2018-2019学年内蒙古杭锦后旗奋斗中学高二上学期期末考试数学（文）试题（解析版）

2018-2019学年内蒙古杭锦后旗奋斗中学高二上学期期末考试数学（文）试题（解析版）

‎2018-2019学年内蒙古杭锦后旗奋斗中学高二上学期期末考试数学（文）试题 一、单选题 ‎1．①某学校高二年级共有526人，为了调查学生每天用于休息的时间，决定抽取10%的学生进行调查；②一次数学考试中，某班有10人的成绩在100分以上，32人的成绩在90～100分，12人的成绩低于90分，现从中抽取9人了解有关情况；③运动会的工作人员为参加4×100 m接力赛的6支队伍安排跑道．针对这三件事，恰当的抽样方法分别为(　　)‎ A．分层抽样，分层抽样，简单随机抽样 B．系统抽样，系统抽样，简单随机抽样 C．分层抽样，简单随机抽样，简单随机抽样 D．系统抽样，分层抽样，简单随机抽样 ‎【答案】D ‎【解析】①某学校高二年级共有526人，为了调查学生每天用于休息的时间，决定抽取10%的学生进行调查，此项调查的总体数目较多，而且差异不大，符合系统抽样的适用范围。‎ ‎②一次数学月考中，某班有10人在100分以上，32人在90∼100分，12人低于90分，现从中抽取9人了解有关情况，此项抽查的总体数目较多，而且差异很大，符合分层抽样的适用范围。‎ ‎③运动会工作人员为参加4×100m接力赛的6支队伍安排跑道，此项抽查，的总体个数不多，而且差异不大，符合简单随机抽样的适用范围。‎ 本题选择D选项.‎ 点睛：一是简单随机抽样(抽签法和随机数法)都是从总体中逐个地进行抽取，都是不放回抽样．‎ 二是三种抽样方法在抽样过程中每个个体被抽到的可能性都相等，‎ ‎2．有四个游戏盘面积相等，将它们水平放稳后，在上面扔一颗玻璃小球，若小球落在阴影部分，则可中奖，小明要想增加中奖机会，应选择的游戏盘是 （ ）‎ ‎【答案】A ‎【解析】本题考查的是几何概型，小明要想增加中奖机会，应选择阴影面积占的比例比较大的游戏盘，对于A阴影面积占，对于B阴影面积占，对于C阴影面积占，对于D阴影面积占，∴A图中的游戏盘小明中奖的概率大，故选A ‎3．点的直角坐标是，则点的极坐标为 A． B．‎ C． D．‎ ‎【答案】C ‎【解析】试题分析：利用ρcosθ=x，ρsinθ=y，ρ2=x2+y2，先将点M的直角坐标是后化成极坐标即可．解：由于ρ2=x2+y2，得：ρ2=4，ρ=2，‎ 由ρcosθ=x得：cosθ=-，结合点在第二象限得：θ=则点M的极坐标为故选A．‎ ‎【考点】极坐标和直角坐标的互化 点评：本题考查点的极坐标和直角坐标的互化，利用直角坐标与极坐标间的关系，即利用ρcosθ=x，ρsinθ=y，ρ2=x2+y2，进行代换即得 ‎4．极坐标方程所表示的曲线是（ ）‎ A．一条直线 B．一个圆 C．一条抛物线 D．一条双曲线 ‎【答案】C ‎【解析】试题分析：极坐标方程的两边同乘以可得，因为，所以上述方程化为直角坐标方程为，它表示的是一条抛物线，故选C.‎ ‎【考点】抛物线的极坐标方程与直角坐标方程的互化.‎ ‎【方法点晴】本题主要考查了极坐标方程与直角坐标方程的互化，把给出的极坐标方程化成直角坐标方程，就可以判断方程表示的曲线形状，属于基础题.直角坐标和极坐标的关系是，同时，转化时常常根据互化的需要对原有的方程进行变形，本题中在给出的极坐标方程两边同乘以极径就可以达到化为直角坐标方程的目的.‎ ‎5．命题“存在”的否定是 ( )‎ A．不存在 B．存在 C．对任意的 D．对任意的 ‎【答案】D ‎【解析】根据特称命题的否定是全称命题，可以直接写出答案来．‎ ‎【详解】‎ 根据特称命题的否定是全称命题，得结论；‎ 命题“存在x0∈R，使2x0≤0”的否定是 ‎“对任意的x∈R，使2x＞0”．