2018年河南省开封市高考数学一模试卷（理科）

2018年河南省开封市高考数学一模试卷（理科）

‎2018年河南省开封市高考数学一模试卷（理科）‎ ‎　‎ 一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．‎ ‎1．（5分）设U=R，已知集合A={x|x≥1}，B={x|x＞a}，且（∁UA）∪B=R，则实数a的取值范围是（　　）‎ A．（﹣∞，1） B．（﹣∞，1] C．（1，+∞） D．[1，+∞）‎ ‎2．（5分）若复数z1，z2在复平面内对应的点关于虚轴对称，且z1=1﹣2i，则复数在复平面内对应的点在（　　）‎ A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 ‎3．（5分）已知向量=（m﹣1，1），=（m，﹣2），则“m=2”是“⊥”的（　　）‎ A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 ‎4．（5分）若，则sin2α的值为（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎5．（5分）已知等比数列{an}的前n项和为Sn，且9S3=S6，a2=1，则a1=（　　）‎ A． B． C． D．2‎ ‎6．（5分）已知曲线﹣=1（a＞0，b＞0）为等轴双曲线，且焦点到渐近线的距离为，则该双曲线的方程为（　　）‎ A． B．x2﹣y2=1 C． D．x2﹣y2=2‎ ‎7．（5分）我国古代名著《庄子•天下篇》中有一句名言“一尺之棰，日取其半，万世不竭”，其意思为：一尺的木棍，每天截取一半，永远都截不完．现将该木棍依此规律截取，如图所示的程序框图的功能就是计算截取7天后所剩木棍的长度（单位：尺），则①②③处可分别填入的是（　　）‎ A． B．‎ C． D．‎ ‎8．（5分）如图，在一个正方体内放入两个半径不相等的球O1、O2，这两个球相外切，且球O1与正方体共顶点A的三个面相切，球O2与正方体共顶点B1的三个面相切，则两球在正方体的面AA1C1C上的正投影是（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎9．（5分）如图，某建筑工地搭建的脚手架局部类似于一个2×2×3 的长方体框架，一个建筑工人欲从 A处沿脚手架攀登至 B处，则其最近的行走路线中不连续向上攀登的概率为（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎10．（5分）函数y=的图象大致是（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎11．（5分）抛物线M：y2=4x的准线与x轴交于点A，点F为焦点，若抛物线M上一点P满足PA⊥PF，则以F为圆心且过点P的圆被y轴所截得的弦长约为（参考数据：≈2.24）（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎12．（5分）已知函数，若函数F（x）=f（x）﹣3的所有零点依次记为x1，x2，x3，…，xn，且x1＜x2＜x3＜…＜xn，则x1+2x2+2x3+…+2xn﹣1+xn=（　　）‎ A． B．445π C．455π D．‎ ‎　‎ 二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．‎ ‎13．（5分）（x﹣y）10的展开式中，x7y3的系数与x3y7‎ 的系数之和等于　 　．‎ ‎14．