数学卷·2018届四川省成都市崇州市崇庆中学高二上学期期中数学试卷（文科） （解析版）

数学卷·2018届四川省成都市崇州市崇庆中学高二上学期期中数学试卷（文科） （解析版）

‎2016-2017学年四川省成都市崇州市崇庆中学高二（上）期中数学试卷（文科）‎ ‎　‎ 一．选择题：（本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）‎ ‎1．命题“∀x∈R，|x|+x2≥0”的否定是（　　）‎ A．∀x∈R，|x|+x2＜0 B．∀x∈R，|x|+x2≤0‎ C．∃x0∈R，|x0|+x02＜0 D．∃x0∈R，|x0|+x02≥0‎ ‎2．若直线L1：x+ay+6=0与直线L2：（a﹣2）x+3y+2a=0互相平行，则a的值为（　　）‎ A．﹣1或3 B．1或3 C．﹣1 D．以上都不对 ‎3．当m∈N*，命题“若m＞0，则方程x2+x﹣m=0有实根”的逆否命题是（　　）‎ A．若方程x2+x﹣m=0有实根，则m＞0‎ B．若方程x2+x﹣m=0有实根，则m≤0‎ C．若方程x2+x﹣m=0没有实根，则m＞0‎ D．若方程x2+x﹣m=0没有实根，则m≤0‎ ‎4．若圆C1：x2+y2=1与圆C2：x2+y2﹣6x﹣8y+m=0外切，则m=（　　）‎ A．21 B．19 C．9 D．﹣11‎ ‎5．双曲线的顶点到渐近线的距离等于（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎6．设命题p：函数y=sin2x的最小正周期为，命题q：函数y=cosx的图象关于直线x=对称，则下列判断正确的是（　　）‎ A．p为真 B．q为真 C．p∧q为假 D．p∨q为真 ‎7．若变量x，y满足约束条件的最大值和最小值分别为M和m，则M﹣m=（　　）‎ A．8 B．7 C．6 D．5‎ ‎8．下列叙述中正确的是（　　）‎ A．若a，b，c∈R，则“ax2+bx+c≥0”的充分条件是“b2﹣4ac≤0”‎ B．若a，b，c∈R，则“ab2＞cb2”的充要条件是“a＞c”‎ C．命题“对任意x∈R，有x2≥0”的否定是“存在x∈R，有x2≥0”‎ D．l是一条直线，α，β是两个不同的平面，若l⊥α，l⊥β，则α∥β ‎9．给定两个命题p，q．若￢p是q的必要而不充分条件，则p是￢q的（　　）‎ A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 ‎10．设F为抛物线C：y2=3x的焦点，过F且倾斜角为30°的直线交C于A，B两点，O为坐标原点，则△OAB的面积为（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎11．以椭圆的右焦点F2为圆心的圆恰好过椭圆的中心，交椭圆于点M、N，椭圆的左焦点为F1，且直线MF1与此圆相切，则椭圆的离心率e为（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎12．如图F1、F2是椭圆C1： +y2=1与双曲线C2的公共焦点，A、B分别是C1、C2在第二、四象限的公共点，若四边形AF1BF2为矩形，则C2的离心率是（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎　‎ 二、填空题：（本大题共4小题，每小题5分）‎ ‎13．已知F是抛物线y2=x的焦点，A、B是该抛物线上的两点，|AF|+|BF|=3，则线段AB的中点到y轴的距离为　　．‎ ‎14．在平面直角坐标系xOy中，直线x+2y﹣3=0被圆（x﹣2）2+（y+1）2=4截得的弦长为　　．‎ ‎15．已知抛物线y2=8x的准线过双曲线的一个焦点，且双曲线的离心率为2，则该双曲线的方程为　　．‎ ‎16．