2020高中数学 第三章用二分法求方程的近似解

2020高中数学 第三章用二分法求方程的近似解

‎3.1.2　‎用二分法求方程的近似解 学习目标：1.通过具体实例理解二分法的概念及其使用条件．(重点)2.了解二分法是求方程近似解的常用方法，能借助计算器用二分法求方程的近似解．(难点)3.会用二分法求一个函数在给定区间内的零点，从而求得方程的近似解．(易混点)‎ ‎[自 主 预 习·探 新 知]‎ ‎1．二分法的定义 对于在区间[a，b]上连续不断且f(a)·f(b)<0的函数y＝f(x)，通过不断地把函数f(x)的零点所在的区间一分为二，使区间的两个端点逐步逼近零点，进而得到零点近似值的方法叫做二分法．‎ 思考：若函数y＝f(x)在定义域内有零点，该零点是否一定能用二分法求解？‎ ‎[提示]　二分法只适用于函数的变号零点(即函数在零点两侧符号相反)，因此函数在零点两侧 同号的零点不能用二分法求解，如f(x)＝(x－1)2的零点就不能用二分法求解．‎ ‎2．二分法求函数零点近似值的步骤 ‎[基础自测]‎ ‎1．思考辨析 ‎(1)二分法所求出的方程的解都是近似解．(　　)‎ ‎(2)函数f(x)＝|x|可以用二分法求零点．(　　)‎ ‎(3)用二分法求函数零点的近似值时，每次等分区间后，零点必定在右侧区间内．(　　)‎ ‎[答案]　(1)×　(2)×　(3)×‎ ‎2．用二分法求函数f(x)在(a，b)内的唯一零点时，精确度为0.001，则结束计算的条件是(　　)‎ A．|a－b|<0.1 B．|a－b|<0.001‎ C．|a－b|>0.001 D．|a－b|＝0.001‎ B　[据二分法的步骤知当区间长度|b－a|小于精确度ε时，便可结束计算．]‎ ‎3．已知函数y＝f(x)的图象如图311所示，则不能利用二分法求解的零点是________．‎ 图311‎ - 5 -‎ x3　[∵x3左右两侧的函数值同号，故其不能用二分法求解．]‎ ‎4．用二分法研究函数f(x)＝x3＋3x－1的零点时，第一次经过计算得f(0)＜0，f(0.5)＞0，可得其中一个零点x0∈________，第二次应计算________. ‎ ‎【导学号：37102358】‎ ‎(0,0.5)　f(0.25)　[∵f(0)<0，f(0.5)>0，∴x0∈(0,0.5)，故第二次应计算f(0.25)．]‎ ‎[合 作 探 究·攻 重 难]‎ 二分法的概念 ‎　已知函数f(x)的图象如图312所示，其中零点的个数与可以用二分法求解的个数分别为(　　)‎ 图312‎ A．4,4　　　　　　　 B．3,4‎ C．5,4 D．4,3‎ D　[图象与x轴有4个交点，所以零点的个数为4；左右函数值异号的零点有3个，所以用二分法求解的个数为3，故选D.]‎ ‎[规律方法]　判断一个函数能否用二分法求其零点的依据是：其图象在零点附近是连续不断的，且该零点为变号零点.因此，用二分法求函数的零点近似值的方法仅对函数的变号零点适合，对函数的不变号零点不适合. ‎[跟踪训练]‎ ‎1．下列函数图象与x轴均有交点，其中不能用二分法求图中函数零点的是(　　) ‎ ‎【导学号：37102359】‎ A　　　　B　　　　　　C　　　　　D B　[二分法的理论依据是零点存在性定理，必须满足零点两侧函数值异号才能求解．而选项B图中零点两侧函数值同号，即曲线经过零点时不变号，称这样的零点为不变号零点．另外，选项A，C，D零点两侧函数值异号，称这样的零点为变号零点．]‎ - 5 -‎ 用二分法求函数零点的近似值 ‎[探究问题]‎ ‎1．用二分法求方程的近似解，如何决定步骤的结束？‎ 提示：当零点所在区间的两个端点值之差的绝对值小于精确度时，二分法步骤结束．‎ ‎2．用二分法求方程的近似解时，精确度不同对零点有影响吗？‎ 提示：精确度决定步骤的始终，故精确度不同，零点可能会不同．‎ ‎　求函数f(x)＝x3－3x2－9x＋1的一个负零点(精确度0.01). ‎ ‎【导学号：37102360】‎ 思路探究： ‎[解]　确定一个包含负数零点的区间(m，n)，‎ 且f(m)·f(n)<0.因为f(－1)>0，f(－2)<0，‎ 所以可以取区间(－2，－1)作为计算的初始区间，‎ 当然选取在较大的区间也可以．用二分法逐步计算，列表如下：‎ 端点(中点)‎ 端点或中点 的函数值 取值区间 f(－1)>0，‎ f(－2)<0‎ ‎(－2，－1)‎ x0＝＝－1.5‎ f(x0)＝4.375>0‎ ‎(－2，－1.5)‎ x1＝＝－1.75‎ f(x1)≈2.203>0‎ ‎(－2，－1.75)‎ x2＝＝－1.875‎ f(x2)≈0.736>0‎ ‎(－2，－1.875)‎ x3＝＝－1.937 5‎ f(x3)≈－0.097 4<0‎ ‎(－1.937 5，－1.875)‎ x4＝＝－1.906 25‎ f(x4)≈0.328 0>0‎ ‎(－1.937 5，－1.906 25)‎ x5＝＝－1.921 875‎ f(x5)≈0.117 4>0‎ ‎(－1.937 5，－1.921 875)‎ x6＝＝－1.929 687 5‎ f(x6)≈0.010 5>0‎ ‎(－1.937 5，－1.929 687 5)‎ 由于|－1.929 687 5＋1.937 5|＝0.007 812 5<0.01，所以函数的一个负零点近似值可取为－1.929 687 5.