四川省棠湖中学2019-2020学年高一下学期期中考试数学试题 Word版含解析

四川省棠湖中学2019-2020学年高一下学期期中考试数学试题 Word版含解析

www.ks5u.com ‎2020年春四川省棠湖中学高一期中考试 数学试题 一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.‎ ‎1.设全集，集合,,则（ ）‎ A. B. ‎ C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 进行交集、补集的运算即可．‎ ‎【详解】＝{x|﹣2＜x＜1}；‎ ‎∴A∩（）＝{x|﹣1＜x＜1}．‎ 故选A．‎ ‎【点睛】考查描述法的定义，以及交集、补集的运算．‎ ‎2.在中，a、b分别为内角A、B的对边，如果，，，则（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ 分析】‎ 先求出再利用正弦定理求解即可.‎ ‎【详解】，，，‎ 由正弦定理可得，‎ 解得，‎ - 17 -‎ 故选：A.‎ ‎【点睛】本题注意考查正弦定理的应用，属于中档题.正弦定理主要有三种应用：求边和角、边角互化、外接圆半径.‎ ‎3.已知向量，则与夹角的大小为( )‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎。‎ 分别求出，，，利用即可得出答案.‎ ‎【详解】设与的夹角为 故选：D ‎【点睛】本题主要考查了求向量的夹角，属于基础题.‎ ‎4.设等比数列的公比，前n项和为，则（ ）‎ A. 2 B. 4 C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ - 17 -‎ 设首项为，利用等比数列的求和公式与通项公式求解即可.‎ ‎【详解】设首项为，‎ 因为等比数列的公比，‎ 所以，‎ 故选：D.‎ ‎【点睛】本题主要考查等比数列的求和公式与通项公式，熟练掌握基本公式是解题的关键，属于基础题.‎ ‎5.在中，，则（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据向量的三角形法则进行转化求解即可．‎ ‎【详解】∵，‎ ‎∴，‎ 又 则 故选：B ‎【点睛】本题考查向量加减混合运算及其几何意义，灵活应用向量运算的三角形法则即可求解，属于基础题.‎ ‎6.已知等比数列中，，数列是等差数列，且，则（ ）‎ A. 3 B. 6 C. 7 D. 8‎ ‎【答案】D - 17 -‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由等比数列的性质求得，再由等差数列的性质可得结果.‎ ‎【详解】因为等比数列，且 ‎，解得，‎ 数列是等差数列，‎ 则，‎ 故选：D.‎ ‎【点睛】本题主要考查等比数列与等差数列的下标性质，属于基础题. 解等差数列问题要注意应用等差数列的性质（）.‎ ‎7.设的内角所对边的长分别为，若,则角=（ ）‎ A. B. ‎ C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【详解】试题分析：，由正弦定理可得即； 因为，所以，所以，而，所以，故选B.‎ 考点：1.正弦定理；2.余弦定理.‎ ‎8.已知向量，，则向量在向量方向上的投影为（ ）‎ A. B. C. -1 D. 1‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ - 17 -‎ ‎【分析】‎ 根据投影的定义和向量的数量积求解即可．‎ ‎【详解】解：∵，，‎ ‎∴向量在向量方向上的投影，‎ 故选：A．‎ ‎【点睛】本题主要考查向量的数量积的定义及其坐标运算，属于基础题．‎ ‎9.在中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若a，b，c依次成等差数列，，，依次成等比数列，则的形状为（　　）‎ A. 等边三角形 B. 等腰直角三角形 C. 钝角三角形 D. 直角边不相等的直角三角形 ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据a，b，c依次成等差数列，，，依次成等比数列，利用等差、等比中项的性质可知，根据基本不等式求得a=c，判断出a=b=c，推出结果．‎ 详解】由a，b，c依次成等差数列，有2b=a+c(1)‎ 由，，成等比数列,有(2)，‎ 由(1) (2)得，‎ 又根据，当a=c时等号成立，‎ ‎∴可得a=c，‎ ‎∴，‎ 综上可得a=b=c，‎ 所以△ABC为等边三角形.‎ 故选：A.