设F1是椭圆x2+=1的下焦点，O为坐标原点，点P在椭圆上，则•的最大值为　　．‎ ‎　‎ 三.解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.（17题10分，其余每题12分）‎ ‎17．（10分）已知{an}是公差为3的等差数列，数列{bn}满足b1=1，b2=，anbn+1+bn+1=nbn．‎ ‎（Ⅰ）求{an}的通项公式；‎ ‎（Ⅱ）求{bn}的前n项和．‎ ‎18．（12分）已知向量=（2cos2x，），=（1，sin2x），函数f（x）=•．‎ ‎（Ⅰ）求函数f（x）的最小正周期和单调递减区间；‎ ‎（Ⅱ）在△ABC中，a，b，c分别是角A，B，C的对边，且f（C）=3，c=1，△ABC的面积为，且a＞b，求a，b的值．‎ ‎19．（12分）如图所示，在直四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1中，DB⊥AC，点M是棱BB1上一点．‎ ‎（1）求证：B1D1∥面A1BD；‎ ‎（2）求证：MD⊥AC．‎ ‎20．（12分）已知圆M的圆心在直线x﹣2y+‎ ‎4=0上，且与x轴交于两点A（﹣5，0），B（1，0）．‎ ‎（Ⅰ）求圆M的方程；‎ ‎（Ⅱ）求过点C（1，2）的圆M的切线方程；‎ ‎（Ⅲ）已知D（﹣3，4），点P在圆M上运动，求以AD，AP为一组邻边的平行四边形的另一个顶点Q轨迹方程．‎ ‎21．（12分）在直角坐标系xOy中，点P到两点（0，﹣），（0，）的距离之和等于4，设点P的轨迹为C，直线y=kx+1与C交于A，B两点．‎ ‎（1）写出C的方程；‎ ‎（2）若⊥，求k的值．‎ ‎22．（12分）已知动点M（x，y）到直线l：x=4的距离是它到点N（1，0）的距离的2倍．‎ ‎（Ⅰ） 求动点M的轨迹C的方程；‎ ‎（Ⅱ） 过点P（0，3）的直线m与轨迹C交于A，B两点．若A是PB的中点，求直线m的斜率．‎ ‎　‎ ‎2016-2017学年四川省成都市崇州市崇庆中学高二（上）期中数学试卷（文科）‎ 参考答案与试题解析 ‎　‎ 一．选择题：（本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）‎ ‎1．命题“∀x∈R，|x|+x2≥0”的否定是（　　）‎ A．∀x∈R，|x|+x2＜0 B．∀x∈R，|x|+x2≤0‎ C．∃x0∈R，|x0|+x02＜0 D．∃x0∈R，|x0|+x02≥0‎ ‎【考点】命题的否定．‎ ‎【分析】根据全称命题的否定是特称命题即可得到结论．‎ ‎【解答】解：根据全称命题的否定是特称命题，则命题“∀x∈R，|x|+x2≥0”的否定∃x0∈R，|x0|+x02＜0，‎ 故选：C．‎ ‎【点评】本题主要考查含有量词的命题的否定，比较基础．‎ ‎　‎ ‎2．若直线L1：x+ay+6=0与直线L2：（a﹣2）x+3y+2a=0互相平行，则a的值为（　　）‎ A．﹣1或3 B．1或3 C．﹣1 D．以上都不对 ‎【考点】直线的一般式方程与直线的平行关系．‎ ‎【分析】利用一次项系数之比相等，但不等于常数项之比，可得，求得a的值．‎ ‎【解答】解：∵直线L1：x+ay+6=0与直线L2：（a﹣2）x+3y+2a=0互相平行，‎ ‎∴，∴a=﹣1，‎ 故选：C．‎ ‎【点评】本题考查两直线平行的充要条件，即一次项系数之比相等，但不等于常数项之比．‎ ‎　‎ ‎3．当m∈N*，命题“若m＞0，则方程x2+x﹣m=0有实根”的逆否命题是（　　）‎ A．若方程x2+x﹣m=0有实根，则m＞0‎ B．若方程x2+x﹣m=0有实根，则m≤0‎ C．若方程x2+x﹣m=0没有实根，则m＞0‎ D．若方程x2+x﹣m=0没有实根，则m≤0‎ ‎【考点】四种命题间的逆否关系．‎ ‎【分析】直接利用逆否命题的定义写出结果判断选项即可．