（5分）设x，y满足约束条件，且x，y∈Z，则z=3x+5y的最大值为　 　．‎ ‎15．（5分）设f（x）=，且f（f（a））=2，则满足条件的a的值有　 　个．‎ ‎16．（5分）一个棱长为5的正四面体（棱长都相等的三棱锥）纸盒内放一个小正四面体，若小正四面体在纸盒内可以任意转动，则小正四面体的棱长的最大值为　 　．‎ ‎　‎ 三、解答题：共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．‎ ‎17．（12分）在△ABC中，角A，B，C所对应的边分别为a，b，c，且2cosB（acosC+ccosA）+b=0．‎ ‎（Ⅰ）求角B的大小；‎ ‎（Ⅱ）若a=3，点D在AC边上且BD⊥AC，BD=，求c．‎ ‎18．（12分）如图1，在矩形ABCD中，AD=2AB=4，E是AD的中点．将△ABE沿BE折起使A到点P的位置，平面PEB⊥平面BCDE，如图2．‎ ‎（Ⅰ）求证：平面PBC⊥平面PEC；‎ ‎（Ⅱ）求二面角B﹣PE﹣D的余弦值．‎ ‎19．（12分）近年来我国电子商务行业迎来蓬勃发展的新机遇，2017年双11期间，某购物平台的销售业绩高达1271亿人民币．与此同时，相关管理部门推出了针对电商的商品和服务的评价体系，现从评价系统中选出200次成功交易，并对其评价进行统计，对商品的好评率为0.6，对服务的好评率为0.75，其中对商品和服务都做出好评的交易为80次．‎ ‎（Ⅰ）完成下面的 2×2列联表，并回答是否有99%的把握，认为商品好评与服务好评有关？‎ 对服务好评 对服务不满意 合计 对商品好评 对商品不满意 合计 ‎200‎ ‎（Ⅱ）若将频率视为概率，某人在该购物平台上进行的3次购物中，设对商品和服务全好评的次数为随机变量X：‎ ‎（1）求对商品和服务全好评的次数X的分布列；‎ ‎（2）求X的数学期望和方差．‎ 附：‎ P（K2≥k）‎ ‎0.15‎ ‎0.10‎ ‎0.05‎ ‎0.025‎ ‎0.010‎ ‎0.005‎ ‎0.001‎ ‎ k ‎2.072‎ ‎2.706‎ ‎3.841‎ ‎5.024‎ ‎6.635‎ ‎7.879‎ ‎10.828‎ ‎（，其中n=a+b+c+d）‎ ‎20．（12分）给定椭圆C：+=1（a＞b＞0），称圆心在原点O，半径为的圆是椭圆C的“准圆”．已知椭圆C的离心率，其“准圆”的方程为x2+y2=4．‎ ‎（I）求椭圆C的方程；‎ ‎（II）点P是椭圆C的“准圆”上的动点，过点P作椭圆的切线l1，l2交“准圆”于点M，N．‎ ‎（1）当点P为“准圆”与y轴正半轴的交点时，求直线l1，l2的方程，并证明l1⊥l2；‎ ‎（2）求证：线段MN的长为定值．‎ ‎21．（12分）已知函数f（x）=（t﹣1）xex，g（x）=tx+1﹣ex．‎ ‎（Ⅰ）当t≠1时，讨论f（x）的单调性；‎ ‎（Ⅱ）f（x）≤g（x）在[0，+∞）上恒成立，求t的取值范围．‎ ‎　‎ 选修4-4：极坐标与参数方程 ‎22．（10分）已知直线l：3x﹣y﹣6=0，在以坐标原点O为极点，x轴正半轴为极轴的极坐标系中，曲线C：ρ﹣4sinθ=0．‎ ‎（Ⅰ）将直线l写成参数方程（t为参数，α∈[0，π），）的形式，并求曲线C的直角坐标方程；‎ ‎（Ⅱ）过曲线C上任意一点P作倾斜角为30°的直线，交l于点A，求|AP|的最值．‎ ‎　‎ 选修4-5：不等式选讲 ‎23．已知关于x的不等式|x+1|+|2x﹣1|≤3的解集为{x|m≤x≤n}．‎ ‎（I）求实数m、n的值；‎ ‎（II）设a、b、c均为正数，且a+b+c=n﹣m，求++的最小值．