‎ 故选：D．‎ ‎【点睛】‎ 本题考查了特称命题与全称命题的应用问题，应记住“特称命题的否定是全称命题，全称命题的否定是特称命题”．‎ ‎6．已知回归直线的斜率的估计值是1.23，样本点的中心为（4，5），则回归直线的方程是 ( )‎ A． B．‎ C． D．‎ ‎【答案】C ‎【解析】设出回归直线方程，将样本点的中心代入，即可求得回归直线方程．‎ ‎【详解】‎ 设回归直线方程为1.23x+a ‎∵样本点的中心为（4，5），‎ ‎∴5＝1.23×4+a ‎∴a＝0.08‎ ‎∴回归直线方程为1.23x+0.08‎ 故选：C．‎ ‎【点睛】‎ 本题考查线性回归方程，考查学生的计算能力，属于基础题．‎ ‎7．有60件产品，编号为01至60，现从中抽取5件检验，用系统抽样的方法所确定的抽样编号是（ ）‎ A．5, 17, 29, 41, 53 B．5, 12, 31, 39, 57‎ C．5, 15, 25, 35, 45 D．5, 10, 15, 20, 25‎ ‎【答案】A ‎【解析】试题分析：∵根据题意可知，系统抽样得到的产品的编号应该具有相同的间隔，总体是60个，从中抽取5个，那么可知间隔是 60:5=12，∴只有D符合要求，即后面的数比前一个数大12．故选A．‎ ‎【考点】本题主要考查了系统抽样，是一个基础题，解题时抓住系统抽样的特点，找出符合题意的编号，这种题目只要出现一定是我们必得分的题目．‎ 点评：解决该试题的关键是根据题意可知，本题所说的用系统抽样的方法所确定的抽样编号间隔应该是60:5=12，观察所给的四组数据，只有最后一组符合题意．‎ ‎8．“”是“”的( )‎ A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 ‎【答案】A ‎【解析】根据充分条件和必要条件的定义进行判断.‎ ‎【详解】‎ 当a>0时,a2>0一定成立;a2>0时,a>0或a<0,故“a>0”是“a2>0”的充分不必要条件.故选A.‎ ‎【点睛】‎ 根据充分条件的定义和必要条件的定义判断，首先要分清条件p与结论q，若，则p是q的充分条件.若q不能推出p,则p是q的不必要条件.‎ ‎9．双曲线的焦点坐标为(　　)‎ A． B．‎ C． D．‎ ‎【答案】D ‎【解析】利用双曲线方程，化为标准方程，然后求解双曲线的焦点坐标．‎ ‎【详解】‎ 双曲线x2﹣4y2＝4，标准方程为：，‎ 可得a＝2，b＝1，c，‎ 所以双曲线的焦点坐标：（±，0）．‎ 故选：D．‎ ‎【点睛】‎ 本题考查双曲线的焦点坐标的求法，双曲线的简单性质的应用，考查计算能力．‎ ‎10．从五件正品，一件次品中随机取出两件，则取出的两件产品中恰好是一件正品，一件次品的概率是（ ）‎ A．1 B． C． D．‎ ‎【答案】C ‎【解析】根据古典概型事件概率，依次列举出所有可能，根据符合要求的事件占所有事件的比值即为概率。‎ ‎【详解】‎ 设五件正品分别为A、B、C、D、E，次品为1，则取出两件产品的所有可能为 AB,AC,AD,AE,BC,BD,BE,CD,CE,DE,A1,B1,C1,D1,E1共15种可能 符合要求的事件为A1,B1,C1,D1,E1共5种可能，‎ 所以取出的两件产品中恰好是一件正品，一件次品的概率是 ‎ 所以选C ‎【点睛】‎ 本题考查了古典概型事件概率的求法，当事件数量不多时，可全部列举出来，属于基础题。‎ ‎11．在长为10 cm的线段AB上任取一点G,以AG为半径作圆,则圆的面积介于36π与64πcm2的概率是(　　)‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】D ‎【解析】本题利用几何概型求解．