‎ ‎【解答】解：由逆否命题的定义可知：当m∈N*，命题“若m＞0，则方程x2+x﹣m=0有实根”的逆否命题是：若方程x2+x﹣m=0没有实根，则m≤0．‎ 故选：D．‎ ‎【点评】本题考查四种命题的逆否关系，考查基本知识的应用．‎ ‎　‎ ‎4．若圆C1：x2+y2=1与圆C2：x2+y2﹣6x﹣8y+m=0外切，则m=（　　）‎ A．21 B．19 C．9 D．﹣11‎ ‎【考点】圆的切线方程．‎ ‎【分析】化两圆的一般式方程为标准方程，求出圆心和半径，由两圆心间的距离等于半径和列式求得m值．‎ ‎【解答】解：由C1：x2+y2=1，得圆心C1（0，0），半径为1，‎ 由圆C2：x2+y2﹣6x﹣8y+m=0，得（x﹣3）2+（y﹣4）2=25﹣m，‎ ‎∴圆心C2（3，4），半径为．‎ ‎∵圆C1与圆C2外切，‎ ‎∴，‎ 解得：m=9．‎ 故选：C．‎ ‎【点评】本题考查两圆的位置关系，考查了两圆外切的条件，是基础题．‎ ‎　‎ ‎5．双曲线的顶点到渐近线的距离等于（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎【考点】双曲线的简单性质；点到直线的距离公式．‎ ‎【分析】由对称性可取双曲线的顶点（2，0），渐近线，利用点到直线的距离公式即可得到顶点到渐近线的距离．‎ ‎【解答】解：由对称性可取双曲线的顶点（2，0），渐近线，‎ 则顶点到渐近线的距离d=．‎ 故选C．‎ ‎【点评】熟练掌握双曲线的顶点、渐近线方程及得到直线的距离公式是解题的关键．‎ ‎　‎ ‎6．设命题p：函数y=sin2x的最小正周期为，命题q：函数y=cosx的图象关于直线x=对称，则下列判断正确的是（　　）‎ A．p为真 B．q为真 C．p∧q为假 D．p∨q为真 ‎【考点】三角函数的周期性及其求法；余弦函数的对称性．‎ ‎【分析】由题设条件可先判断出两个命题的真假，再根据复合命题真假的判断规则判断出选项中复合命题的真假即可得出正确选项．‎ ‎【解答】解：由于函数y=sin2x的最小正周期为π，故命题p是假命题；‎ 函数y=cosx的图象关于直线x=kπ对称，k∈Z，故q是假命题．‎ 结合复合命题的判断规则知：p∧q为假命题，p∨q为是假命题．‎ 故选：C．‎ ‎【点评】本题考查复合命题的真假判断，解题的关键是正确判断所涉及命题的真假及熟练掌握复合命题的真假判断规则，本题属于高考常考题型也是对命题考查的常规题型，知识性强，难度不大．‎ ‎　‎ ‎7．若变量x，y满足约束条件的最大值和最小值分别为M和m，则M﹣m=（　　）‎ A．8 B．7 C．6 D．5‎ ‎【考点】简单线性规划．‎ ‎【分析】由约束条件作出可行域，数形结合得到最优解，联立方程组求得最优解的坐标，代入目标函数得答案．‎ ‎【解答】解：由约束条件作出可行域如图，‎ 化目标函数z=2x+y为y=﹣2x+z，‎ 由图可知，当直线y=﹣2x+z过A（﹣1，﹣1）时目标函数有最小值为m=﹣3，‎ 当直线y=﹣2x+z过B（2，﹣1）时目标函数有最大值为M=2×2﹣1=3．‎ ‎∴M﹣m=6．‎ 故选：C．‎ ‎【点评】本题考查了简单的线性规划，考查了数形结合的解题思想方法，是中档题．‎ ‎　‎ ‎8．下列叙述中正确的是（　　）‎ A．若a，b，c∈R，则“ax2+bx+c≥0”的充分条件是“b2﹣4ac≤0”‎ B．若a，b，c∈R，则“ab2＞cb2”的充要条件是“a＞c”‎ C．命题“对任意x∈R，有x2≥0”的否定是“存在x∈R，有x2≥0”‎ D．l是一条直线，α，β是两个不同的平面，若l⊥α，l⊥β，则α∥β ‎【考点】命题的真假判断与应用；全称命题．‎ ‎【分析】本题先用不等式的知识对选项A、B中命题的条件进行等价分析，得出它们的充要条件，再判断相应命题的真假；对选项以中的命题否定加以研究，判断其真假，在考虑全称量词的同时，要否定命题的结论；对选项D利用立体几何的位置关系，得出命题的真假，可知本题的正确答案．