‎ ‎【点睛】本题考查三角形的形状判断，结合等差、等比数列性质及基本不等式关系可得三边关系，从而求解，考查综合分析能力，属于中等题.‎ - 17 -‎ ‎10.已知定义域的奇函数的图像关于直线对称，且当时，，则（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据函数的图像关于直线对称可得，再结合奇函数的性质即可得出答案．‎ ‎【详解】解：∵函数的图像关于直线对称，‎ ‎∴，‎ ‎∴，‎ ‎∵奇函数满足，当时，，‎ ‎∴，‎ 故选：D．‎ ‎【点睛】本题主要考查函数的奇偶性与对称性的综合应用，属于基础题．‎ ‎11.若,且,,则（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 利用两角和差的正弦公式将β＝α-(α﹣β)进行转化求解即可．‎ ‎【详解】β＝α-(α﹣β)，‎ - 17 -‎ ‎∵＜α，＜β，β＜，‎ ‎∴α，‎ ‎∵sin（）0，‎ ‎∴＜0，则cos（），‎ ‎∵sinα，‎ ‎∴cosα，‎ 则sinβ＝sin[α-(α﹣β)]＝sinαcos（α﹣β）-cosαsin（α﹣β）（），‎ 故选B ‎【点睛】本题主要考查利用两角和差的正弦公式,同角三角函数基本关系，将β＝α-(α﹣β)进行转化是解决本题的关键，是基础题 ‎12.设函数，若对任意的实数x都成立，则的最小值为（ ）‎ A. B. C. D. 1‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 对任意的实数x都成立，说明三角函数f（x）在时取最大值，利用这个信息求ω的值．‎ ‎【详解】由题意，当时，取到最大值，‎ - 17 -‎ 所以，‎ 解得，‎ 因为，‎ 所以当时，取到最小值.‎ 故选：B.‎ ‎【点睛】本题考查正弦函数的图象及性质，三角函数的单调区间、对称轴、对称中心、最值等为常考题，本题属于基础题.‎ 二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.‎ ‎13.已知，，则________．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由二倍角求得α，则tanα可求．‎ ‎【详解】由sin2α=sinα，得2sinαcosα=sinα，‎ ‎∵‎ ‎∴sinα≠0,则,即.‎ ‎∴.‎ 故答案为：.‎ ‎【点睛】本题考查三角函数的恒等变换及化简求值，考查公式的灵活应用，属于基础题.‎ ‎14.设等差数列的前项和为，若，，则的最小值为______．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 用基本量法求出数列的通项公式，由通项公式可得取最小值时的值，从而得的最小值．‎ - 17 -‎ ‎【详解】设数列公差为，则由已知得，解得，‎ ‎∴，，，又，、‎ ‎∴的最小值为．‎ 故答案为：．．‎ ‎【点睛】本题考查等差数列的前项和的最值．首项为负且递增的等差数列，满足的最大的使得最小，首项为正且递减的等差数列，满足的最大的使得最大，当然也可把表示为的二次函数，由二次函数知识求得最值．‎ ‎15.设数列满足，且，则数列的前n项和_______________.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ 令 ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎16.在直角坐标系xOy中，一单位圆的圆心的初始位置在，此时圆上一点P的位置在，圆在x轴上沿正向滚动．当圆滚动到圆心位于时，的坐标为________．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 设滚动后圆的圆心为C，切点为A，连接CP．过C作与x轴正方向平行的射线，交圆C于B（2，1），设∠BCP=θ，则根据圆的参数方程，得P的坐标为（1+cosθ，1+sinθ），再根据圆的圆心从（0，1）滚动到（1，1），算出，结合三角函数的诱导公式，化简可得 - 17 -‎ P的坐标为，即为向量的坐标．‎ ‎【详解】设滚动后的圆的圆心为C，切点为，连接CP，‎ 过C作与x轴正方向平行的射线，交圆C于，设，‎ ‎∵C的方程为，‎ ‎∴根据圆的参数方程，得P的坐标为，‎ ‎∵单位圆的圆心的初始位置在，圆滚动到圆心位于，‎ ‎，可得，‎ 可得，，‎ 代入上面所得的式子，得到P的坐标为，‎ 所以的坐标是.‎ 故答案为：.‎ ‎【点睛】本题考查圆的参数方程,平面向量坐标表示的应用，解题的关键是根据数形结合找到变量的角度，属于中等题.‎ 三.