数学理卷·2019届河北省承德一中高二上学期第一次月考（2017-10）

数学理卷·2019届河北省承德一中高二上学期第一次月考（2017-10）

河北承德第一中学2017-2018学年度第一学期 高二 第一次月考 数学（理）试题 ‎ 本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分。第Ⅰ卷1至2页。第Ⅱ卷3至4页。全卷满分150分，考试时间120分钟。‎ 第Ⅰ卷（选择题 共60分）‎ 一. 选择题：(本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。将正确答案选项填在答题纸上)‎ ‎1. 已知向量与向量垂直，则z的值是（　　）‎ A．2 B．1 C．﹣1 D．﹣2‎ ‎2. 圆（x+2）2+y2=5关于y轴对称的圆的方程为（　　）‎ A．x2+（y+2）2=5 B．x2+（y﹣2）2=5 ‎ C．（x﹣2）2+y2=5 D．（x﹣2）2+（y﹣2）2=5‎ ‎3. 圆心为（2，﹣1）且与直线3x﹣4y+5=0相切的圆方程是（　　）‎ A．x2+y2+4x﹣2y﹣4=0 B．x2+y2﹣4x+2y﹣4=0‎ C．x2+y2﹣4x+2y+4=0 D．x2+y2+4x+2y﹣6=0‎ ‎4. 圆C1：x2+y2+2x+8y﹣8=0与圆C2：x2+y2﹣4x﹣4y﹣1=0的位置关系是（　　）‎ A．外离 B．外切 C．相交 D．内含 ‎5. 对任意的实数m，直线y=mx+1与圆x2+y2=4的位置关系一定是（　　）‎ A．相切 B．相交且直线过圆心 C．相交且直线不过圆心 D．相离 ‎6. 设曲线C的方程为（x﹣2）2+（y+1）2=9，直线l的方程x﹣3y+2=0，则曲线上的点到直线l的距离为的点的个数为（　　）‎ A．1 B．2 C．3 D．4‎ ‎7. 设平面的一个法向量为，平面的一个法向量为，若，‎ 则k＝ （ ）‎ A．2 B． 4 C．－2 D．－4‎ ‎8. 已知正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，E为侧面BCC1B1的中心．若=z+x+y，则x+y+z的值为（　　）‎ A．1 B． C．2 D．‎ ‎9. 如果执行如程序框图，那么输出的S等于（　　）‎ A．20 B．90 C．110 D．132‎ ‎10. 已知，，则的最小值为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎11. 直线y=kx+3与圆（x﹣2）2+（y﹣3）2=4相交于M，N两点，若，则k的取值范围是（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎12. 正方体ABCD﹣A1B1C1D1的棱长为2，则D1到平面A1BD的距离为（　　）‎ A． B． C． D．‎ 第Ⅱ卷（非选择题 共90分）‎ 二、填空题：(本大题共4小题，每小题5分，共20分)‎ ‎13. 若点（2a，a+1）在圆x2+（y﹣1）2=5的内部，则a的取值范围是　 .‎ ‎14. 已知圆x2﹣4x﹣4+y2=0上的点P（x，y），求x2+y2的最大值　 .‎ ‎15. 已知关于x，y的方程组有两组不同的解，则实数m的取值范围是 .‎ ‎16. 在正方体中，分别为棱和的中点，则sin〈，〉的值为 .‎ 三、解答题：(本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)‎ ‎17.(本题满分10分)‎ 若圆经过点（2,0）,（0,4),（0,2）‎ ‎ 求：（1）圆的方程 ‎（2）圆的圆心和半径 ‎18.(本题满分12分)‎ 已知圆C经过点A（1，4）、B（3，﹣2），圆心C到直线AB的距离为，求圆C的方程．