先算出事件发生的总区域的测度，即为线段AB的长度，再计算出圆的面积介于36πcm2到64πcm2的包含的区域长度，它们的比值就是圆的面积介于36πcm2到64πcm2的概率．‎ ‎【详解】‎ 因为事件满足几何概型，事件发生的总区域为线段AB的长度10cm，‎ 设“圆的面积介于36πcm2到64πcm2”为事件B，事件B包含的区域长度为2厘米，‎ ‎∴P（B）．‎ 故选：D．‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查了几何概型，几何概型的特点有下面两个：（1）试验中所有可能出现的基本事件有无限多个．（2）每个基本事件出现的可能性相等．属于基础题．‎ ‎12．已知，是椭圆的两个焦点，是上的一点，若，且，则的离心率为 A． B． C． D．‎ ‎【答案】D ‎【解析】分析：设，则根据平面几何知识可求，再结合椭圆定义可求离心率.‎ 详解：在中，‎ 设，则，‎ 又由椭圆定义可知 则离心率，‎ 故选D.‎ 点睛：‎ 椭圆定义的应用主要有两个方面：一是判断平面内动点与两定点的轨迹是否为椭圆，二是利用定义求焦点三角形的周长、面积、椭圆的弦长及最值和离心率问题等；“焦点三角形”是椭圆问题中的常考知识点，在解决这类问题时经常会用到正弦定理，余弦定理以及椭圆的定义.‎ 二、填空题 ‎13．已知甲、乙两组数据的茎叶图如图所示，若它们的中位数相同，则甲组数据的平均数为______________‎ ‎【答案】31. ‎ ‎【解析】分析：根据中位数相同求出的值，从而根据平均数公式可求出甲的平均数.‎ 详解：因为乙的数据是 所以其中位数是，‎ 所以，‎ ‎，故答案为.‎ 点睛：本题主要考查茎叶图的应用、中位数、平均数的求法，属于中档题.（1）中位数，如果样本容量是奇数，中间的数既是中位数，如果样本容量为偶数中间两位数的平均数既是中位数；（2）平均数公式为 .‎ ‎14．已知一组数据2，4，5，6，8，那么这组数据的方差是_____________．‎ ‎【答案】4‎ ‎【解析】先求出这组数据的平均数，再求这组数据的方差．‎ ‎【详解】‎ 一组数据2，4，5，6，8，‎ 这组数据的平均数==5，‎ 这组数据的方差S2=[（2﹣5）2+（4﹣5）2+（5﹣5）2+（6﹣5）2+（8﹣5）2]=4．‎ 故答案为：4．‎ ‎【点睛】‎ 本题考查方差的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意方差公式的合理运用．‎ ‎15．执行如图所示的程序框图，则输出的S为________．‎ ‎【答案】86‎ ‎【解析】根据程序框图，将每一次T值代入循环结构进行判断，直到不满足循环条件为止.‎ ‎【详解】‎ 由题意得，S＝21－0＝2，T＝2；S＝22－2＝2，T＝3；S＝23－2＝6，T＝4；S＝24－6＝10，T＝5；S＝25－10＝22，T＝6；S＝26－22＝42，T＝7；S＝27－42＝86>50，T＝8，结束循环．故输出结果为86.‎ 故答案为：86.‎ ‎【点睛】‎ 这个题目考查的是框图中的循环结构，计算输出结果，对于循环结构的框图关键是将每一次循环的结果都按题意写出来，直到满足输出条件为止.‎ ‎16．曲线的参数方程是（为参数），则曲线的普通方程是___________.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】利用cos2+sin2＝1可得曲线C的参数方程化为直角坐标方程．‎ ‎【详解】‎ ‎∵曲线的参数方程是（为参数），且cos2+sin2＝1‎ ‎∴‎ 故答案为：‎ ‎【点睛】‎ 把参数方程化为普通方程，消去参数的常用方法有：①代入消元法；②加减消元法；③乘除消元法；④三角恒等式消元法.