‎ ‎　‎ ‎2018年河南省开封市高考数学一模试卷（理科）‎ 参考答案与试题解析 ‎　‎ 一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．‎ ‎1．（5分）设U=R，已知集合A={x|x≥1}，B={x|x＞a}，且（∁UA）∪B=R，则实数a的取值范围是（　　）‎ A．（﹣∞，1） B．（﹣∞，1] C．（1，+∞） D．[1，+∞）‎ ‎【解答】解：∵U=R，集合A={x|x≥1}=[1，+∞），‎ B={x|x＞a}=（a，+∞），‎ ‎∴∁UA=（﹣∞，1），‎ 又（∁UA）∪B=R，‎ ‎∴实数a的取值范围是（﹣∞，1）．‎ 故选：A．‎ ‎　‎ ‎2．（5分）若复数z1，z2在复平面内对应的点关于虚轴对称，且z1=1﹣2i，则复数在复平面内对应的点在（　　）‎ A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 ‎【解答】解：∵z1=1﹣2i，且复数z1，z2在复平面内对应的点关于虚轴对称，‎ ‎∴z2=﹣1﹣2i，‎ 则=，‎ ‎∴复数在复平面内对应的点的坐标为（），在第四象限．‎ 故选：D．‎ ‎　‎ ‎3．（5分）已知向量=（m﹣1，1），=（m，﹣2），则“m=2”是“⊥”的（　　）‎ A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 ‎【解答】解：∵=（m﹣1，1），=（m，﹣2），‎ ‎∴⇔m（m﹣1）﹣2=0．‎ 由m（m﹣1）﹣2=0，解得m=﹣1或m=2．‎ ‎∴“m=2”是“⊥”的充分不必要条件．‎ 故选：A．‎ ‎　‎ ‎4．（5分）若，则sin2α的值为（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎【解答】解：若，即2（cos2α﹣sin2α）=cosα﹣sinα，‎ 则2（cosα+sinα）=，即cosα+sinα=，∴1+2sinαcosα=，即sin2α=2sinαcosα=﹣，‎ 故选：C．‎ ‎　‎ ‎5．（5分）已知等比数列{an}的前n项和为Sn，且9S3=S6，a2=1，则a1=（　　）‎ A． B． C． D．2‎ ‎【解答】解：设等比数列{an}的公比为q≠1，∵9S3=S6，a2=1，‎ ‎∴=，a1q=1．‎ 则q=2，a1=．‎ 故选：A．‎ ‎　‎ ‎6．（5分）已知曲线﹣=1（a＞0，b＞0）为等轴双曲线，且焦点到渐近线的距离为，则该双曲线的方程为（　　）‎ A． B．x2﹣y2=1 C． D．x2﹣y2=2‎ ‎【解答】解：根据题意，若曲线﹣=1（a＞0，b＞0）为等轴双曲线，则a2=b2，‎ c==a，即焦点的坐标为（±a，0）；‎ 其渐近线方程为x±y=0，‎ 若焦点到渐近线的距离为，则有=a=，‎ 则双曲线的标准方程为﹣=1，即x2﹣y2=2；‎ 故选：D．‎ ‎　‎ ‎7．（5分）我国古代名著《庄子•天下篇》中有一句名言“一尺之棰，日取其半，万世不竭”，其意思为：一尺的木棍，每天截取一半，永远都截不完．现将该木棍依此规律截取，如图所示的程序框图的功能就是计算截取7天后所剩木棍的长度（单位：尺），则①②③处可分别填入的是（　　）‎ A． B．‎ C． D．‎ ‎【解答】解：由题意可得：由图可知第一次剩下，第二次剩下，…由此得出第7次剩下，‎ 可得①为i≤7？‎ ‎②s=‎ ‎③i=i+1‎ 故选：D．‎ ‎　‎ ‎8．