‎ ‎19.(本题满分12分)‎ 已知圆C的方程：x2+y2﹣2x﹣4y+m=0‎ ‎（1）求m的取值范围；‎ ‎（2）若圆C与直线l：x+2y﹣4=0相交于M，N两点，且|MN|=，求m的值．‎ ‎20.(本题满分12分)‎ 如图所示，正三棱柱ABC﹣A1B1C1的底面边长与侧棱长均为2，D为AC中点．‎ ‎（1）求证：B1C∥平面A1DB；‎ ‎（2）求直线BD与平面A1BC1所成的角的正弦值．‎ ‎ ‎ ‎21.(本题满分12分)‎ 已知圆C的方程是（x﹣1）2+（y﹣1）2=4，直线l的方程为y=x+m，求：当m为何值时 ‎（1）直线平分圆；‎ ‎（2）直线与圆相切；‎ ‎（3）直线与圆有两个公共点．‎ ‎22. (本题满分12分)‎ 已知正四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1中，AB=2，AA1=4．‎ ‎（Ⅰ）求证：BD⊥A1C；‎ ‎（Ⅱ）求二面角A﹣A1C﹣D1的余弦值；‎ ‎（Ⅲ）在线段CC1上是否存在点P，使得平面A1CD1⊥平面PBD，若存在，求出的值；若不存在，请说明理由．‎ 一、选择题 ‎9‎ 如果执行如程序框图，那么输出的S等于（　　）‎ A．20 B．90 C．110 D．132‎ 答案及解析：C ‎【考点】循环结构．‎ ‎【分析】先根据循环条件和循环体判定循环的次数，然后根据运行的后s的值找出规律，从而得出所求．‎ ‎【解答】解：根据题意可知该循环体运行10次 第一次：s=2，‎ 第二次：s=2+4，‎ 第三次：s=2+4+6‎ ‎…‎ ‎∴S=2+4+6+…+20=110．‎ 故选C．‎ ‎1. 已知向量与向量垂直，则z的值是（　　）‎ A．2 B．1 C．﹣1 D．﹣2‎ 答案及解析：C ‎【考点】M6：空间向量的数量积运算．‎ ‎【分析】利用向量垂直的性质直接求解．‎ ‎【解答】解：∵向量与向量垂直，‎ ‎∴=﹣2×4+3×1+（﹣5）×z=0，‎ 解得z=﹣1．‎ 故选：C．‎ ‎【点评】本题考查实数值的求法，考查向量垂直等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力，考查化归与转化思想、函数与方程思想，是基础题．‎ ‎2圆（x+2）2+y2=5关于y轴对称的圆的方程为（　　）‎ A．x2+（y+2）2=5 B．x2+（y﹣2）2=5 C．（x﹣2）2+y2=5 D．（x﹣2）2+（y﹣2）2=5‎ 答案及解析：C ‎【考点】J6：关于点、直线对称的圆的方程．‎ ‎【分析】求出关于y轴对称的圆的圆心坐标为（2，0），半径还是2，从而求得所求的圆的方程．‎ ‎【解答】解：已知圆关于y轴对称的圆的圆心坐标为（2，0），半径不变，还是2，‎ 故对称圆的方程为（x﹣2）2+y2=5，‎ 故选：C．‎ ‎3圆心为（2，﹣1）且与直线3x﹣4y+5=0相切的圆方程是（　　）‎ A．x2+y2+4x﹣2y﹣4=0 B．x2+y2﹣4x+2y﹣4=0‎ C．x2+y2﹣4x+2y+4=0 D．x2+y2+4x+2y﹣6=0‎ 答案及解析：B ‎【考点】J9：直线与圆的位置关系．‎ ‎【分析】根据直线3x﹣4y+5=0为所求圆的切线，得到圆心到切线的距离等于圆的半径，故利用点到直线的距离公式求出圆心到已知直线的距离d，即为圆的半径r，根据圆心和半径写出圆的标准方程，整理后即可得到正确的选项．‎ ‎【解答】解：∵圆心（2，﹣1）到直线3x﹣4y+5=0的距离d==3，‎ ‎∴所求圆的半径r=3，‎ 则所求圆的方程为：（x﹣2）2+（y+1）2=9，即x2+y2﹣4x+2y﹣4=0．‎ 故选B ‎4圆C1：x2+y2+2x+8y﹣8=0与圆C2：x2+y2﹣4x﹣4y﹣1=0的位置关系是（　　）‎ A．外离 B．外切 C．相交 D．