‎ 三、解答题 ‎17．高一军训时，某同学射击一次，命中10环，9环，8环的概率分别为0.13,0.28,0.31.‎ ‎(1)求射击一次，命中10环或9环的概率；‎ ‎(2)求射击一次，至少命中8环的概率；‎ ‎(3)求射击一次，命中环数小于9环的概率．‎ ‎【答案】（1）P(A10)＝0.13，P(A9)＝0.28，P(A8)＝0.31；（2）0.41；（3）0.59.‎ ‎【解析】（1）利用互斥事件概率的加法公式求解，即可得到答案；‎ ‎（2）利用互斥事件概率的加法公式，即可求解；‎ ‎（3）利用对立事件的概率计算公式，即可求解．‎ ‎【详解】‎ 设事件“射击一次，命中i环”为事件Ai(0≤i≤10，且i∈N)，且Ai两两互斥．‎ 由题意知P(A10)＝0.13，P(A9)＝0.28，P(A8)＝0.31.‎ ‎(1)记“射击一次，命中10环或9环”的事件为A，那么P(A)＝P(A10)＋P(A9)＝0.13＋0.28＝0.41.‎ ‎(2)记“射击一次，至少命中8环”的事件为B，那么P(B)＝P(A10)＋P(A9)＋P(A8)＝0.13＋0.28＋0.31＝0.72.‎ ‎(3)记“射击一次，命中环数小于9环”的事件为C，则C与A是对立事件，‎ ‎∴P(C)＝1－P(A)＝1－0.41＝0.59.‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查了互斥事件和对立事件的概率的计算问题，其中明确互斥事件和对立的事件的概念和互斥事件和对立时间的概率计算公式是解答的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力，属于基础题．‎ ‎18．已知曲线 ‎（1）求其长轴长，焦点坐标，离心率；‎ ‎（2）求与已知曲线共焦点且离心率为的双曲线方程；‎ ‎【答案】(1) 长轴18，，焦点，（2） ‎ ‎【解析】试题分析：（1）由椭圆方程，明确a=9，b=3，c=6，从而求得长轴长，焦点坐标，离心率；（2）设出双曲线方程,利用条件布列的方程组，解之即可.‎ 试题解析：‎ 椭圆的标准方程为，∴a=9，b=3，c=6‎ ‎(1)由题意易得：长轴长2a=18，焦点坐标、离心率．‎ ‎(2)设双曲线方程为：‎ 又双曲线与椭圆共焦点且离心率为 ‎∴，解得：‎ ‎∴双曲线方程为：‎ ‎19．在直角坐标系中，以坐标原点为极点，轴的非负半轴为极轴建立极坐标系．已知点的极坐标为，直线的极坐标方程为，且点在直线上．‎ ‎（1）求的值及直线的直角坐标方程；‎ ‎（2）圆的极坐标方程为，试判断直线与圆的位置关系．‎ ‎【答案】（1） ； （2）直线与圆相交.‎ ‎【解析】（1）由点A在直线l上，代入可得cos（）＝a，解得a．由ρcos（θ），展开化为：，利用互化公式即可得出．‎ ‎（2）圆C的极坐标方程为ρ＝2cosα化为：（x﹣1）2+y2＝1．可得圆心，半径，求出圆心到直线的距离d，与半径r比较大小关系，即可得出．‎ ‎【详解】‎ ‎（1）由点在直线上，可得，‎ 所以直线的方程可化为，从而直线的直角坐标方程为.‎ ‎（2）由已知得圆C的直角坐标方程为，‎ 所以圆心为 ，半径，所以圆心到直线的距离，‎ 所以直线与圆相交．‎ ‎【点睛】‎ 本题考查了极坐标方程化为直角坐标方程、直线与圆的位置关系、点到直线的距离公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．‎ ‎20．某中学为弘扬优良传统，展示80年来的办学成果，特举办“建校80周年教育成果展示月”活动。