（5分）如图，在一个正方体内放入两个半径不相等的球O1、O2，这两个球相外切，且球O1与正方体共顶点A的三个面相切，球O2与正方体共顶点B1的三个面相切，则两球在正方体的面AA1C1C上的正投影是（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎【解答】解：由题意可以判断出两球在正方体的面AA1C1C上的正投影与正方形相切，排除C、D，把其中一个球扩大为与正方体相切，则另一个球被挡住一部分，由于两球不等，所以排除A；B正确；‎ 故选B ‎　‎ ‎9．（5分）如图，某建筑工地搭建的脚手架局部类似于一个2×2×3 的长方体框架，一个建筑工人欲从 A处沿脚手架攀登至 B处，则其最近的行走路线中不连续向上攀登的概率为（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎【解答】解：根据题意，最近路线，那就是不能走回头路，不能走重复的路，‎ ‎∴一共要走3次向上，2次向右，2次向前，一共7次，‎ ‎∴最近的行走路线共有：n=A=5040，‎ ‎∵不能连续向上，∴先把不向上的次数排列起来，也就是2次向右和2次向前全排列，‎ 接下来，就是把3次向上插到4次不向上之间的空当中，5个位置排三个元素，也就是A53，‎ 则最近的行走路线中不连续向上攀登的共有m==1440种，‎ ‎∴其最近的行走路线中不连续向上攀登的概率p===．‎ 故选：C．‎ ‎　‎ ‎10．（5分）函数y=的图象大致是（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎【解答】解：当x＞0时，y=xlnx，y′=1+lnx，‎ 即0＜x＜时，函数y单调递减，当x＞，函数y单调递增，‎ 因为函数y为偶函数，‎ 故选：D ‎　‎ ‎11．（5分）抛物线M：y2=4x的准线与x轴交于点A，点F为焦点，若抛物线M上一点P满足PA⊥PF，则以F为圆心且过点P的圆被y轴所截得的弦长约为（参考数据：≈2.24）（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎【解答】解：由题意，A（﹣1，0），F（1，0），‎ 点P在以AF为直径的圆x2+y2=1上．‎ 设点P的横坐标为m，联立圆与抛物线的方程得x2+4x﹣1=0，‎ ‎∵m＞0，∴m=﹣2+，‎ ‎∴点P的横坐标为﹣2+，‎ ‎∴|PF|=m+1=﹣1+，‎ ‎∴圆F的方程为（x﹣1）2+y2=（﹣1）2，‎ 令x=0，可得y=±，‎ ‎∴|EF|=2=2=，‎ 故选：D．‎ ‎　‎ ‎12．（5分）已知函数，若函数F（x）=f（x）﹣3的所有零点依次记为x1，x2，x3，…，xn，且x1＜x2＜x3＜…＜xn，则x1+2x2+2x3+…+2xn﹣1+xn=（　　）‎ A． B．445π C．455π D．‎ ‎【解答】解：函数，‎ 令2x﹣=+kπ得x=+，k∈Z，即f（x）的对称轴方程为x=+，k∈Z．‎ ‎∵f（x）的最小正周期为T=π，0≤x≤，‎ 当k=30时，可得x=，‎ ‎∴f（x）在[0，]上有30条对称轴，‎ 根据正弦函数的性质可知：函数与y=3的交点x1，x2关于对称，x2，x3关于对称，…，‎ 即x1+x2=×2，x2+x3=×2，…，xn﹣1+xn=2×（）‎ 将以上各式相加得：x1+2x2+2x3+…+2x28+x29=2（++…+）=（2+5+8+…+89）×=455π 则x1+2x2+2x3+…+2xn﹣1+xn=（x1+x2）+（x2+x3）+x3+…+xn﹣1+（xn﹣1+xn）=2（）=455π，‎ 故选：C ‎　‎ 二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．‎ ‎13．