内含 答案及解析：C ‎【考点】圆与圆的位置关系及其判定．‎ ‎【分析】由圆C1：x2+y2+2x+8y﹣8=0的圆心C1（﹣1，﹣4），半径r1=5，圆C2：x2+y2﹣4x﹣4y﹣1=0的圆心C2（2，2），半径r2=3，知|r1﹣r2|＜|C1C2|＜r1+r2，由此得到圆C1与圆C2相交．‎ ‎【解答】解：∵圆C1：x2+y2+2x+8y﹣8=0的圆心C1（﹣1，﹣4），‎ 半径r1==5，‎ 圆C2：x2+y2﹣4x﹣4y﹣1=0的圆心C2（2，2），‎ 半径r2==3，‎ ‎∴|C1C2|==3，|r1﹣r2|=2，，‎ ‎∵|r1﹣r2|＜|C1C2|＜r1+r2，‎ ‎∴圆C1与圆C2相交．‎ 故选C．‎ ‎【点评】本题考查圆与圆的位置关系的判断，是基础题．解题时要认真审题，仔细解答．　‎ ‎5对任意的实数m，直线y=mx+1与圆x2+y2=4的位置关系一定是（　　）‎ A．相切 B．相交且直线过圆心 C．相交且直线不过圆心 D．相离 答案及解析：C ‎【考点】直线与圆的位置关系．‎ ‎【分析】对任意的实数m，直线y=mx+1恒过点（0，1），且斜率存在，判断（0，1）在圆x2+y2=4的关系，可得结论．‎ ‎【解答】解：对任意的实数m，直线y=mx+1恒过点（0，1），且斜率存在 ‎∵（0，1）在圆x2+y2=4内，圆心坐标（0，0）不满足y=mx+1，所以直线不经过圆的圆心，‎ ‎∴对任意的实数m，直线y=mx+1与圆x2+y2=2的位置关系一定是相交但直线不过圆心 故选：C．‎ ‎6设曲线C的方程为（x﹣2）2+（y+1）2=9，直线l的方程x﹣‎ ‎3y+2=0，则曲线上的点到直线l的距离为的点的个数为（　　）‎ A．1 B．2 C．3 D．4‎ 答案及解析：B ‎【考点】JA：圆与圆的位置关系及其判定．‎ ‎【分析】求出圆心坐标，利用圆心到直线的距离与条件之间的关系即可得到结论．‎ ‎【解答】解：由（x﹣2）2+（y+1）2=9，得圆心坐标为C（2，﹣1），半径r=3，‎ 圆心到直线l的距离d=．‎ ‎∴要使曲线上的点到直线l的距离为，‎ ‎∴此时对应的点位于过圆心C的直径上，‎ 故有两个点．‎ 故选：B．‎ ‎【点评】本题主要考查直线和圆的位置关系的应用，利用点到直线的距离公式是解决本题的关键．‎ ‎11直线y=kx+3与圆（x﹣2）2+（y﹣3）2=4相交于M，N两点，若，则k的取值范围是（　　）‎ A． B． C． D．‎ 答案及解析：B ‎【考点】直线和圆的方程的应用．‎ ‎【分析】直线与圆相交，有两个公共点，设弦长为L，弦心距为d，半径为r，则可构建直角三角形，从而将问题仍然转化为点线距离问题．‎ ‎【解答】解：圆（x﹣2）2+（y﹣3）2=4的圆心为（2，3），半径等于2，‎ 圆心到直线y=kx+3的距离等于d=‎ 由弦长公式得MN=2≥2，‎ ‎∴≤1，‎ 解得，‎ 故选B．‎ ‎8已知正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，E为侧面BCC1B1的中心．若=z+x+y，则x+y+z的值为（　　）‎ A．1 B． C．2 D．‎ 答案及解析：C ‎【考点】空间向量的加减法．‎ ‎【分析】利用向量的三角形法则、空间向量基本定理即可得出．‎ ‎【解答】解：如图所示，‎ ‎∵=+=+‎ ‎=++=z+x+y，‎ ‎∴z=，x=1，y=，‎ ‎∴x+y+z=2，‎ 故选：C．‎ ‎10.已知，，则的最小值为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ 答案及解析：A ‎7.设平面的一个法向量为，平面的一个法向量为，‎ 若，则k＝ （ ）‎ A．2 B． 4 C．－2 D．－4‎ 答案及解析：B ‎12. 正方体ABCD﹣A1B1C1D1的棱长为2，则D1到平面A1BD的距离为（　　）‎ A． B． C． D．