‎ ‎【解答】解：A、若a，b，c∈R，当“ax2+bx+c≥0”对于任意的x恒成立时，则有：‎ ‎①当a=0时，要使ax2+bx+c≥0恒成立，需要b=0，c≥0，此时b2﹣4ac=0，符合b2﹣4ac≤0；‎ ‎②当a≠0时，要使ax2+bx+c≥0恒成立，必须a＞0且b2﹣4ac≤0．‎ ‎∴若a，b，c∈R，“ax2+bx+c≥0”是“b2﹣4ac≤0”充分不必要条件，“b2﹣4ac≤0”是“ax2+bx+c≥0”的必要条件，但不是充分条件，即必要不充分条件．故A错误；‎ B、当ab2＞cb2时，b2≠0，且a＞c，‎ ‎∴“ab2＞cb2”是“a＞c”的充分条件．‎ 反之，当a＞c时，若b=0，则ab2=cb2，不等式ab2＞cb2不成立．‎ ‎∴“a＞c”是“ab2＞cb2”的必要不充分条件．故B错误；‎ C、结论要否定，注意考虑到全称量词“任意”，‎ 命题“对任意x∈R，有x2≥0”的否定应该是“存在x∈R，有x2＜0”．故C错误；‎ D、命题“l是一条直线，α，β是两个不同的平面，若l⊥α，l⊥β，则α∥β．”是两个平面平行的一个判定定理．故D正确．‎ 故答案为：D．‎ ‎【点评】本题考查了命题、充要条件的知识，考查到了不等式、立体几何知识，有一定容量，总体难度不大，属于基础题．‎ ‎　‎ ‎9．给定两个命题p，q．若￢p是q的必要而不充分条件，则p是￢q的（　　）‎ A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 ‎【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断；命题的否定．‎ ‎【分析】‎ 根据互为逆否命题真假性相同，可将已知转化为q是¬p的充分不必要条件，进而根据逆否命题及充要条件的定义得到答案．‎ ‎【解答】解：∵¬p是q的必要而不充分条件，‎ ‎∴q是¬p的充分不必要条件，即q⇒¬p，但¬p不能⇒q，‎ 其逆否命题为p⇒¬q，但¬q不能⇒p，‎ 则p是¬q的充分不必要条件．‎ 故选A．‎ ‎【点评】本题考查的知识点是充要条件的判断，其中将已知利用互为逆否命题真假性相同，转化为q是¬p的充分不必要条件，是解答的关键．‎ ‎　‎ ‎10．设F为抛物线C：y2=3x的焦点，过F且倾斜角为30°的直线交C于A，B两点，O为坐标原点，则△OAB的面积为（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎【考点】抛物线的简单性质．‎ ‎【分析】由抛物线方程求出焦点坐标，由直线的倾斜角求出斜率，写出过A，B两点的直线方程，和抛物线方程联立后化为关于y的一元二次方程，由根与系数关系得到A，B两点纵坐标的和与积，把△OAB的面积表示为两个小三角形AOF与BOF的面积和得答案．‎ ‎【解答】解：由y2=2px，得2p=3，p=，‎ 则F（，0）．‎ ‎∴过A，B的直线方程为y=（x﹣），‎ 即x=y+．‎ 联立，得4y2﹣12y﹣9=0．‎ 设A（x1，y1），B（x2，y2），‎ 则y1+y2=3，y1y2=﹣．‎ ‎∴S△OAB=S△OAF+S△OFB=×|y1﹣y2|=‎ ‎=×=．‎ 故选：D．‎ ‎【点评】本题考查直线与抛物线的位置关系，考查数学转化思想方法，涉及直线和圆锥曲线关系问题，常采用联立直线和圆锥曲线，然后利用一元二次方程的根与系数关系解题，是中档题．‎ ‎　‎ ‎11．以椭圆的右焦点F2为圆心的圆恰好过椭圆的中心，交椭圆于点M、N，椭圆的左焦点为F1，且直线MF1与此圆相切，则椭圆的离心率e为（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎【考点】椭圆的简单性质．