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2021届浙江新高考数学一轮复习教师用书:第五章 3 第3讲 平面向量的数量积及应用举例
第3讲 平面向量的数量积及应用举例 1.向量的夹角 定义 图示 范围 共线与垂直 已知两个非零向量a和b,作=a,=b,则∠AOB就是a与b的夹角 设θ是a与b的夹角,则θ的取值范围是 0°≤θ≤180° 若θ=0°,则a与b同向;若θ=180°,则a与b反向;若θ=90°,则a与b垂直 2.平面向量的数量积 定义 设两个非零向量a,b的夹角为θ,则数量|a||b|·cos__θ叫做a与b的数量积,记作a·b 投影 |a|cos__θ叫做向量a在b方向上的投影, |b|cos__θ叫做向量b在a方向上的投影 几何 意义 数量积a·b等于a的长度|a|与b在a的方向上的投影|b|cos__θ的乘积 3.向量数量积的运算律 (1)a·b=b·a; (2)(λa)·b=λ(a·b)=a·(λb); (3)(a+b)·c=a·c+b·c. 4.平面向量数量积的有关结论 已知非零向量a=(x1,y1),b=(x2,y2),a与b的夹角为θ. 结论 几何表示 坐标表示 模 |a|= |a|= 夹角 cos θ= cos θ= a⊥b的充要条件 a·b=0 x1x2+y1y2=0 [疑误辨析] 判断正误(正确的打“√”,错误的打“×”) (1)向量在另一个向量方向上的投影为数量,而不是向量.( ) (2)两个向量的数量积是一个实数,向量的加、减、数乘运算的运算结果是向量.( ) (3)由a·b=0可得a=0或b=0.( ) (4)(a·b)c=a(b·c).( ) (5)两个向量的夹角的范围是.( ) (6)若a·b>0,则a和b的夹角为锐角;若a·b<0,则a和b的夹角为钝角.( ) 答案:(1)√ (2)√ (3)× (4)× (5)× (6)× [教材衍化] 1.(必修4P108A组T6改编)已知a·b=-12,|a|=4,a和b的夹角为135°,则|b|为( ) A.12 B.6 C.3 D.3 解析:选B.a·b=|a||b|cos 135°=-12,所以|b|==6. 2.(必修4P105例4改编)已知向量a=(2,1),b=(-1,k),a·(2a-b)=0,则k=________. 解析:因为2a-b=(4,2)-(-1,k)=(5,2-k),由a·(2a-b)=0,得(2,1)·(5,2-k)=0, 所以10+2-k=0,解得k=12. 答案:12 3.(必修4P106练习T3改编)已知|a|=5,|b|=4,a与b的夹角θ=120°,则向量b在向量a方向上的投影为________. 解析:由数量积的定义知,b在a方向上的投影为|b|cos θ=4×cos 120°=-2. 答案:-2 [易错纠偏] (1)没有找准向量的夹角致误; (2)不理解向量的数量积的几何意义致误; (3)向量的数量积的有关性质应用不熟练致误. 1.已知△ABC的三边长均为1,且=c,=a,=b,则a·b+b·c+a·c=________. 解析:因为a,b=b,c=a,c=120°,|a|=|b|=|c|=1,所以a·b=b·c=a·c=1×1×cos 120°=-,所以a·b+b·c+a·c=-. 答案:- 2.已知点A(-1,1),B(1,2),C(-2,-1),D(3,4),则向量在 方向上的投影为________. 解析:=(2,1),=(5,5),由定义知,在方向上的投影为==. 答案: 3.设向量a=(-1,2),b=(m,1),如果向量a+2b与2a-b平行,那么a与b的数量积等于________. 解析:a+2b=(-1+2m,4),2a-b=(-2-m,3),由题意得3(-1+2m)-4(-2-m)=0,则m=-,所以a·b=-1×+2×1=. 答案: 平面向量数量积的运算 (1)如图,已知平面四边形ABCD,AB⊥BC,AB=BC=AD=2,CD=3,AC与BD交于点O.记I1=·,I2=·,I3=·,则( ) A.I1<I2<I3 B.I1<I3<I2 C.I3 < I1<I2 D.I2<I1<I3 (2)已知△ABC是边长为2的等边三角形,P为平面ABC内一点,则·(+)的最小值是( ) A.-2 B.- C.- D.-1 【解析】 (1)如图所示,四边形ABCE是正方形,F为正方形的对角线的交点,易得AO查看更多
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