‎ 答案及解析：D ‎【考点】点、线、面间的距离计算．‎ ‎【分析】以D为原点，以DA为x轴，DC为y轴，DD1为z轴，建立空间直角坐标系，正方体ABCD﹣A1B1C1D1的棱长为2，知，，设面DBA1的法向量，由，知，由向量法能求出D1到平面A1BD的距离．‎ ‎【解答】解：以D为原点，以DA为x轴，DC为y轴，DD1为z轴，建立空间直角坐标系，‎ ‎∵正方体ABCD﹣A1B1C1D1的棱长为2，‎ ‎∴D（0，0，0），A1（2，0，2），B（2，2，0），D1（0，0，2），‎ ‎∴，，‎ 设面DBA1的法向量，‎ ‎∵，‎ ‎∴，∴，‎ ‎∴D1到平面A1BD的距离d===．‎ 故选D．‎ ‎【点评】本题考查点线面间的距离计算，是基础题，解题时要认真审题，仔细解答，注意向量法的合理运用．‎ 二、填空题（本题共4道小题，每小题0分，共0分）‎ ‎13若点（2a，a+1）在圆x2+（y﹣1）2=5的内部，则a的取值范围是　　．‎ 答案及解析：﹣1＜a＜1‎ ‎【考点】J5：点与圆的位置关系．‎ ‎【分析】根据点（2a，a﹣1）在圆x2+（y﹣1）2=5的内部，可得不等式4a2+a2＜5，解之即可求得a的取值范围 ‎【解答】解：由题意，4a2+a2＜5‎ 解之得：﹣1＜a＜1．‎ 故答案为：﹣1＜a＜1．‎ ‎14已知圆x2﹣4x﹣4+y2=0上的点P（x，y），求x2+y2的最大值　 　．‎ 答案及解析：‎ ‎【考点】点与圆的位置关系．‎ ‎【分析】利用圆的方程求出x的范围，然后整理出x2+y2的表达式，即可求出最大值．‎ ‎【解答】解：因为圆x2﹣4x﹣4+y2=0化为（x﹣2）2+y2=8，所以（x﹣2）2≤8，‎ 解得2﹣2≤x≤2+2，‎ 圆上的点P（x，y），‎ 所以x2+y2=4x+4≤．‎ 故答案为：．‎ ‎15已知关于x，y的方程组有两组不同的解，则实数m的取值范围是　　．‎ 答案及解析：[0，﹣1+）‎ ‎【考点】直线与圆的位置关系．‎ ‎【分析】关于x，y的方程组有两组不同的解，则表示两个方程对应的曲线有两个不同的交点，从而可得满足条件的实数m的取值范围．‎ ‎【解答】解：方程y=可化为（x+1）2+y2=1（y≥0）‎ 表示圆心为（﹣1，0）、半径为1的圆x轴以上部分（含于x轴交点）．‎ 设直线x+y﹣m=0与圆相切，则=1，‎ ‎∴m=﹣1±‎ 直线x+y﹣m=0过原点时，m=0，‎ ‎∴关于x，y的方程组有两组不同的解时，m∈[0，﹣1+）．‎ 故答案为：[0，﹣1+）．‎ ‎16在正方体中，分别为棱和的中点，则sin〈，〉的值为________．‎ 答案及解析：‎ 三、解答题 ‎18已知圆C经过点A（1，4）、B（3，﹣2），圆心C到直线AB的距离为，求圆C的方程．‎ 答案及解析：‎ ‎【考点】JE：直线和圆的方程的应用．‎ ‎【分析】解法I：设圆心C（a，b），半径为r，圆C经过点A（1，4）、B（3，﹣2），圆心C到直线AB的距离为，由垂径定理可得，圆心与直线AB的中点M的连线长度为，且与AB垂直，由此建立关于a，b，r的方程组，进而得到圆C的方程．‎ 解法II：由已知中圆C经过点A（1，4）、B（3，﹣2），我们由垂径定理得到C点在AB的中垂线上，可设C点坐标为C（3b﹣1，b），进而根据圆心C到直线AB的距离为，构造方程求出b值，进而求出圆的半径，得到圆C的方程．‎ ‎【解答】解：法Ⅰ：设圆心C（a，b），半径为r 易见线段AB的中点为M（2，1）…‎ ‎∵CM⊥AB，‎ ‎∴即：3b=a+1①…‎ 又∵∴（a﹣2）2+（b﹣1）2=10②…‎ 联立①②得或 即C（﹣1，0）或C（5，2）…‎ ‎∴r2=|CA|2=20‎ 故圆的方程为：（x+1）2+y2=20或（x﹣5）2+（y﹣2）2=20…‎ 法Ⅱ：∵A（1，4）、B（3，﹣2）‎ ‎∴直线AB的方程为：3x+y﹣7=0…‎ ‎∵线段AB的中点为M（2，1）‎ ‎∴圆心C落在直线AB的中垂线：x﹣3y+1=0上．