）设 22 logna n nc b  ，求数列 nc 的前 n 项和 nT ． 16．已知 a,b,c 分别是ABC 的内角 A,B,C,所对的边， 2 2 2 2sin sin sin b c a C A bc B    （1）求角 B 的大小； （2）若ABC 的面积为 3 ，求ABC 周长的最小值． 17．如图 1，已知四边形 BCDE 为直角梯形， 90B   ， / /BE CD ，且 2 2 2BE CD BC   ，A 为 BE 的中点将 EDA 沿 AD 折到 PDA 位置 ( 如图 2) ， 连结 PC，PB 构成一个四棱锥 P ABCD ． （Ⅰ）求证 AD PB ； （Ⅱ）若 PA  平面 ABCD ．求二面角 B PC D  的大小； 18．已知椭圆 2 2 2 2: 1( 0)x yC a ba b     的离心率为 1 2 ，短轴长为 2 3 ． （1）求椭圆 C 的标准方程； （2）若椭圆C 的左焦点为 1F ，过点 1F 的直线l 与椭圆C 交于 ,D E 两点，则在 x 轴上是 否存 在一个定点 M 使得直线 ,MD ME 的斜率互为相反数？若存在，求出定点 M 的坐 标； 若不存在，也请说明理由． 19．已知函数 21( ) 2f x lnx ax x   ． （1）若函数 ( )f x 在[1， ) 上单调递增，求实数 a 的取值范围； （2）若函数 ( )f x 在 1x  处的切线平行于 x 轴，是否存在整数 k ，使不等式 [ ( ) 1] ( 2)x f x x k x    在 1x  时恒成立？若存在，求出 k 的最大值；若不 存在，请说明理由 数学（理)参考答案 1．A 2．D 3．C 4．B 5．C 【详解】若甲不当班长，则有 2 3 6A  种结果；若甲当了班长，则有 1 3 3C  种结果； 若一人担任两个职务，则有 3 种结果；故总共有 9+3=12 种结果.故选：C. 6．B 由定积分的运算得：S 阴 1 0    （1 x ）dx＝（x 2 32 3 x ） 1 0 1| 3  ，由几何概型中的 面积型得：P（A） 1 13 1 3 S S   阴 正方形 ，得解． 7．C 如图所示，连接 ON,∵OP ON NP    ， 1 ( )2ON OB OC    ，所以 1 3NP NM  ， NM OM ON    ， 1 2OM OA  ， ∴ 1 3OP ON NP ON NM        1 2 1( )3 3 3ON OM ON ON OM         2 1 ( )3 2 OB OC    1 1 3 2 OA   1 1 1 6 3 3OA OB OC     1 1 1 6 3 3a b c    .故选：C. 8．A【解析】第一步：甲、乙两本书必须摆放在两端，有 2 2A 种排法； 第二步：丙、丁两本书必须相邻视为整体与其它两本共三本，有 2 3 2 3A A 种排法； ∴ 2 3 2 2 3 2 24A A A  故选：A. 9．B【详解】   3 21 2 13f x x ax x   Q ，   2 2 2f x x ax    ，由题意得  2 2 4 0f a     ， 解得 1 2a   ，   3 21 1 2 13 2f x x x x     ，     2 2 2 1f x x x x x       . 当 2x   或 1x  时，   0f x  ；当 2 1x   时，   0f x  . 所以，函数  y f x 的单调递增区间为 , 2  和  1, ，单调递减区间为 2,1 ， 当 1x  时，函数  y f x 取得极小值   1 1 11 2 13 2 6f       ，故选：B. 10．A【详解】以 C 为原点，CA 为 x 轴，在平面 ABC 中过作 AC 的垂线为 y 轴，CC1 为 z 轴，建立空间直角坐标系，∵在三棱柱 ABC﹣A1B1C1 中，底面为正三角形，侧棱垂直底面， AB＝4，AA1＝6， E，F 分别是棱 BB1，CC1 上的点，且 BE＝B1E， ∴A1（4，0，6），E（2，2 3 ，3），A（4， 0，0），  1 0,0,6C  1A E  （﹣2，2 3 ，﹣3）， 1AC  （-4，0，6），设异面直线 1A E 与 1AC 所成角所成角为θ， 则 cosθ 1 1 1 1 10 13 1310 13 A E AC A E AC          ． ∴异面直线 A1E 与 AF 所成角的余弦值为 13 13 ．故选 A． 11．A【详解】因为直线l 过点 1,2 ，所以 2 2 0a b    ，即 2 12 a b  ， 所以 2 1 2 1 2 1 4 1 4( ) (4 ) (4 2 ) 42 2 2 a b b a b a a b a b a b a b           当且仅当 4b a a b  ，即 2a b 时取等号所以斜率 2a b  ，故选 A 12．