‎ ‎【分析】先根据题意得|MF2|=|OF2|=c，|MF1|+|MF2|=2a，|F1F2|=2c，在直角三角形MF1F2中 根据勾股定理可知|MF1|2+|MF2|2=|F1F2|2，进而得到关于a和c的方程，把方程转化成关于即e的方程，进而求得e．‎ ‎【解答】解：由题意得：|MF2|=|OF2|=c，|MF1|+|MF2|=2a，|F1F2|=2c 直角三角形MF1F2中 ‎|MF1|2+|MF2|2=|F1F2|2‎ 即（2a﹣c）2+c2=4c2‎ 整理得2a2﹣2ac﹣c2=0‎ a=（2c+2c根号3）/4=（c+c根号3）/2=c（1+根号3）/2‎ 等式两边同除以a2，得+﹣2=0‎ 即e2+2e﹣2=0，解得e=﹣1或﹣﹣1（排除）‎ 故e=﹣1‎ 故选A．‎ ‎【点评】本题主要考查了椭圆性质．要利用好椭圆的第一和第二定义．‎ ‎　‎ ‎12．如图F1、F2是椭圆C1： +y2=1与双曲线C2的公共焦点，A、B分别是C1、C2在第二、四象限的公共点，若四边形AF1BF2为矩形，则C2的离心率是（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎【考点】椭圆的简单性质．‎ ‎【分析】不妨设|AF1|=x，|AF2|=y，依题意，解此方程组可求得x，y的值，利用双曲线的定义及性质即可求得C2的离心率．‎ ‎【解答】解：设|AF1|=x，|AF2|=y，∵点A为椭圆C1： +y2=1上的点，‎ ‎∴2a=4，b=1，c=；‎ ‎∴|AF1|+|AF2|=2a=4，即x+y=4；①‎ 又四边形AF1BF2为矩形，‎ ‎∴+=，即x2+y2=（2c）2==12，②‎ 由①②得：，解得x=2﹣，y=2+，设双曲线C2的实轴长为2m，焦距为2n，‎ 则2m=|AF2|﹣|AF1|=y﹣x=2，2n=2c=2，‎ ‎∴双曲线C2的离心率e===．‎ 故选D．‎ ‎【点评】本题考查椭圆与双曲线的简单性质，求得|AF1|与|AF2|是关键，考查分析与运算能力，属于中档题．‎ ‎　‎ 二、填空题：（本大题共4小题，每小题5分）‎ ‎13．已知F是抛物线y2=x的焦点，A、B是该抛物线上的两点，|AF|+|BF|=3，则线段AB的中点到y轴的距离为　　．‎ ‎【考点】抛物线的定义．‎ ‎【分析】根据抛物线的方程求出准线方程，利用抛物线的定义抛物线上的点到焦点的距离等于到准线的距离，列出方程求出A，B的中点横坐标，求出线段AB的中点到y轴的距离．‎ ‎【解答】解：∵F是抛物线y2=x的焦点 F（，0）准线方程x=﹣‎ 设A（x1，y1），B（x2，y2）‎ ‎∴|AF|+|BF|=x1++x2+=3‎ 解得x1+x2=‎ ‎∴线段AB的中点横坐标为 ‎∴线段AB的中点到y轴的距离为 故答案为：．‎ ‎【点评】本题主要考查抛物线的定义、标准方程，以及简单性质的应用，属于中档题．‎ ‎　‎ ‎14．在平面直角坐标系xOy中，直线x+2y﹣3=0被圆（x﹣2）2+（y+1）2=4截得的弦长为　　．‎ ‎【考点】直线与圆的位置关系．‎ ‎【分析】求出已知圆的圆心为C（2，﹣1），半径r=2．利用点到直线的距离公式，算出点C到直线直线l的距离d，由垂径定理加以计算，可得直线x+2y﹣3=0被圆截得的弦长．‎ ‎【解答】解：圆（x﹣2）2+（y+1）2=4的圆心为C（2，﹣1），半径r=2，‎ ‎∵点C到直线直线x+2y﹣3=0的距离d==，‎ ‎∴根据垂径定理，得直线x+2y﹣3=0被圆（x﹣2）2+（y+1）2=4截得的弦长为2=2=‎ 故答案为：．‎ ‎【点评】本题给出直线与圆的方程，求直线被圆截得的弦长，着重考查点到直线的距离公式、圆的方程和直线与圆的位置关系等知识，属于基础题．‎ ‎　‎ ‎15．