（5分）（x﹣y）10的展开式中，x7y3的系数与x3y7的系数之和等于　﹣240　．‎ ‎【解答】解：因为（x﹣y）10的展开式中含x7y3的项为C103x10﹣3y3（﹣1）3=﹣C103x7y3，‎ 含x3y7的项为C107x10﹣7y7（﹣1）7=﹣C107x3y7．‎ 由C103=C107=120知，x7y3与x3y7的系数之和为﹣240．‎ 故答案为﹣240．‎ ‎　‎ ‎14．（5分）设x，y满足约束条件，且x，y∈Z，则z=3x+5y的最大值为　13　．‎ ‎【解答】解：由约束条件作出可行域如图，‎ 作出直线3x+5y=0，‎ ‎∵x，y∈Z，‎ ‎∴平移直线3x+5y=0至（1，2）时，目标函数z=3x+5y的最大值为13．‎ 故答案为：13．‎ ‎　‎ ‎15．（5分）设f（x）=，且f（f（a））=2，则满足条件的a的值有　4　个．‎ ‎【解答】解：f（x）=，且f（f（a））=2‎ ‎∴当a＜2时，f（a）=2ea﹣1，‎ 若2ea﹣1＜2，则f（f（a））=﹣1=2，解得a=1﹣ln2；‎ 若2ea﹣1≥2，则f（f（a））==2，解得a=ln+1，成立；‎ 当a≥2时，f（a）=log3（a2﹣1），‎ 若log3（a2﹣1）＜2，则f（f（a））=﹣1=2，解得a=2，或a=﹣2，与a≥2不符，‎ 若log3（a2﹣1）≥2，则f（f（a））=log3[（log3（a2﹣1）]=2，解得a2=310+1，‎ ‎∴a=或a=﹣与a≥2不符．‎ 由此得到满足条件的a的值有1﹣ln2和ln+1和2和，共4个．‎ 故答案为：4．‎ ‎　‎ ‎16．（5分）一个棱长为5的正四面体（棱长都相等的三棱锥）纸盒内放一个小正四面体，若小正四面体在纸盒内可以任意转动，则小正四面体的棱长的最大值为　　．‎ ‎【解答】解：∵在此纸盒内放一个小正四面体，若小正四面体在纸盒内可以任意转动，‎ ‎∴小正四面体的外接球是纸盒的内切球，‎ 设正四面体的棱长为a，则内切球的半径为a，外接球的半径是a，‎ ‎∴纸盒的内切球半径是=，‎ 设小正四面体的棱长是x，则=x，解得x=，‎ ‎∴小正四面体的棱长的最大值为，‎ 故答案为：．‎ ‎　‎ 三、解答题：共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．‎ ‎17．（12分）在△‎ ABC中，角A，B，C所对应的边分别为a，b，c，且2cosB（acosC+ccosA）+b=0．‎ ‎（Ⅰ）求角B的大小；‎ ‎（Ⅱ）若a=3，点D在AC边上且BD⊥AC，BD=，求c．‎ ‎【解答】解：（Ⅰ）在△ABC中，角A，B，C所对应的边分别为a，b，c，‎ 且2cosB（acosC+ccosA）+b=0．‎ 则：2cosB（sinAcosC+sinCcosA）+sinB=0，‎ 整理得：2cosBsin（A+C）=﹣sinB，‎ 由于：0＜B＜π，‎ 则：sinB≠0，‎ 解得：，‎ 所以：B=．‎ ‎（Ⅱ）点D在AC边上且BD⊥AC，‎ 在直角△BCD中，若a=3，BD=，‎ 解得：，‎ 解得：，‎ 则：，，‎ 所以：cos∠ABD===，‎ 则：在Rt△ABD中，，‎ ‎=．‎ 故：c=5．‎ ‎　‎ ‎18．（12分）如图1，在矩形ABCD中，AD=2AB=4，E是AD的中点．将△ABE沿BE折起使A到点P的位置，平面PEB⊥平面BCDE，如图2．‎ ‎（Ⅰ）求证：平面PBC⊥平面PEC；‎ ‎（Ⅱ）求二面角B﹣PE﹣D的余弦值．