2018-2019学年湖南省常德市高一下学期期末数学试题（解析版）

2018-2019学年湖南省常德市高一下学期期末数学试题（解析版）

‎2018-2019学年湖南省常德市高一下学期期末数学试题 一、单选题 ‎1．设集合，则 A． B． C． D．‎ ‎【答案】B ‎【解析】 ,选B.‎ ‎【考点】 集合的运算 ‎【名师点睛】集合的交、并、补运算问题，应先把集合化简再计算，常常借助数轴或韦恩图进行处理.‎ ‎2．函数的定义域为（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】A ‎【解析】根据对数函数的定义域直接求解即可.‎ ‎【详解】‎ 由题知函数，‎ 所以，‎ 所以函数的定义域是.‎ 故选：A.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查了对数函数的定义域的求解，属于基础题.‎ ‎3．下列函数中，既是偶函数又在区间上单调递减的函数是（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】C ‎【解析】依次分析选项的奇偶性和在区间上的单调性即可得到答案.‎ ‎【详解】‎ 因为是奇函数，故A选项错误，‎ 因为是非奇非偶函数，故D选项错误，‎ 因为是偶函数，由函数图像知，‎ 在区间上单调递增，故B选项错误，‎ 因为是偶函数，由函数图像知，‎ 在区间上单调递减，故C选项正确.‎ 故选：C.‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查了函数的奇偶性的判断，二次函数单调性的判断，属于基础题.‎ ‎4．设甲、乙两地的距离为a(a>0)，小王骑自行车以匀速从甲地到乙地用了20分钟，在乙地休息10分钟后，他又以匀速从乙地返回到甲地用了30分钟，则小王从出发到返回原地所经过的路程y和其所用的时间x的函数图象为(　　)‎ A． B．‎ C． D．‎ ‎【答案】D ‎【解析】试题分析：根据题意，甲、乙两地的距离为a(a>0)，小王骑自行车以匀速从甲地到乙地用了20min，在乙地休息10min后，他又以匀速从乙地返回到甲地用了30min，那么可知先是匀速运动，图像为直线，然后再休息，路程不变，那么可知时间持续10min，那么最后还是同样的匀速运动，直线的斜率不变可知选D.‎ ‎【考点】函数图像 点评：主要是考查了路程与时间的函数图像的运用，属于基础题．‎ ‎5．设，，，则，，的大小关系是（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】D ‎【解析】首先确定题中，，的取值范围，再根据大小排序即可.‎ ‎【详解】‎ 由题知，，‎ ‎，‎ ‎，‎ 所以排序得到.‎ 故选：D.‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查了比较指数对数的大小问题，属于基础题.‎ ‎6．方程的解所在区间为（ ）‎ A．（0，1） B．（1，2） C．（2，3） D．（3，+∞）‎ ‎【答案】C ‎【解析】试题分析：由题意可构造函数，因为，，则，所以函数的零点在区间，即原方程的解所在的区间为．故选C．‎ ‎【考点】函数的零点．‎ ‎【思路点晴】此题主要考查函数的零点在应用方面的内容，首先要把“寻找方程的解”的问题转化为“求相应函数的零点”的问题，接着根据给出的方程构造出相应的函数解析式，再依据“根的存在性定理”进行判断，在应用过程中注意条件函数在区间内是连续的，且区间端点的函数值是异号（即是一正一负，或是乘积小于零），从而可得解．‎ ‎7．截一个几何体，各个截面都是圆面，则这个几何体一定是（ ）‎ A．圆柱 B．圆锥 C．球 D．圆台 ‎【答案】C ‎【解析】【详解】试题分析：圆柱截面可能是矩形；圆锥截面可能是三角形；圆台截面可能是梯形，该几何体显然是球，故选C．‎ ‎8．对于空间中的两条直线，和一个平面，下列结论正确的是（ ）‎ A．若，，则 B．若，，则 C．若，，则 D．若，，则 ‎【答案】C ‎【解析】依次分析每个选项中两条直线与平面的位置关系，确定两条直线的位置关系即可.‎ ‎【详解】‎ 平行于同一平面的两条直线不一定相互平行，‎ 故选项A错误，‎ 平行于平面的直线不一定与该平面内的直线平行，‎ 故选项B错误，‎ 垂直于平面的直线，垂直于与该平面平行的所有线，‎ 故选项C正确，‎ 垂直于同一平面的两条直线相互平行，‎ 故选项D错误.‎ 故选：C.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查了直线与平面位置关系的辨析，属于基础题.‎ ‎9．若过点，的直线与直线平行，则的值为（ ）‎ A．1 B．4 C．1或3 D．1或4‎ ‎【答案】A ‎【解析】首先设一条与已知直线平行的直线，点，代入直线方程即可求出的值.‎ ‎【详解】‎ 设与直线平行的直线：，‎ 点，代入直线方程，‎ 有.‎ 故选：A.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查了利用直线的平行关系求参数，属于基础题.