2018-2019学年辽宁省实验中学高二上学期期中考试数学（理）试题 解析版

2018-2019学年辽宁省实验中学高二上学期期中考试数学（理）试题 解析版

绝密★启用前 辽宁省实验中学2018-2019学年高二上学期期中考试数学（理）试题 评卷人 得分 一、单选题 ‎1．椭圆的焦距是(　　)‎ A． B． C． D． ‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 先求出椭圆的c,即得椭圆的焦距.‎ ‎【详解】‎ 由题得所以焦距为.故答案为：A ‎【点睛】‎ 本题主要考查椭圆的几何性质，意在考查学生对这些知识的掌握水平和分析推理能力.‎ ‎2．在等差数列中，已知，，公差，则(　　)‎ A． 16 B． 17 C． 18 D． 19‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 利用等差数列的通项公式求解．‎ ‎【详解】‎ ‎∵等差数列{an}中，a2=12，an=﹣20，公差d=﹣2，‎ ‎∴an=a2+（n﹣2）d，‎ ‎∴﹣20=12﹣2（n﹣2），‎ 解得n=18，‎ 故答案为：C．‎ ‎【点睛】‎ 本题考查等差数列通项公式的应用，是基础题.‎ ‎3．直线与椭圆的公共点个数是( )‎ A． 0 B． 1 C． 2 D． 4‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 先求出，代入椭圆方程化简，再利用判别式判断公共点的个数.‎ ‎【详解】‎ 由题得，代入椭圆方程得，‎ 所以直线和椭圆的交点的个数为1，故答案为：B ‎【点睛】‎ 本题主要考查椭圆和直线的位置关系，意在考查学生对这些知识的掌握水平和分析推理能力.‎ ‎4．若，则下列不等式不成立的是( )‎ A． B． C． D． ‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由题得a＜b＜0，再利用作差比较法判断每一个选项的正误得解.‎ ‎【详解】‎ 由题得a＜b＜0，‎ 对于选项A,=，所以选项A错误.‎ 对于选项B,显然正确.‎ 对于选项C,，所以，所以选项C正确.‎ 对于选项D,，所以选项D正确.‎ 故答案为：A ‎【点睛】‎ ‎(1)本题主要考查不等式的基本性质和实数大小的比较，意在考查学生对这些知识的掌握水平和分析推理能力.(2) 比差的一般步骤是：作差→变形（配方、因式分解、通分等）→与零比→下结论；比商的一般步骤是：作商→变形（配方、因式分解、通分等）→与1比→下结论.如果两个数都是正数，一般用比商，其它一般用比差.‎ ‎5．设正项等比数列的前项和为，且，则数列的公比为( )‎ A． 4 B． 2 C． 1 D． ‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由题得等比数列的公比q≠1，直接代等比数列的前n项和公式化简即得解.‎ ‎【详解】‎ 由题得等比数列的公比q≠1，所以 所以，‎ 因为数列各项是正数，所以q=2.‎ 故答案为:B ‎【点睛】‎ 本题主要考查等比数列的前n项和公式，意在考查学生对这些知识的掌握水平和分析推理计算能力.‎ ‎6．如图，分别为椭圆的左、右焦点，点在椭圆上，是面积为的正三角形，则的值为( )‎ A． B． C． 12 D． 1‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 与椭圆两个焦点有关的问题，一般以回归定义求解为上策，抓住△PF1F2为直角三角形建立等式关系．‎ ‎【详解】‎ ‎∵△POF2是面积为的正三角形，‎ ‎∴S=|PF2|2=，|PF2|=2．‎ ‎∴c=2，∵△PF1F2为直角三角形，∴a=，‎ 所以.‎ 故答案为:B．‎ ‎【点睛】‎ 本题考查了椭圆的几何性质，关键抓住图形特征建立等式关系．‎ ‎7．已知命题是命题“已知为一个三角形的两内角,若，则”的否命题命题：公比大于1的等比数列是递增数列。则在命题：，：，：和：中，真命题是( )‎ A． ， B． ， C． ， D． ，‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 先判断命题和的真假，再判断每一个选项的真假.