已知抛物线y2=8x的准线过双曲线的一个焦点，且双曲线的离心率为2，则该双曲线的方程为　　．‎ ‎【考点】双曲线的标准方程；抛物线的简单性质．‎ ‎【分析】利用抛物线的标准方程y2=8x，可得，故其准线方程为x=﹣2．由题意可得双曲线的一个焦点为（﹣2，0），即可得到c=2．再利用双曲线的离心率的计算公式可得=2，得到a=1，再利用b2=c2﹣a2可得b2．进而得到双曲线的方程．‎ ‎【解答】解：由抛物线y2=8x，可得，故其准线方程为x=﹣2．‎ 由题意可得双曲线的一个焦点为（﹣2，0），∴c=2．‎ 又双曲线的离心率为2，∴ =2，得到a=1，∴b2=c2﹣a2=3．‎ ‎∴双曲线的方程为．‎ 故答案为．‎ ‎【点评】熟练掌握双曲线抛物线的标准方程及其性质是解题的关键．‎ ‎　‎ ‎16．设F1是椭圆x2+=1的下焦点，O为坐标原点，点P在椭圆上，则•的最大值为　4+　．‎ ‎【考点】椭圆的简单性质；平面向量数量积的运算．‎ ‎【分析】根据椭圆的标准方程求出F1的坐标（0，），设P（x，y），所以可求出向量的坐标，所以结合点P满足椭圆的方程，可求出，而y∈[﹣2，2]，所以y=2时取到最大值，所以将y=2带入即可求出该最大值．‎ ‎【解答】解：根据椭圆的标准方程知，设P（x，y），则：‎ ‎==；‎ 又﹣2≤y≤2；‎ ‎∴y=2时，取最大值4．‎ 故答案为：4．‎ ‎【点评】考查椭圆的标准方程，椭圆的焦点，以及向量数量积的坐标运算，以及观察法求二次函数的最值．‎ ‎　‎ 三.解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.（17题10分，其余每题12分）‎ ‎17．（10分）（2016•新课标Ⅰ）已知{an}是公差为3的等差数列，数列{bn}满足b1=1，b2=，anbn+1+bn+1=nbn．‎ ‎（Ⅰ）求{an}的通项公式；‎ ‎（Ⅱ）求{bn}的前n项和．‎ ‎【考点】数列递推式．‎ ‎【分析】（Ⅰ）令n=1，可得a1=2，结合{an}是公差为3的等差数列，可得{an}的通项公式；‎ ‎（Ⅱ）由（1）可得：数列{bn}是以1为首项，以为公比的等比数列，进而可得：{bn}的前n项和．‎ ‎【解答】解：（Ⅰ）∵anbn+1+bn+1=nbn．‎ 当n=1时，a1b2+b2=b1．‎ ‎∵b1=1，b2=，‎ ‎∴a1=2，‎ 又∵{an}是公差为3的等差数列，‎ ‎∴an=3n﹣1，‎ ‎（Ⅱ）由（I）知：（3n﹣1）bn+1+bn+1=nbn．‎ 即3bn+1=bn．‎ 即数列{bn}是以1为首项，以为公比的等比数列，‎ ‎∴{bn}的前n项和Sn==（1﹣3﹣n）=﹣．‎ ‎【点评】本题考查的知识点是数列的递推式，数列的通项公式，数列的前n项和公式，难度中档．‎ ‎　‎ ‎18．（12分）（2016秋•崇州市校级期中）已知向量=（2cos2x，），=（1，sin2x），函数f（x）=•．‎ ‎（Ⅰ）求函数f（x）的最小正周期和单调递减区间；‎ ‎（Ⅱ）在△ABC中，a，b，c分别是角A，B，C的对边，且f（C）=3，c=1，△ABC的面积为，且a＞b，求a，b的值．‎ ‎【考点】平面向量数量积的运算；正弦定理．‎ ‎【分析】（Ⅰ）根据向量数量积的坐标公式结合三角函数的辅助角公式将函数进行化简，结合函数周期和单调性的性质进行求解即可．‎ ‎（Ⅱ）根据条件f（C）=3，求出C的大小，结合余弦定理以及三角形的面积公式进行化简求解即可．‎ ‎【解答】解：（Ⅰ）f（x）=•=（2cos2x，）•（1，sin2x）=2cos2x+sin2x ‎=cos2x+1+sin2x=2sin（2x+）+1，‎ ‎∴函数f（x）的最小周期T==π．‎ 由2kπ+≤2x+≤2kπ+，k∈Z，‎ 得kπ+≤x≤kπ+，k∈Z，‎ 则f（x）的单调递减区间[kπ+，kπ+]，k∈Z．