高考数学人教A版（理）一轮复习：第一篇 第3讲 简单的逻辑联结词、全称量词与存在量词
第3讲 简单的逻辑联结词、全称量词与存 在量词
A级 基础演练(时间：30分钟 满分：55分)
一、选择题(每小题5分，共20分)
1．(2012·北京朝阳二模)如果命题“p∧q”是假命题，“綈q”也是假命题，则 ( )．
A．命题“綈p∨q”是假命题 B．命题“p∨q”是假命题
C．命题“綈p∧q”是真命题 D．命题“p∧綈q”是真命题
解析 由“綈q”为假命题得q为真命题，又“p∧q”是假命题，所以p为假命题，綈p为真命题．所以命题“綈p∨q”是真命题，A错；命题“p∨q”是真命题，B错；命题“p∧綈q”是假命题，D错；命题“綈p∧q”是真命题，故选C.
答案 C
2．(2012·吉林模拟)已知命题p：有的三角形是等边三角形，则 ( )．
A．綈p：有的三角形不是等边三角形
B．綈p：有的三角形是不等边三角形
C．綈p：所有的三角形都是等边三角形
D．綈p：所有的三角形都不是等边三角形
解析 命题p：有的三角形是等边三角形，其中隐含着存在量词“有的”，所以对它的否定，应该改存在量词为全称量词“所有”
，然后对结论进行否定，故有綈p：所有的三角形都不是等边三角形，所以选D.
答案 D
3．(2012·开封二模)下列命题中的真命题是 ( )．
A．∃x∈R，使得sin x＋cos x＝
B．∀x∈(0，＋∞)，ex>x＋1
C．∃x∈(－∞，0)，2x<3x
D．∀x∈(0，π)，sin x>cos x
解析 因为sin x＋cos x＝sin≤<，故A错误；当x<0时，y＝2x的图象在y＝3x的图象上方，故C错误；因为x∈时有sin x
0，解得b<0或b>.
答案 (－∞，0)∪
三、解答题(共25分)
7．(12分)写出由下列各组命题构成的“p∨q”，“p∧q”，“綈p”形式的新命题，并判断其真假．
(1)p：2是4的约数，q：2是6的约数；
(2)p：矩形的对角线相等，q：矩形的对角线互相平分；
(3)p：方程x2＋x－1＝0的两个实根的符号相同，q：方程x2＋x－1＝0的两实根的绝对值相等．
解 (1)p∨q：2是4的约数或2是6的约数，真命题；
p∧q：2是4的约数且2也是6的约数，真命题；
綈p：2不是4的约数，假命题．
(2)p∨q：矩形的对角线相等或互相平分，真命题；
p∧q：矩形的对角线相等且互相平分，真命题；
綈p：矩形的对角线不相等，假命题．
(3)p∨q：方程x2＋x－1＝0的两个实数根符号相同或绝对值相等，假命题；
p∧q：方程x2＋x－1＝0的两个实数根符号相同且绝对值相等，假命题；
綈p：方程x2＋x－1＝0的两个实数根符号不同，真命题．
8．(13分)写出下列命题的否定，并判断真假．
(1)所有的矩形都是平行四边形；
(2)每一个素数都是奇数；
(3)有些实数的绝对值是正数；
(4)某些平行四边形是菱形．
解 (1)存在一个矩形不是平行四边形，假命题．
(2)存在一个素数不是奇数，真命题．
(3)所有的实数的绝对值都不是正数，假命题．
(4)每一个平行四边形都不是菱形，假命题．
B级 能力突破(时间：30分钟 满分：45分)
一、选择题(每小题5分，共10分)
1．(2012·吉林二模)给出如下几个结论：
①命题“∃x∈R，cos x＋sin x＝2”的否定是“∃x∈R，cos x＋sin x≠2”；
②命题“∃x∈R，cos x＋≥2”的否定是“∀x∈R，cos x＋<2”；
③对于∀x∈，tan x＋≥2；
④∃x∈R，使sin x＋cos x＝.
其中正确的为 ( )．
A．③ B．③④ C．②③④ D．①②③④
解析 根据全称命题的否定是特称命题，特称命题的否定是全称命题，知①不正确，②正确；由基本不等式知③正确；由sin x＋cos x＝sin∈[－，]知④正确．
答案 C
2．(2012·江西六校联考)已知命题p：“∀x∈[1,2]都有x2≥a”．命题q：“∃x∈R，使得x2＋2ax＋2－a＝0成立”，若命题“p∧q”是真命题，则实数a的取值范围为 ( )．
A．(－∞，－2] B．(－2,1)
C．(－∞，－2]∪{1} D．[1，＋∞)
解析 若p是真命题，即a≤(x2)min，x∈[1,2]，所以a≤1；若q是真命题，即x2＋2ax＋2－a＝0有解，则Δ＝4a2－4(2－a)≥0，即a≥1或a≤－2.命题“p∧q”是真命题，则p是真命题，q也是真命题，故有a≤－2或a＝1.
答案 C
二、填空题(每小题5分，共10分)
3．若命题“∀x∈R，ax2－ax－2≤0”是真命题，则实数a的取值范围是________．
解析 当a＝0时，不等式显然成立；当a≠0时，由题意知得－8≤a
＜0.综上，－8≤a≤0.
答案 [－8,0]
4．(2012·长沙调研)下列结论：
①若命题p：∃x∈R，tan x＝；命题q：∀x∈R，x2－x＋1>0.则命题“p∧綈q”是假命题；
②已知直线l1：ax＋3y－1＝0，l2：x＋by＋1＝0，则l1⊥l2的充要条件是＝－3；
③命题“若x2－3x＋2＝0，则x＝1”的逆否命题为：“若x≠1，则x2－3x＋2≠0”．其中正确结论的序号为________．
解析 ①中命题p为真命题，命题q为真命题，所以p∧綈q为假命题，故①正确；
②当b＝a＝0时，有l1⊥l2，故②不正确；
③正确．所以正确结论的序号为①③.
答案 ①③
三、解答题(共25分)
5．(12分)已知c>0，设命题p：函数y＝cx为减函数．命题q：当x∈时，函数f(x)＝x＋>恒成立．如果“p或q”为真命题，“p且q”为假命题，求c的取值范围．
解 由命题p为真知，0，
若“p或q”为真命题，“p且q”为假命题，
则p、q中必有一真一假，
当p真q假时，c的取值范围是0
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