‎ ‎【详解】‎ 对于命题，其否命题为“已知为一个三角形的两内角,若，则”，是真命题，对于命题，首项为-1，公比为2的等比数列，就是递减数列，所以该命题是假命题.‎ 所以，是真命题，，是假命题.故答案为：C ‎【点睛】‎ ‎(1)本题主要考查四种命题及其真假的判断，考查复合命题的真假，意在考查学生对这些知识的掌握水平和分析推理能力.(2) 复合命题真假判定的口诀：真“非”假，假“非”真，一真“或”为真，两真“且”才真.‎ ‎8．已知数列满足，若，则的值为( )‎ A． B． C． D． ‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 通过计算出前几项的值确定周期，进而可得结论．‎ ‎【详解】‎ 依题意，a2=2a1﹣1=2•﹣1=，‎ a3=2a2﹣1=2•﹣1=，‎ a4=2a3=2•=，‎ ‎∴数列{an}是以3为周期的周期数列，‎ 因为2020=3×673+1，‎ ‎∴a2020=a1=，‎ 故答案为：．‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查数列的周期性，意在考查学生对这些知识的掌握水平和分析推理能力.‎ ‎9．已知，分别在轴和轴上运动，为原点，,点的轨迹方程为( )‎ A． B． C． D． ‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ 设动点 坐标为 由得： ‎ ‎ ‎ ‎ 即 ‎ 故选A．‎ ‎【点睛】本题考查轨迹方程的求法，其中合理准确运用利用相关点法是解题的关键 ‎10．已知集合，，则交集所表示的图形面积为( )‎ A． 1 B． 2 C． 4 D． 8‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 先作出集合M,N对应的区域，再求所表示的图形面积.‎ ‎【详解】‎ 由题得集合M对应的区域为图中的边长为的正方形ABCD,集合N对应的区域为图中的两个阴影正方形，所以所表示的图形面积为 故答案为：C ‎【点睛】‎ 本题主要考查集合的交集运算和线性规划，意在考查学生对这些知识的掌握水平和数形结合分析推理能力.‎ ‎11．设条件：实数满足条件：实数满足，则是的( )‎ A． 充分不必要条件 B． 必要不充分条件 C． 充要条件 D． 既不是充分条件又不是必要条件 ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 通过举反例可得，当成立时，不能推出q成立，利用不等式的性质可以由q成立推出p成 立，从而得到结论．‎ ‎【详解】‎ 当p成立时，不能推出q成立，‎ 如 m=3且 n=时，尽管满足p，但不满足q．‎ 但由q成立，由不等式的性质能推出p成立，‎ 故p是q的必要不充分条件，‎ 故答案为：B．‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查充分条件、必要条件、充要条件的定义和判断方法，不等式的基本性质的应用，‎ 通过举反例来说明某个命题不正确，是一种简单有效的方法，属于基础题。‎ ‎12．若存在，使不等式成立，则实数的取值范围是( )‎ A． B． C． D． ‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 先分离参数得到，再求函数最小值，解不等式得解.‎ ‎【详解】‎ 由题得，‎ 因为，‎ 所以当时，函数取到最小值 故答案为：A ‎【点睛】‎ 本题主要考查不等式的存在性问题，考查函数的最值的计算，意在考查学生对这些知识的掌握水平和分析推理计算能力.‎ 第II卷（非选择题）‎ 请点击修改第II卷的文字说明 评卷人 得分 二、填空题 ‎13．《张邱建算经》记载一题：今有女善织，日益功疾.初日织五尺，今一月，日织九匹三丈.问日益几何？题的大意是说，有一个女子很会织布，一天比一天织得快，而且每天增加的长度都是一样的.已知第一天织了5尺，一个月(30天)后共织布390尺，则该女子织布每天增加了______尺.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 设每天织布的尺数成等差数列{an}，公差为d，利用等差数列的求和公式即可得出．‎ ‎【详解】‎ 设每天织布的尺数成等差数列{an}，公差为d，‎ 则5×30+d=390，‎ 解得d=．