解答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.‎ ‎17.如图，在梯形中，，，，‎ ‎（Ⅰ）若，求实数值； ‎ ‎（Ⅱ）若，求数量积的值 - 17 -‎ ‎【答案】（Ⅰ）（Ⅱ）‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（Ⅰ）根据平面向量基本定理求解，（Ⅱ）根据向量数量积定义求解.‎ ‎【详解】（Ⅰ）因为，所以,,‎ 因此，‎ ‎（Ⅱ）‎ ‎【点睛】本题考查平面向量基本定理以及向量数量积，考查基本分析判断与求解能力，属中档题.‎ ‎18.设是等比数列，公比大于0，其前项和为．是等差数列，已知．‎ ‎(1)求和的通项公式；‎ ‎(2)设数列的前项和为，求.‎ ‎【答案】(1) ， ；(2) ‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 先根据等差数列、等比数列的概念求出通项公式，再求出的通项公式，然后利用分组求和法及公式法即可求出.‎ ‎【详解】解：（1）设的公比为，的公差为，‎ ‎∵，∴或（舍）‎ ‎∴ ‎ - 17 -‎ 由，∴ ‎ ‎∴的通项公式为，的通项公式为 ‎（2）∵‎ ‎∴‎ ‎∴.‎ ‎【点睛】本题主要考查数列通项公式的求法及数列求和问题，属中等难度题.‎ ‎19.已知函数．‎ ‎（1）求的最小正周期；‎ ‎（2）当时，求的值域．‎ ‎【答案】（1）；（2）‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）展开两角差的正弦，再由辅助角公式化简，利用周期公式求周期；‎ ‎（2）由x的范围求出相位的范围，再由正弦函数的有界性求f（x）的值域．‎ ‎【详解】(1) ‎ ‎，‎ ‎；‎ ‎(2) ，‎ - 17 -‎ ‎∴，‎ ‎∴，‎ 的值域为.‎ ‎【点睛】本题考查两角和与差的三角函数，三角函数的周期性，三角函数值域等问题，考查三角函数和差公式、二倍角公式及图像与性质的应用，难度不大，综合性较强，属于简单题.‎ ‎20.已知数列的前项和为，且，.‎ ‎（1）求证：数列的通项公式；‎ ‎（2）设，，求.‎ ‎【答案】（1）；（2）．‎ ‎【解析】‎ 分析】‎ ‎（1）利用即可求出答案；‎ ‎（2）利用裂项相消法即可求出答案．‎ ‎【详解】解：（1）∵，‎ 当时，，‎ 当时，，‎ ‎∴，；‎ ‎（2）∵，‎ ‎∴．‎ - 17 -‎ ‎【点睛】本题主要考查数列已知求，考查裂项相消法求和，属于中档题．‎ ‎21.设是一个公比为q的等比数列，且，，成等差数列.‎ ‎（1）求q；‎ ‎（2）若数列前4项的和，令（），求数列的前n项和.‎ ‎【答案】（1）， （2）或 ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）根据，，成等差数列，得到，解得答案.‎ ‎（2）讨论和两种情况，利用错位相减法计算得到答案.‎ ‎【详解】（1）因为是一个公比为q的等比数列，所以.‎ 因为，，成等差数列，所以即.‎ 解得，.‎ ‎（2）①若，又它的前4和，得，解得 所以，因为，（），‎ ‎∴，‎ ‎，‎ ‎∴，‎ ‎∴‎ ‎②若，又它的前4和，即，‎ 因为，（），所以.‎ - 17 -‎ ‎【点睛】本题考查了等比数列的计算，错位相减法，意在考查学生对于数列公式方法的综合应用.‎ ‎22.已知函数．‎ ‎（1）若不等式在上恒成立，求a的取值范围；‎ ‎（2）若函数恰好有三个零点，求b的值及该函数的零点．‎ ‎【答案】（1）（2）,函数的三个零点分别为 ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）利用换元法,将不等式变形,构造成二次函数形式,结合二次函数的对称性及单调性即可求得的取值范围.‎ ‎（2）根据零点定义,可得对应的方程.利用换元法,将方程变形,由方程有三个零点和函数的对称性,可确定其中的一个解.将方程的解代入即可求得的值,再将的值代入即可求得方程的三个根,即函数的三个零点.‎ ‎【详解】（1）令,由可得 则不等式在上恒成立,可化为在上恒成立 即,变形可得 所以 因为,则 所以根据二次函数的图像与性质可知 实数满足 - 17 -‎ 所以实数的范围为 ‎（2）令,则由对数的性质可知 函数的三个零点需满足 所以,化简可得 即 化简可得 因为恰好有三个实数根 则必有一根为（否则根据函数的对称性可知会有四个根）‎ 即 代入方程可解得 ‎ 则方程可化为,解方程可得或 当时,即,解得 ‎ 综上可知,,函数的三个零点分别为 ‎【点睛】本题考查了不等式的恒成立问题的解法,二次函数图像与性质的综合应用,函数零点的定义及对应方程的解法,综合性强,属于难题.‎ - 17 -‎ - 17 -‎