‎ ‎（Ⅱ）∵f（C）=3，‎ ‎∴f（C）=2sin（2C+）+1=3，‎ ‎∴sin（2C+）=1，‎ ‎∴C是三角形内角，‎ ‎∴2C+=，即C=，‎ ‎∴cosC==，‎ 即：a2+b2﹣（1）．‎ 由，代入（1）得a2+b2=7，‎ 联立方程组消去b可得：a2+=7，解之得a2=3或4，‎ 则a=或2，‎ ‎∵a＞b，∴a=2，b=．‎ ‎【点评】本题主要考查向量数量积与三角函数的综合问题，利用辅助角公式以及余弦定理将函数进行化简是解决本题的关键．‎ ‎　‎ ‎19．（12分）（2013•广东模拟）如图所示，在直四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1中，DB ‎⊥AC，点M是棱BB1上一点．‎ ‎（1）求证：B1D1∥面A1BD；‎ ‎（2）求证：MD⊥AC．‎ ‎【考点】直线与平面平行的判定；直线与平面垂直的性质．‎ ‎【分析】（1）欲证B1D1∥面A1BD，根据直线与平面平行的判定定理可知只需证B1D1与面A1BD内一直线平行，易证BB1D1D是平行四边形，则B1D1∥BD，而BD⊂面A1BD，B1D1⊄面A1B，满足定理所需条件；‎ ‎（2）因BB1⊥平面ABCD，AC⊂平面ABCD，根据线面垂直的性质可知BB1⊥AC，而BD⊥AC，且BD∩BB1=B，满足线面垂直的判定定理所需条件，则AC⊥面BB1D，而MD⊂面BB1D，从而得到结论．‎ ‎【解答】证明：（1）由直四棱柱，得BB1∥DD且BB1=DD1，‎ 所以BB1D1D是平行四边形，‎ 所以B1D1∥BD 而BD⊂面A1BD，B1D1⊄面A1B，‎ 所以B1D1∥面A1BD ‎（2）因为BB1⊥平面ABCD，AC⊂平面ABCD，‎ 则BB1⊥AC 又因为BD⊥AC，且BD∩BB1=B，‎ 故AC⊥面BB1D 而MD⊂面BB1D，所以MD⊥AC．‎ ‎【点评】本题主要考查线面平行的判定，以及线面垂直的性质，同时考查了推理论证的能力，属于基础题．‎ ‎　‎ ‎20．（12分）（2014秋•平度市期末）已知圆M的圆心在直线x﹣2y+‎ ‎4=0上，且与x轴交于两点A（﹣5，0），B（1，0）．‎ ‎（Ⅰ）求圆M的方程；‎ ‎（Ⅱ）求过点C（1，2）的圆M的切线方程；‎ ‎（Ⅲ）已知D（﹣3，4），点P在圆M上运动，求以AD，AP为一组邻边的平行四边形的另一个顶点Q轨迹方程．‎ ‎【考点】圆的切线方程；轨迹方程．‎ ‎【分析】（I）根据圆的性质，可得圆心M为AB垂直平分线与直线x﹣2y+4=0的交点．因此联解两直线的方程，得到圆心M的坐标，由两点的距离公式算出半径r=，即可得到圆M的方程；‎ ‎（II）由于点C是圆M上的点，所以过点C的圆M的切线与CM垂直．因此利用直线的斜率公式算出CM的斜率，从而得到切线的斜率k=﹣3，根据直线方程的点斜式列式，化简即得所求切线的方程；‎ ‎（III）设Q（x，y）、P（x0，y0），根据平行四边形ADQP的对角线互相平分，利用线段的中点坐标公式列式，解出P的坐标为（x﹣2，y﹣4），代入圆M的方程化简可得x2+（y﹣5）2=10．最后根据构成平行四边形的条件，去除两个杂点（﹣1，8）、（﹣3，4），即可得到顶点Q的轨迹方程．‎ ‎【解答】解：（Ⅰ）∵圆M与x轴交于两点A（﹣5，0）、B（1，0），‎ ‎∴圆心在AB的垂直平分线上，即C在直线x=﹣2上．‎ 由，解得，即圆心M的坐标为（﹣2，1）．‎ ‎∴半径，‎ 因此，圆M的方程为（x+2）2+（y﹣1）2=10．‎ ‎（Ⅱ）∵点C（1，2）满足（1+2）2+（2﹣1）2=10，‎ ‎∴点C在圆M上，可得经过点C与圆M相切的直线与CM垂直．‎ ‎∵CM的斜率kCM=，∴过点C的切线斜率为k==﹣3，‎ 由此可得过点C（1，2）的圆M的切线方程为y﹣2=﹣3（x﹣1），化简得3x+y﹣5=0．