C【详解】解：令    f xh x x  ，  0,x  ，则       2 '' xf x f xh x x  ，    ' 0xf x f x  ，  ' 0h x  ，函数  h x 在  0, 递减，      2018 2018 1f m m f   ， 2018 0m   ， 2018m  ，    2018 1 2018 1 f m f m   ， 即    2018 1h m h  ，故 2018 1m   ，解得： 2019m  ，故 2018 2019m  ，故选： C． 13．①3 2 0x y   解析： 12y x x    ，在点（1，1）处的切线斜率为 3 ，所以切线方 程为3 2 0x y   . ②． 1 ,22      【详解】如图，不等式组 2 0 1 0 3 0 y x y x y        „ „ … 表示的平面区域 ABC△ （包括边界），所 以 y x 表示 ,x y 与（0，0）连线的斜率，因为    1,2 2,1A B， ，所以 12 2OA OBk k ， ，故 1 ,22 y x      . ③．15【详解】 已知 1 n xx     的展开式的所有项的系数和为 64，令 1x  ，得 2 64 6n n   ， 二项展开式的通项公式为 3 66 2 1 6 6 1( ) ( ) r r r r r rT C x C xx      ，令 3 6 0 42 r r    ， 所以常数项为 4 6 15C  。 ④． 10 【详解】 解:如图， 由抛物线 2 4y x ，可得其焦点坐标 (1,0)F ,准线为 : 1l x   ， 过点 P 做 PM l ，垂足为 M ，则 PM PF , 设 (0,3)Q ，此时当 F P Q、 、 三点共线时， PF PQ 取得最小值， 故： 2 2 min( ) 3 1 10PF PQ QF     ,故答案为： 10 . 14．(1) (2) 【详解】解：(1)由 ，其中 ；解得 ，又 ，即 ， 由 得： ，又 为真，则 ，得： ，故实数 x 的取值范围为 ； 由 得：命题 p： ，命题 q： ， 由 是 的充分不必要条件，即 p 是 q 的充分不必要条件，则 ， 所以 ，即 ．故实数 m 取值范围为： . 15．（1） 2 1na n  ， 2n nb  ；（2） 2 1 22 2 3 2 n n n nT     【详解】 （1）设数列{ }na 的公差为 d，则 2 1a a d  ， 5 1 4a a d  ，∵ 1a ， 2a ， 5a 成等比数列， 2 2 1 5a a a  ，即    2 1 1 1 4a d a a d   ， 整理得 2 12d a d ，解得 0d  （舍去）或 12 2d a  ，  1 1 2 1na a n d n      . 当 1n  时， 1 2b  ，当 2n  时，  1 1 2 2 2 2n n n n nb S S        12 2 2 2 2 2n n n n n      ． 验：当 1n  时， 1 2b  满足上式，∴数列{ }nb 的通项公式为 2n nb  ． （2）由（1）得， 2 1 22 log 2na n n nc b n   ，      3 5 2 1(2 1) 2 2 2 3 2 n nT n          3 5 2 12 2 2 2 (1 2 3 )n n            2 1 4 (1 ) 1 4 2 n n n   2 1 22 2 3 2 n n n    . 16．（1） 3  （2）6 【详解】（1） 2 2 2b c a 2sinC sinA bc sinB    ，由 a b c sinA sinB sinC   得 2 2 2c a b ac   ， 2 2 2c a b 1cosB 2ac 2     ， 0 B π  ， πB 3   ； （2）由（1）得 πB 3  ， ΔABC 1 3S acsinB ac 32 4     ， ac 4  ， 2 2b a c 2accosB     2 2a c 4 2ac 4    2 ， a c 2 ac 4   ，对上述两个不等式，当且仅当 a c 2  时等号成立， 此时 ΔABC 周长取最小值 6. 17． ( Ⅰ ) 详见解析； ( Ⅱ ) ①120 ，②   0  或 2 3   ． 