‎ 注意直线与直线在时相互平行.‎ ‎10．．若且，直线不通过（ ）‎ A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限，‎ ‎【答案】D ‎【解析】【详解】‎ 因为且，所以，，‎ 又直线可化为，‎ 斜率为，在轴截距为，‎ 因此直线过一二三象限，不过第四象限.‎ 故选：D.‎ ‎11．已知两个球的表面积之比为，则这两个球的体积之比为（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】D ‎【解析】根据两个球的表面积之比求出半径之比，利用半径之比求出球的体积比.‎ ‎【详解】‎ 由题知，‎ 则.‎ 故选：D.‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查了球体的表面积公式和体积公式，属于基础题.‎ ‎12．已知圆柱的上、下底面的中心分别为，，过直线的平面截该圆柱所得的截面是面积为8的正方形，则该圆柱的表面积为 A． B． C． D．‎ ‎【答案】B ‎【解析】分析：首先根据正方形的面积求得正方形的边长，从而进一步确定圆柱的底面圆半径与圆柱的高，从而利用相关公式求得圆柱的表面积.‎ 详解：根据题意，可得截面是边长为的正方形，‎ 结合圆柱的特征，可知该圆柱的底面为半径是的圆，且高为，‎ 所以其表面积为，故选B.‎ 点睛：该题考查的是有关圆柱的表面积的求解问题，在解题的过程中，需要利用题的条件确定圆柱的相关量，即圆柱的底面圆的半径以及圆柱的高，在求圆柱的表面积的时候，一定要注意是两个底面圆与侧面积的和.‎ 二、填空题 ‎13．计算：______.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】利用对数的运算对原式化简计算即可.‎ ‎【详解】‎ 由题知，‎ 整理后原式.‎ 故答案为：.‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查了对数的运算，属于基础题.‎ ‎14．若直线的倾斜角为，则______.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】首先利用直线方程求出直线斜率，通过斜率求出倾斜角.‎ ‎【详解】‎ 由题知直线方程为，‎ 所以直线的斜率，‎ 又因为倾斜角，‎ 所以倾斜角.‎ 故答案为：.‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查了直线倾斜角与直线斜率的关系，属于基础题.‎ ‎15．如图，将一个长方体用过相邻三条棱的中点的平面截出一个棱锥，则该棱锥的体积与剩下的几何体体积的比为________.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】求出长方体体积与三棱锥的体积后即可得到棱锥的体积与剩下的几何体体积之比.‎ ‎【详解】‎ 设长方体长宽高分别为，，，‎ 所以长方体体积，‎ 三棱锥体积，‎ 所以棱锥的体积与剩下的几何体体积的之比为：‎ ‎.‎ 故答案为：.‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查了长方体体积公式，三棱锥体积公式，属于基础题.‎ ‎16．竹简于上世纪八十年代在湖北省江陵县张家山出土，这是我国现存最早的有系统的数学典著，其中记载有求“囷盖”的术：“置如其周，令相乘也，又以高乘之，三十六成一”.该术相当于给出圆锥的底面周长与高，计算其体积的近似公式为.该结论实际上是将圆锥体积公式中的圆周率取近似值得到的.则根据你所学知识，该公式中取的近似值为______.‎ ‎【答案】3‎ ‎【解析】首先求出圆锥体的体积，然后与近似公式对比，即可求出公式中取的近似值.‎ ‎【详解】‎ 由题知圆锥体的体积，‎ 因为圆锥的底面周长为，‎ 所以圆锥的底面面积，‎ 所以圆锥体的体积，‎ 根据题意与近似公式对比发现，‎ 公式中取的近似值为.‎ 故答案为：.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查了圆锥体的体积公式，属于基础题.‎ 三、解答题 ‎17．设集合，，求.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】首先求出集合，，再根据集合的运算求出即可.‎ ‎【详解】‎ 因为的解为（舍去）,‎ 所以，‎ 又因为的解为，‎ 所以，‎ 所以.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查了集合的运算，对数与指数的运算，属于基础题.‎ ‎18．已知幂函数的图像过点.‎ ‎（1）求函数的解析式；‎ ‎（2）设函数在是单调函数，求实数的取值范围.‎ ‎【答案】（1）；（2）.‎ ‎【解析】（1）利用幂函数过点即可求出函数的解析式；‎ ‎（2）利用二次函数对称轴与区间的位置，即可求出实数的取值范围.