…‎ 不妨设C（3b﹣1，b）…‎ ‎∴…‎ 解得b=0或b=2‎ 即C（﹣1，0）或C（5，2）…∴r2=|CA|2=20‎ 故圆的方程为：（x+1）2+y2=20或（x﹣5）2+（y﹣2）2=20…‎ ‎17若圆经过点（2,0）,（0,4),（0,2）‎ ‎ 求：（1）圆的方程 ‎（2）圆的圆心和半径 答案及解析：（1）；（2）圆心为（3,3），半径.‎ 试题分析：(1)已知圆上三点，设圆的一般方程：，将圆上三点代入，解得参数，即得圆的方程；（2）根据公式圆心坐标为,半径.‎ 试题解析：（1）设圆的一般式为将已知点代入方程得解得所以圆的方程为................................5分 ‎（2），所以圆心为（3,3）=‎ ‎ ...............................................10分 考点：圆的方程 ‎19已知圆C的方程：x2+y2﹣2x﹣4y+m=0‎ ‎（1）求m的取值范围；‎ ‎（2）若圆C与直线l：x+2y﹣4=0相交于M，N两点，且|MN|=，求m的值．‎ 答案及解析：‎ ‎【考点】J9：直线与圆的位置关系．‎ ‎【分析】（1）方程x2+y2﹣2x﹣4y+m=0，可化为（x﹣1）2+（y﹣2）2=5﹣m，利用方程表示圆，即可求m的取值范围；‎ ‎（2）求出圆心C（1，2）到直线l：x+2y﹣4=0的距离，利用|MN|=，求m的值．‎ ‎【解答】解：（1）方程x2+y2﹣2x﹣4y+m=0，可化为（x﹣1）2+（y﹣2）2=5﹣m，‎ ‎∵此方程表示圆，‎ ‎∴5﹣m＞0，即m＜5．‎ ‎（2）圆的方程化为 （x﹣1）2+（y﹣2）2=5﹣m，圆心 C（1，2），半径，‎ 则圆心C（1，2）到直线l：x+2y﹣4=0的距离为 ‎ 由于，则，有，‎ ‎∴，得m=4．‎ ‎【点评】本题考查圆的方程，考查直线与圆的位置关系，考查点到直线的距离公式，属于中档题．‎ ‎21已知圆C的方程是（x﹣1）2+（y﹣1）2=4，直线l的方程为y=x+m，求：当m为何值时 ‎（1）直线平分圆；‎ ‎（2）直线与圆相切；‎ ‎（3）直线与圆有两个公共点．‎ 答案及解析：‎ ‎【考点】直线与圆的位置关系．‎ ‎【分析】（1）根据题意，由圆的方程找出圆心坐标和圆的半径r，直线平分圆即直线过圆心，所以把圆心坐标代入直线方程中即可求出m的值；‎ ‎（2）直线与圆相切时，圆心到直线的距离等于半径，所以利用点到直线的距离公式表示出圆心到已知直线的距离d，让d等于圆的半径列出关于m的方程，求出方程的解即可得到符合题意m的值；‎ ‎（3）直线与圆有两公共点即直线与圆相交，即圆心到直线的距离公式小于圆的半径，所以利用点到直线的距离公式表示出圆心到直线的距离d，让d小于圆的半径列出关于m的不等式，求出不等式的解集即可得到满足题意的m的范围．‎ ‎【解答】解：由圆的方程（x﹣1）2+（y﹣1）2=4，得到圆心坐标为（1，1），圆的半径r=2，‎ ‎（1）当直线平分圆时，即直线过圆的直径，把（1，1）代入y=x+m中，解得m=0；‎ ‎（2）当直线与圆相切时，圆心（1，1）到直线y=x+m的距离d==r=2，解得m=±2；‎ ‎（3）当直线与圆有两个公共点即直线与圆相交时，圆心（1，1）到直线的距离d=＜r=2，‎ 解得：﹣2＜m＜2．‎ 所以，当m=0时，直线平分圆；当m=±2时，直线与圆相切；当﹣2＜m＜2时，直线与圆有两个公共点．‎ ‎【点评】此题考查学生掌握直线与圆相切及相交时所满足的条件，是一道综合题．‎ ‎20如图所示，正三棱柱ABC﹣A1B1C1的底面边长与侧棱长均为2，D为AC中点．‎ ‎（1）求证：B1C∥平面A1DB；‎ ‎（2）求直线BD与平面A1BC1所成的角的正弦值．