‎ ‎（Ⅲ）设Q（x，y）、P（x0，y0），‎ ‎∵四边形ADQP为平行四边形，∴对角线AQ、PD互相平分，即AQ的中点也是PD的中点．‎ 即，解得 将P（x﹣2，y﹣4）代入圆M的方程，可得（x﹣2+2）2+（y﹣4﹣1）2=10，即x2+（y﹣5）2=10，‎ ‎∴顶点Q在圆x2+（y﹣5）2=10上运动，‎ ‎∵圆x2+（y﹣5）2=10交直线AD于点（﹣1，8）和（﹣3，4），‎ 当Q与这两个点重合时，不能构成平行四边形ADQP，‎ ‎∴顶点Q的轨迹方程为x2+（y﹣5）2=10，（点（﹣1，8）、（﹣3，4）除外）．‎ ‎【点评】本题给出圆M满足的条件，求圆的方程并依此求动点的轨迹方程．着重考查了直线的基本量与基本形式、圆的标准方程、直线与圆的位置关系、线段的中点坐标公式和动点轨迹方程的求法等知识点，属于中档题．‎ ‎　‎ ‎21．（12分）（2013•梅州二模）在直角坐标系xOy中，点P到两点（0，﹣），（0，）的距离之和等于4，设点P的轨迹为C，直线y=kx+1与C交于A，B两点．‎ ‎（1）写出C的方程；‎ ‎（2）若⊥，求k的值．‎ ‎【考点】轨迹方程；直线与圆锥曲线的综合问题．‎ ‎【分析】（1）由题中条件：“点P到两点（0，﹣），（0，）的距离之和等于4，”结合椭圆的定义知其轨迹式样，从而求得其方程．‎ ‎（2）先将直线方程与椭圆方程联立方程组，消去y得到一个一元二次方程，再利用根与系数的关系结合向量垂直的条件列关于k方程式即可求得参数k值．‎ ‎【解答】解：（1）设P（x，y），由椭圆定义可知，点P的轨迹C是以（0，﹣），（0，）为焦点，长半轴为2的椭圆，它的短半轴b=‎ ‎=1，故曲线C的方程为x2+=1．‎ ‎（2）设A（x1，y1），B（x2，y2），其坐标满足消去y并整理得 ‎（k2+4）x2+2kx﹣3=0，‎ 故x1+x2=﹣，x1x2=﹣．‎ ‎∵⊥‎ ‎∴x1x2+y1y2=0．‎ ‎∵y1y2=k2x1x2+k（x1+x2）+1，‎ ‎∴x1x2+y1y2=﹣﹣﹣+1=0，化简得﹣4k2+1=0，所以k=±．‎ ‎【点评】本题考查“定义法”求曲线的轨迹方程、直线与圆锥曲线的综合问题及方程思想，定义法：若动点轨迹的条件符合某一基本轨迹的定义（如椭圆、双曲线、抛物线、圆等），可用定义直接探求．‎ ‎　‎ ‎22．（12分）（2013•陕西）已知动点M（x，y）到直线l：x=4的距离是它到点N（1，0）的距离的2倍．‎ ‎（Ⅰ） 求动点M的轨迹C的方程；‎ ‎（Ⅱ） 过点P（0，3）的直线m与轨迹C交于A，B两点．若A是PB的中点，求直线m的斜率．‎ ‎【考点】直线与圆锥曲线的综合问题；曲线与方程．‎ ‎【分析】（Ⅰ）直接由题目给出的条件列式化简即可得到动点M的轨迹C的方程；‎ ‎（Ⅱ）经分析当直线m的斜率不存在时，不满足A是PB的中点，然后设出直线m的斜截式方程，和椭圆方程联立后整理，利用根与系数关系写出x1+x2，x1x2，结合2x1=x2得到关于k的方程，则直线m的斜率可求．‎ ‎【解答】解：（Ⅰ）点M（x，y）到直线x=4的距离是它到点N（1，0）的距离的2倍，则 ‎|x﹣4|=2，即（x﹣4）2=4[（x﹣1）2+y2]，‎ 整理得．‎ 所以，动点M的轨迹是椭圆，方程为；‎ ‎（Ⅱ）P（0，3），设A（x1，y1），B（x2，y2），由A是PB的中点，得2x1=0+x2，2y1=3+y2．‎ 椭圆的上下顶点坐标分别是和，经检验直线m不经过这两点，即直线m的斜率k存在．‎ 设直线m的方程为：y=kx+3．‎ 联立，‎ 整理得：（3+4k2）x2+24kx+24=0．‎ ‎．‎ 因为2x1=x2．‎ 则，得，‎ 所以．‎ 即，解得．‎ 所以，直线m的斜率．‎ ‎【点评】本题考查了曲线方程，考查了直线与圆锥曲线的位置关系，考查了学生的计算能力，关键是看清题中给出的条件，灵活运用韦达定理，中点坐标公式进行求解，是中档题．‎ ‎　‎