现在需要招募活动开幕式的志愿者，在众多候选人中选取100名志愿者，为了在志愿者中选拔出节目主持人，现按身高分组，得到的频率分布表如图所示.‎ ‎ ‎ ‎（1）请补充频率分布表中空白位置相应数据，再在答题纸上完成下列频率分布直方图；‎ ‎（2）为选拔出主持人，决定在第3、4、5组中用分层抽样抽取6人上台，求第3、4、5组每组各抽取多少人？‎ ‎（3）在（2）的前提下，主持人会在上台的6人中随机抽取2人表演诗歌朗诵，求第3组至少有一人被抽取的概率？‎ 参考公式：‎ ‎.‎ ‎【答案】（1）见解析； （2）3,2,1； （3）.‎ ‎【解析】（1‎ ‎）根据频率、频数与样本容量的关系，求出对应的数值，画出频率分布直方图；‎ ‎（2）利用分层抽样原理，求出各小组应抽取的人数；‎ ‎（3）利用列举法求出基本事件数，计算对应的概率值．‎ ‎【详解】‎ ‎(1)第二组的频数为，故第三组的频数为，故第三组的频率为0.3，第五组的频率为0.1，补全后频率分布表为：‎ 组号 分组 频数 频率 第一组 ‎ ‎ ‎ ‎ ‎0.05 ‎ 第二组 ‎ ‎ ‎0.35 ‎ 第三组 ‎ ‎ ‎0.3 ‎ 第四组 ‎ ‎ ‎0.2 ‎ 第五组 ‎ ‎ ‎0.1 ‎ 合计 ‎100‎ ‎1‎ 频率分布直方图为：‎ ‎（2）第三组、第四组、第五组的频率之比3:2:1，‎ 故第三组、第四组、第五组抽取的人数分别为3,2,1.‎ ‎（3）设第三组中抽取的三人为，第四组中抽取的两人为，第五组中抽取的一人为C，则6人中任意抽取两人，所有的基本事件如下：‎ ‎，，，，，，，，，，，，，，，‎ 故第三组中至少有1人被抽取的概率为.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查了频率分布直方图的应用问题，也考查了分层抽样方法的应用问题，考查了利用列举法求概率的应用问题，是基础题目．‎ ‎21．某研究机构对某校高二文科学生的记忆力x和判断力y进行统计分析，得下表数据．‎ x ‎6‎ ‎8‎ ‎10‎ ‎12‎ y ‎2‎ ‎3‎ ‎5‎ ‎6‎ ‎(1)请画出上表数据的散点图；‎ ‎(2)请根据上表提供的数据，用最小二乘法求出y关于x的线性回归方程；‎ ‎【答案】（1）见解析； （2）.‎ ‎【解析】（1）把所给的四对数据写成对应的点的坐标，在坐标系中描出来，得到散点图．‎ ‎（2）作出利用最小二乘法来求线性回归方程的系数的量，求出横标和纵标的平均数，求出系数，再求出的值，注意运算不要出错．‎ ‎【详解】‎ ‎(1)散点图如图所示．‎ ‎(2)，，‎ ‎＝(－3) ×(－2)＋(－1) × (－1)＋1×1＋3×2＝14‎ ‎，所以，‎ ‎，故线性回归方程为 ‎【点睛】‎ 本题考查线性回归方程的求法和应用，本题解题的关键是利用最小二乘法做出线性回归方程的系数，属于基础题.‎ ‎22．已知函数．‎ ‎（1）求函数的单调区间；‎ ‎（2）求在区间上的最大值和最小值．‎ ‎【答案】(1) 的递增区间为，递减区间为．‎ ‎(2) 最大值，最小值．‎ ‎【解析】分析：（1）求导数后，由可得增区间，由可得减区间．（2）根据单调性求出函数的极值和区间的端点值，比较后可得最大值和最小值．‎ 详解：（1）∵，‎ ‎∴．‎ 由，解得或；‎ 由，解得，‎ 所以的递增区间为，递减区间为．‎ ‎（2）由（1）知是的极大值点，是的极小值点，‎ 所以极大值，极小值，‎ 又，，‎ 所以最大值，最小值．‎ 点睛：（1）求单调区间时，由可得增区间，由可得减区间，解题时注意导函数的符号与单调性的关系．‎ ‎（2）求函数在闭区间上的最值时，可先求出函数的极值和区间的端点值，通过比较后可得最大值和最小值．‎