‎ ‎【详解】‎ ‎（1）因为的图像过点，‎ 所以，则，‎ 所以函数的解析式为：；‎ ‎（2）由（1）得，‎ 所以函数的对称轴为，‎ 若函数在是单调函数，‎ 则或，‎ 即或，‎ 所以实数的取值范围为.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查了幂函数解析式的求解，二次函数单调区间与对称轴的位置关系，属于一般题.‎ ‎19．如图，是的直径，所在的平面，是圆上一点，，.‎ ‎ ‎ ‎（1）求证：平面平面；‎ ‎（2）求直线与平面所成角的正切值.‎ ‎【答案】（1）证明见解析；（2）2.‎ ‎【解析】（1）首先证明平面，利用线面垂直推出平面平面；‎ ‎（2）找到直线与平面所成角所在三角形，利用三角形边角关系求解即可.‎ ‎【详解】‎ ‎（1）∵是直径，‎ ‎∴，即，‎ 又∵所在的平面，‎ 在所在的平面内，‎ ‎∴，‎ ‎∴平面，‎ 又平面，‎ ‎∴平面平面；‎ ‎（2）∵平面，‎ ‎∴直线与平面所成角即，‎ 设，∵，∴，‎ ‎∴，‎ ‎∴.‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查了面面垂直的证明，直线与平面所成角的求解，属于一般题.‎ ‎20．已知不经过原点的直线在两坐标轴上的截距相等，且点在直线上.‎ ‎（1）求直线的方程；‎ ‎（2）过点作直线，若直线，与轴围成的三角形的面积为2，求直线的方程.‎ ‎【答案】（1）；（2）或.‎ ‎【解析】（1）根据直线在两坐标轴上的截距相等列出直线方程，然后代入点即可求出直线方程；‎ ‎（2）首先根据直线过点设出直线方程，然后列出三角形的面积公式，根据面积等于2求出直线的方程.‎ ‎【详解】‎ ‎（1）因为直线在两坐标轴上的截距相等，‎ 设直线：，‎ 将点代入方程，得，‎ 所以直线的方程为；‎ ‎（2）①若直线的斜率不存在，则直线的方程为，‎ 直线，直线和轴围成的三角形的面积为2，‎ 则直线的方程为符合题意，‎ ‎②若直线的斜率，则直线与轴没有交点，不符合题意，‎ ‎③若直线的斜率，设其方程为，令，‎ 得，由（1）得直线交轴，‎ 依题意有，即，‎ 解得，所以直线的方程为，‎ 即，‎ 综上，直线的方程为或.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查了直线方程的求解与直线方程的综合应用，属于中档题.‎ ‎21．如图，已知三棱柱的侧棱垂直于底面，，，点，分别为和的中点.‎ ‎（1）若，求三棱柱的体积；‎ ‎（2）证明：平面；‎ ‎（3）请问当为何值时，平面，试证明你的结论.‎ ‎【答案】（1）4；（2）证明见解析；（3）时，平面，证明见解析.‎ ‎【解析】（1）直接根据三棱柱体积计算公式求解即可；‎ ‎（2）利用中位线证明面面平行，再根据面面平行的性质定理证明平面；‎ ‎（3）首先设为，利用平面列出关于参数的方程求解即可.‎ ‎【详解】‎ ‎（1）∵三棱柱的侧棱垂直于底面，‎ 且，，，‎ ‎∴由三棱柱体积公式得：；‎ ‎（2）证明：取的中点，连接，，‎ ‎∵，分别为和的中点，‎ ‎∴，，‎ ‎∵平面，平面，‎ ‎∴平面，平面，‎ 又，‎ ‎∴平面平面，‎ ‎∵平面，∴平面；‎ ‎（3）连接，设，‎ 则由题意知，，‎ ‎∵三棱柱的侧棱垂直于底面，‎ ‎∴平面平面，‎ ‎∵，∴，又点是的中点，‎ ‎∴平面，∴，‎ 要使平面，只需即可，‎ 又∵，∴，‎ ‎∴，即，‎ ‎∴，则时，平面.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查了三棱柱的体积公式，线面平行的证明，利用线面垂直求参数，属于难题.‎ ‎22．在海上进行工程建设时，一般需要在工地某处设置警戒水域；现有一海上作业工地记为点，在一个特定时段内，以点为中心的1海里以内海域被设为警戒水域，点正北海里处有一个雷达观测站，某时刻测得一艘匀速直线行驶的船只位于点北偏东且与点相距10海里的位置，经过12分钟又测得该船已行驶到点北偏东且与点相距海里的位置. ‎ ‎（1）求该船的行驶速度（单位：海里/小时）；‎ ‎（2）若该船不改变航行方向继续行驶.试判断它是否会进入警戒水域（点与船的距离小于1海里即为进入警戒水域），并说明理由.‎ ‎【答案】（1）海里/小时；（2）该船不改变航行方向则会进入警戒水域，理由见解析.‎ ‎【解析】（1）建立直角坐标系，首先求出位置与位置的距离，然后除以经过的时间即可求出船的航行速度；‎ ‎（2）求出位置与位置所在直线方程，求出位置与直线的距离与1海里对比即可.‎ ‎【详解】‎ ‎（1）如图建立平面直角坐标系：设一个单位长度为1海里，‎ 则坐标中，，，，‎ 再由方位角可求得：，，‎ 所以，‎ 又因为12分钟=0.2小时，‎ 则（海里/小时），‎ 所以该船行驶的速度为海里/小时；‎ ‎（2）直线的斜率为，‎ 所以直线的方程为：，‎ 即，‎ 所以点到直线的距离为，‎ 即该船不改变航行方向行驶时离点的距离小于1海里，‎ 所以若该船不改变航行方向则会进入警戒水域.‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查了直角坐标系中两点间距离的计算，直线与圆的位置关系，属于一般题.‎