‎ 母题探究：1.(变条件)求本例函数f(x)在区间[－2，－1]上精确度为0.1的一个零点近似值．‎ ‎[解]　因为f(－1)>0，f(－2)<0，且函数f(x)＝x3－3x2－9x＋1的图象是连续的曲线，根据函数零点的存在性定理可知，它在区间[－2，－1]内有零点，用二分法逐步计算，列表如下：‎ - 5 -‎ 端点(中点)‎ 端点或中点的函数值 取值区间 f(－1)>0，f(－2)<0‎ ‎(－2，－1)‎ x0＝＝－1.5‎ f(x0)＝4.375>0‎ ‎(－2，－1.5)‎ x1＝＝－1.75‎ f(x1)≈2.203>0‎ ‎(－2，－1.75)‎ x2＝＝－1.875‎ f(x2)≈0.736>0‎ ‎(－2，－1.875)‎ x3＝＝－1.937 5‎ f(x3)≈－0.097 4<0‎ ‎(－1.937 5，－1.875)‎ 由于|－1.875＋1.937 5|＝0.062 5<0.1，所以函数在区间[－2，－1]内的一个近似零点可取为－1.937 5.‎ ‎2．若将典例2函数改为“f(x)＝x3＋2x2－3x－‎6”‎，如何求该函数的正数零点？(精确度0.1)‎ ‎[解]　确定一个包含正数零点的区间(m，n)，‎ 且f(m)·f(n)<0.‎ 因为f(0)＝－6<0，f(1)＝－6<0，f(2)＝4>0，‎ 所以可以取区间(1,2)作为计算的初始区间，‎ 用二分法逐步计算，列表如下：‎ 端点(中点)‎ 端点或中点的函数值 取值区间 f(1)＝－6<0，f(2)＝4>0‎ ‎(1,2)‎ x1＝＝1.5‎ f(1.5)＝－2.625<0‎ ‎(1.5,2)‎ x2＝＝1.75‎ f(1.75)≈0.234 4>0‎ ‎(1.5,1.75)‎ x3＝＝1.625‎ f(1.625)≈－1.302 7<0‎ ‎(1.625,1.75)‎ x4＝＝1.687 5‎ f(1.6875)≈－0.561 8<0‎ ‎(1.687 5,1.75)‎ 由于|1.75－1.687 5|＝0.062 5<0.1.所以函数的正数零点的近似值可取为1.687 5.‎ ‎[规律方法]　利用二分法求方程近似解的过程图示 - 5 -‎ ‎[当 堂 达 标·固 双 基]‎ ‎1．关于“二分法”求方程的近似解，说法正确的是(　　)‎ A．“二分法”求方程的近似解一定可将y＝f(x)在[a，b]内的所有零点得到 B．“二分法”求方程的近似解有可能得不到y＝f(x)在[a，b]内的零点 C．应用“二分法”求方程的近似解，y＝f(x)在[a，b]内有可能无零点 D．“二分法”求方程的近似解可能得到f(x)＝0在[a，b]内的精确解 D　[二分法求零点，则一定有且能求出，故B，C不正确；零点左侧与右侧的函数值符号相同的零点不能用二分法得到，故A不正确，故选D.]‎ ‎2．通过下列函数的图象，判断能用“二分法”求其零点的是(　　) ‎ ‎【导学号：37102361】‎ A　　　　　B 　　　　C　　　　　D C　[在A中，函数无零点．在B和D中，函数有零点，但它们在零点左右的函数值符号相同，因此它们都不能用二分法来求零点．而在C中，函数图象是连续不断的，且图象与x轴有交点，并且在交点两侧的函数值符号相反，所以C中的函数能用二分法求其零点．]‎ ‎3．用二分法求函数f(x)＝x3＋5的零点可以取的初始区间是(　　)‎ A．[－2,1]　　　　　　　 B．[－1,0]‎ C．[0,1] D．[1,2]‎ A　[∵f(－2)＝－3<0，f(1)＝6>0，f(－2)·f(1)<0，故可取[－2,1]作为初始区间，用二分法逐次计算．]‎ ‎4．用二分法求函数y＝f(x)在区间[2,4]上零点的近似值，经验证有f(2)·f(4)<0.取区间的中点x1＝＝3，计算得f(2)·f(x1)<0，则此时零点x0∈________(填区间). ‎ ‎【导学号：37102362】‎ ‎(2,3)　[因为f(2)·f(3)<0，所以零点在区间(2,3)内．]‎ ‎5．用二分法求方程ln(2x＋6)＋2＝3x的根的近似值时，令f(x)＝ln(2x＋6)＋2－3x，并用计算器得到下表：‎ x ‎1.00‎ ‎1.25‎ ‎1.375‎ ‎1.50‎ f(x)‎ ‎1.079 4‎ ‎0.191 8‎ ‎－0.360 4‎ ‎－0.998 9‎ 由表中的数据，求方程ln(2x＋6)＋2＝3x的一个近似解(精确度为0.1)．‎ ‎[解]　因为f(1.25)·f(1.375)<0，故根据二分法的思想，知函数f(x)的零点在区间(1.25,1.375)内，但区间(1.25,1.375)的长度为0.125>0.1，因此需要取(1.25,1.375)的中点1.312 5，两个区间(1.25,1.312 5)和(1.312 5,1.375)中必有一个满足区间端点的函数值符号相异，又区间的长度为0.062 5<0.1，因此1.312 5是一个近似解．‎ - 5 -‎