‎ ‎ ‎ 答案及解析：【考点】直线与平面所成的角；直线与平面平行的判定．‎ ‎【分析】（1）连结AB1，交A1B于点O，由三角形中位线定理得OD∥B1C，由此能证明B1C∥平面A1DB．‎ ‎（2）取A1C1中点E，以D为原点，DC为x轴，DB为y轴，DE为z轴，建立空间直角坐标系，由此利用向量法能求出直线BD与平面A1BC1所成的角的正弦值．‎ ‎【解答】证明：（1）连结AB1，交A1B于点O，‎ ‎∵正三棱柱ABC﹣A1B1C1中，ABB1A1是矩形，‎ ‎∴O是AB1中点，‎ ‎∵D为AC中点，∴OD∥B1C，‎ ‎∵OD⊂平面A1DB，B1C⊄平面A1DB，‎ ‎∴B1C∥平面A1DB．‎ 解：（2）取A1C1中点E，以D为原点，DC为x轴，DB为y轴，DE为z轴，建立空间直角坐标系，‎ ‎∵正三棱柱ABC﹣A1B1C1的底面边长与侧棱长均为2，D为AC中点，‎ ‎∴B（0，，0），D（0，0，0），A1（﹣1，0，2），C1（1，0，2），‎ ‎=（0，﹣，0），=（﹣1，﹣，2），=（1，﹣，2），‎ 设平面A1BC1的法向量=（x，y，z），‎ 则，取y=1，得=（0，2，3），‎ 设直线BD与平面A1BC1所成的角为θ，‎ 则sinθ=|cos＜＞|=||=||=‎ ‎∴直线BD与平面A1BC1所成的角的正弦值为．‎ ‎ ‎ ‎　‎ ‎22已知正四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1中，AB=2，AA1=4．‎ ‎（Ⅰ）求证：BD⊥A1C；‎ ‎（Ⅱ）求二面角A﹣A1C﹣D1的余弦值；‎ ‎（Ⅲ）在线段CC1上是否存在点P，使得平面A1CD1⊥平面PBD，若存在，求出的值；若不存在，请说明理由．‎ 答案及解析：‎ ‎【考点】与二面角有关的立体几何综合题；直线与平面平行的性质；直线与平面垂直的性质．‎ ‎【分析】（Ⅰ）由已知条件推导出BD⊥AA1，BD⊥AC，从而得到BD⊥平面A1AC，由此能证明BD⊥A1C．‎ ‎（Ⅱ） 以D为原点建立空间直角坐标系D﹣xyz，利用向量法能求出二面角A﹣A1C﹣D1的余弦值．‎ ‎（Ⅲ）设P（x2，y2，z2）为线段CC1上一点，且=，0≤λ≤1．利用向量法能求出当=时，平面A1CD1⊥平面PBD．‎ ‎【解答】（本小题满分14分）‎ ‎（Ⅰ）证明：∵ABCD﹣A1B1C1D1为正四棱柱，‎ ‎∴AA1⊥平面ABCD，且ABCD为正方形．…‎ ‎∵BD⊂平面ABCD，∴BD⊥AA1，BD⊥AC．…‎ ‎∵AA1∩AC=A，∴BD⊥平面A1AC．…‎ ‎∵A1C⊂平面A1AC，‎ ‎∴BD⊥A1C．…‎ ‎（Ⅱ）解：如图，以D为原点建立空间直角坐标系D﹣xyz．‎ 则D（0，0，0），A（2，0，0），C（0，2，0），A1（2，0，4），B1（2，2，4），‎ C1（0，2，4），D1（0，0，4），…‎ ‎∵=（2，0，0），=（0，2，﹣4）．‎ 设平面A1D1C的法向量=（x1，y1，z1）．‎ ‎∴．即，…‎ 令z1=1，则y1=2．∴=（0，2，1）．‎ 由（Ⅰ）知平面AA1C的法向量为=（2，2，0）．…‎ ‎∴cos＜＞==．…‎ ‎∵二面角A﹣A1C﹣D1为钝二面角，‎ ‎∴二面角A﹣A1C﹣D1的余弦值为﹣．…‎ ‎（Ⅲ）解：设P（x2，y2，z2）为线段CC1上一点，且=，0≤λ≤1．‎ ‎∵=（x2，y2﹣2，z2），=（﹣x2，2﹣y2，4﹣z2）．‎ ‎∴（x2，y2﹣2，z2）=λ（﹣x2，2﹣y2，4﹣z2）．…‎ 即．‎ ‎∴P（0，2，）．…‎ 设平面PBD的法向量．‎ ‎∵，，‎ ‎∴．即．…‎ 令y3=1，得=（﹣1，1，﹣）．…‎ 若平面A1CD1⊥平面PBD，则=0．‎ 即2﹣=0，解得．‎ 所以当=时，平面A1CD1⊥平面PBD．…‎