‎ 故答案为：．‎ ‎【点睛】‎ 本题考查了等差数列的求和公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．‎ ‎14．如果关于的不等式的解集是非空集合，则______.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由不等式＞ax+变形得﹣ax﹣＞0即﹣a+﹣＞0．当﹣a＜0即a＞0时，y=﹣‎ a+﹣是开口向下的抛物线，因为解集是非空集合{x|4＜x＜m}，得到4和m为y=0‎ 时的解，把4和m代入求得a和m得解．‎ ‎【详解】‎ 由不等式＞ax+‎ ‎﹣ax﹣＞0即﹣a+﹣＞0‎ 设y=﹣a+﹣‎ 当﹣a＜0即a＞0时，y是开口向下的抛物线．‎ 又因为不等式＞ax+的解集是非空集合{x|4＜x＜m}，‎ 所以4和m为y=0时方程的两解，把4代入y得：2﹣4a﹣=0解得a=；把m代入y得：﹣‎ ‎﹣=0解得m=36．‎ 故答案为：36‎ ‎【点睛】‎ 本题考查一元二次不等式的应用，分类讨论思想，是中档题．‎ ‎15．已知椭圆的左右焦点为，过的直线与圆相切于点，并与椭圆交于两点，若，则椭圆的离心率为______.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 先求出再求出3b=2a，再化简即得解.‎ ‎【详解】‎ 因为OA⊥PQ，，‎ 所以 所以 故答案为：‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查椭圆离心率的计算，考查椭圆的几何性质，意在考查学生对这些知识的掌握水平和分析推理能力.‎ ‎16．已知数列，，，前项和为，则_______‎ ‎【答案】11‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 先给n取值求出 ‎，再求出即得解.‎ ‎【详解】‎ 由题得n=1时，，‎ 所以，‎ 计算得 所以.故答案为：11‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查递推数列和求和，意在考查学生对这些知识的掌握水平和分析推理能力.‎ 评卷人 得分 三、解答题 ‎17．用一根长7.2米的木料，做成“日”字形的窗户框，窗户的宽与高各为多少时，窗户的面积最大？并求出这个最大值。(不考虑木料加工时的损耗和中间木料的所占面积)‎ ‎【答案】窗户宽1.2米，高1.8米时，面积最大，最大值为2.16平方米 ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由题意设窗户的宽为米，则窗户的高为米,再求出窗户的面积 ，再利用基本不等式求函数的最大值和x的值得解.‎ ‎【详解】‎ 由题意设窗户的宽为米，则窗户的高为米,‎ 窗户的面积 (或),‎ 当且仅当时，即时，取“=”‎ 答：当窗户宽1.2米，高1.8米时，面积最大，最大值为2.16平方米 ‎【点睛】‎ 本题主要考查基本不等式求最值，意在考查学生对这些知识的掌握水平和分析推理能力.‎ ‎18．已知椭圆，‎ ‎(Ⅰ)求出椭圆上的动点到点的距离的最大值；‎ ‎(Ⅱ)若点是椭圆的左顶点，在椭圆上，是以点为直角顶点的等腰直角三角形，求斜边的长。‎ ‎【答案】（1）； （2）.‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎(Ⅰ)由题意设,再求出，再求函数的最大值. (Ⅱ)由题意设点 ,代入方程得解方程即得m的值和斜边的长.‎ ‎【详解】‎ ‎(Ⅰ)由题意设,‎ ‎,‎ ‎ ‎ 当时，取最大值.‎ ‎(Ⅱ)由题意设点 ,代入方程得 ‎，则或,斜边BC长为.‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查椭圆中的最值和直线与椭圆的位置关系，意在考查学生对这些知识的掌握水平和分析推理计算能力.‎ ‎19．已知数列满足.‎ ‎(Ⅰ)若成等差数列，求的值；‎ ‎(Ⅱ)是否存在，使数列为等比数列？若存在，求出所有这样的；若不存在，说明理由.‎ ‎【答案】（1）； （2）见解析.‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎(Ⅰ)由题意得，，因为成等差数列，则，即，解方程即得的值. (Ⅱ)若数列为等比数列,则必成等比数列，则，解得，此时 ，公比 ，又，所以不存在，使数列为等比数列。‎ ‎【详解】‎ ‎(Ⅰ)由题意 ，‎ ‎，， ‎ 若成等差数列，则，即 解得.‎ ‎(Ⅱ)若数列为等比数列 则必成等比数列，则，即 解得，此时 ，公比 ，‎ 又，‎ 所以不存在，使数列为等比数列。‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查递推数列，考查等差数列和等比数列的性质，意在考查学生对这些知识的掌握水平和分析推理计算能力.‎ ‎20．已知关于的不等式，其中.‎ ‎(Ⅰ)当变化时，试求不等式的解集；‎ ‎(Ⅱ)对于不等式的解集，若满足(其中为整数集)，试探究集合能否为有限集？若能，求出使得集合中元素个数最少的的值，并用列举法表示集合，若不能，请说明理由.‎ ‎【答案】（1）见解析； （2）.‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎(Ⅰ)对k分类讨论求出不等式的解集 由(1)知：当时，集合中的元素的个数无限；当时，集合中的元素的个数有限，此时集合为有限集,再求得当时，集合的元素个数最少，求出集合B.‎ ‎【详解】‎ ‎(Ⅰ)当时，；‎ 当且时，；‎ 当时，；‎ 当时，. ‎ ‎(Ⅱ)由(1)知：当时，集合中的元素的个数无限；‎ 当时，集合中的元素的个数有限，此时集合为有限集.‎ 因为，当且仅当时取等号，‎ 所以当时，集合的元素个数最少.‎ 此时，故集合.‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查解不等式和基本不等式，考查集合，意在考查学生对这些知识的掌握水平和分析推理能力.‎ ‎21．已知椭圆的右焦点为，过的直线交椭圆于两点(直线与坐标轴不垂直)，若的中点为，为坐标原点，直线交直线于.‎ ‎(Ⅰ)求证：；(Ⅱ)求的最大值.‎ ‎【答案】（1）见解析； （2）.‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎(Ⅰ) 联立可得.设点的坐标为，点的坐标为,再计算出的斜率为，的斜率为，即得.因此与垂直. (Ⅱ)先求出 ，再求，即得的最大值.‎ ‎【详解】‎ ‎(Ⅰ)联立可得.‎ 设点的坐标为，点的坐标为，则 ‎，.‎ 于是有.‎ 因为的中点为，所以.因此的斜率为.‎ 因为直线交直线于，所以.故的斜率为，‎ 即得.因此与垂直，. ‎ ‎(Ⅱ)设 ‎ ‎.‎ 令，则.‎ 由于，故.‎ 因此(当时取到最大值，也即).‎ 综上所述，的最大值为.‎ ‎【点睛】‎ ‎（1）本题主要考查直线和椭圆的位置关系，考查直线和直线的位置关系，考查椭圆中的最值问题，意在考查学生对这些知识的掌握水平和分析推理转化计算能力.(2)解答第2问的关键有两点，其一是求出，其二是求函数的最大值.‎ ‎22．已知数列中，，对于任意的，有.‎ ‎(Ⅰ)求数列的通项公式；‎ ‎(Ⅱ)数列满足，求数列的通项公式；‎ ‎(Ⅲ)设，是否存在实数，使数列是递增数列，若存在，求实数的取值范围；若不存在，请说明理由.‎ ‎【答案】（1）； （2）；（3）.‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎(1)取，，则.所以，即是公差为2，首项为2的等差数列.再求数列的通项.(2)利用作差法求数列的通项公式.(3)‎ 由题意得：，假设存在，使，化简得 ‎，再对n分奇数和偶数两种情况讨论，分别分离参数求出 ‎【详解】‎ ‎(1)取，，则.‎ 所以，即是公差为2，首项为2的等差数列.‎ 所以.检验对任意成立。‎ ‎(2)因为 ①‎ 所以.②‎ ‎①—②得：，所以.‎ 当时，，所以，满足上式.‎ 所以.‎ ‎(3)由题意得：，‎ 假设存在，使，‎ 则.‎ 所以.‎ 所以.‎ 若为正偶数时，恒成立，‎ 则，‎ 所以.‎ 所以.‎ 若为正奇数时，恒成立，‎ 则，‎ 所以.‎ 所以.‎ 综上可知，存在实数.使时，恒成立.‎ ‎【点睛】‎ ‎(1)本题主要考查数列通项的求法，考查等差数列的通项，考查数列的单调性，意在考查学生对这些知识的掌握水平和分析推理能力.(2)解答第3问的关键是分离参数求的范围.‎