【详解】证明： ( Ⅰ ) 在图 1 中， / /AB CD ， AB CD ， ABCD 为平行四边形， / /AD BC ， 90B   ， AD BE  ， 当 EDA 沿 AD 折起时， AD AB ， AD AE ，即 AD AB ， AD PA ， 又 AB PA A  ， ,AB PAB PA PAB AD面 面    平面 PAB， 又 PB  平面 PAB， AD PB  ． ( Ⅱ )① 以点 A 为坐标原点，分别以 AB，AD，AP 为 x，y，z 轴，建立空间直角坐标系，由 于 PA  平面 ABCD 则 (0,A 0， 0) ， (1,B 0， 0) ， (1,C 1， 0) ， (0,P 0，1) ， (0,D 1， 0) (1,PC  1， 1) ， (0,BC  1， 0) ， (1,DC  0， 0) ， 设平面 PBC 的法向量为 ( ,n x y， )z ，则 0 0 PC n x y z BC n y              ，取 1z  ，得 (1,n  0， 1) ， 设平面 PCD 的法向量 ( ,m a b， )c ，则 0 0 m PC a b c m DC a            ，取 1b  ，得 (0,m  1， 1) ， 设二面角 B PC D  的大小为 ，可知为钝角， 则 1 1cos 22 2 m n m n             ， 120   ．二面角 B PC D  的大小为120 ． 18．（1） 2 2 14 3 x y  ；（2）见解析 【详解】（1）据题意，得 2 2 2 2 2 3 1 2 b c a c a b        解得 2 24, 3a b  ， 所以椭圆 C 的标准方程为 2 2 14 3 x y  ． （2）据题设知点  1 1,0F  ，当直线l 的斜率存在时，设直线l 的方程为  1y k x  ． 由   2 2 1 14 3 y k x x y      ，得 2 2 2 24 3 8 4 12 0k x k x k     ． 设    1 1 2 2, , ,E x y D x y ，则 2 2 1 2 1 22 2 8 4 12,4 3 4 3 k kx x x xk k      ． 设  ,0M m ，则直线 ,MD ME 的斜率分别满足 2 1 2 1 ,MD ME y yk kx m x m    ． 又因为直线 ,MD ME 的斜率互为相反数， 所以      2 1 1 2 1 21 2 1 2 1 2 0ME MD x y x y m y yy yk k x m x m x m x m           ， 所以  2 1 1 2 1 2 0x y x y m y y    ，所以        2 1 1 2 1 21 1 1 1 0x k x x k x m k x k x          ， 所以    1 2 1 2 1 22 2 0kx x k x x m k x x k        ， 所以 2 2 2 2 2 2 4 12 8 82 2 04 3 4 3 4 3 k k kk k m k kk k k               ，所以  4 0k m  ． 若  4 0k m  对任意 k R 恒成立，则 4m   ， 当直线l 的斜率 k 不存在时，若 4m   ，则点  4,0M  满足直线 ,MD ME 的斜率互为相反 数． 综上，在 x 轴上存在一个定点  4,0M  ，使得直线 ,MD ME 的斜率互为相反数． 19．（1）a 1 4   ；（2）不存在，理由见解析. 【详解】 解：（1） 函数 ( )f x 在[1， ) 上单调递增， 1( ) 1 0f x axx      … 在[1， ) 上恒成立， 2 2 1 1 1 1 1( )2 4a x x x     „ ，当 2x  时， ( )21 1 1 2 4x   有最小值 1 4  ， 1 4a „ ； （2） 1( ) 1f x axx     ， f  （1） 1 1a a     ，  函数 ( )f x 在 1x  处的切线平行于 x 轴， 0a  ， ( )f x lnx x   ，  不等式 [ ( ) 1] ( 2)x f x x k x    在 1x  时恒成立， ( 2)xlnx x k x    在 1x  时恒成立， 即 ( 1) 2 0xlnx k x k    在 1x  时恒成立， 令 ( ) ( 1) 2g x xlnx k x k    ， 1x  ， ( )g x lnx k    ， 当 0k„ 时， ( ) 0g x  在 (1, ) 上恒成立，即 ( )g x 在 (1, ) 上单调递增， ( )g x g （1） 1 0k   ，则 1k  ，矛盾， 当 0k  时，令 ( ) 0g x  ，解得 kx e ， 令 ( ) 0g x  ，解得： kx e ， 令 ( ) 0g x  ，解得：1 kx e  ， ( )g x 在 (1, )ke 单调递减，在 ( ke ， ) 单调递增， ( ) ( ) ( 1) 2 2 0k k k k ming x g e ke k e k k e         ， 令 ( ) 2 kh k k e  ， 0k  ， ( ) 2 kh k e    ， 当 2k ln 时， ( ) 0h k  ，函数 ( )h k 单调递增， 当 2k ln 时， ( ) 0h k  ，函数 ( )h k 单调递减， ( ) ( 2) 2 2 2 2( 2 1) 0maxh k h ln ln ln       ， 不存在整数 k 使得 2 0kk e  恒成立， 综上所述不存在满足条件的整数 k ．