‎ ‎【解答】（Ⅰ）证明：∵AD=2AB，E为线段AD的中点，‎ ‎∴AB=AE，‎ 取BE中点O，连接PO，则PO⊥BE，‎ 又平面PEB⊥平面BCDE，平面PEB∩平面BCDE=BE，‎ ‎∴PO⊥平面BCDE，则PO⊥EC，‎ 在矩形ABCD中，∴AD=2AB，E为AD的中点，‎ ‎∴BE⊥EC，则EC⊥平面PBE，‎ ‎∴EC⊥PB，‎ 又PB⊥PE，且PE∩EC=E，‎ ‎∴PB⊥平面PEC，而PB⊂平面PBC，‎ ‎∴平面PBC⊥平面PEC；‎ ‎（Ⅱ）解：以OB所在直线为x轴，以平行于EC所在直线为y轴，以OP所在直线为z轴建立空间直角坐标系，‎ ‎∵PB=PE=2，则B（，0，0），E（﹣，0，0），P（0，0，），D（﹣2，，0），‎ ‎∴，，=（，，﹣）．‎ 设平面PED的一个法向量为，‎ 由，令z=﹣1，则，‎ 又平面PBE的一个法向量为，‎ 则cos＜＞==．‎ ‎∴二面角B﹣PE﹣D的余弦值为．‎ ‎　‎ ‎19．（12分）近年来我国电子商务行业迎来蓬勃发展的新机遇，2017年双11期间，某购物平台的销售业绩高达1271亿人民币．与此同时，相关管理部门推出了针对电商的商品和服务的评价体系，现从评价系统中选出200次成功交易，并对其评价进行统计，对商品的好评率为0.6，对服务的好评率为0.75，其中对商品和服务都做出好评的交易为80次．‎ ‎（Ⅰ）完成下面的 2×2列联表，并回答是否有99%的把握，认为商品好评与服务好评有关？‎ 对服务好评 对服务不满意 合计 对商品好评 对商品不满意 合计 ‎200‎ ‎（Ⅱ）若将频率视为概率，某人在该购物平台上进行的3次购物中，设对商品和服务全好评的次数为随机变量X：‎ ‎（1）求对商品和服务全好评的次数X的分布列；‎ ‎（2）求X的数学期望和方差．‎ 附：‎ P（K2≥k）‎ ‎0.15‎ ‎0.10‎ ‎0.05‎ ‎0.025‎ ‎0.010‎ ‎0.005‎ ‎0.001‎ ‎ k ‎3.841‎ ‎6.635‎ ‎7.879‎ ‎2.072‎ ‎2.706‎ ‎5.024‎ ‎10.828‎ ‎（，其中n=a+b+c+d）‎ ‎【解答】解：（Ⅰ）由题意可得关于商品和服务评价的2×2列联表如下：‎ 对服务好评 对服务不满意 合计 对商品好评 ‎80‎ ‎40‎ ‎120‎ 对商品不满意 ‎70‎ ‎10‎ ‎80‎ 合计 ‎150‎ ‎50‎ ‎200‎ K2=≈11.111＞6.635，‎ 故有99%的把握，认为商品好评与服务好评有关．‎ ‎（Ⅱ）（1）每次购物时，对商品和服务全为好评的概率为，且X的取值可以是0，1，2，3．‎ 其中P（X=0）=（）3=，‎ P（X=1）==，‎ P（X=2）=，‎ P（X=3）==，‎ X的分布列为：‎ ‎ X ‎ 0‎ ‎ 1‎ ‎ 2‎ ‎ 3‎ ‎ P ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎（2）∵X～B（3，），‎ ‎∴E（X）=，‎ D（X）=3×=．‎ ‎　‎ ‎20．（12分）给定椭圆C：+=1（a＞b＞0），称圆心在原点O，半径为的圆是椭圆C的“准圆”．已知椭圆C的离心率 ‎，其“准圆”的方程为x2+y2=4．‎ ‎（I）求椭圆C的方程；‎ ‎（II）点P是椭圆C的“准圆”上的动点，过点P作椭圆的切线l1，l2交“准圆”于点M，N．‎ ‎（1）当点P为“准圆”与y轴正半轴的交点时，求直线l1，l2的方程，并证明l1⊥l2；‎ ‎（2）求证：线段MN的长为定值．‎ ‎【解答】解：（I）由准圆方程为x2+y2=4，则a2+b2=4，椭圆的离心率e===，‎ 解得：a=，b=1，‎ ‎∴椭圆的标准方程：；‎ ‎（Ⅱ）证明：（1）∵准圆x2+y2=4与y轴正半轴的交点为P（0，2），‎ 设过点P（0，2）且与椭圆相切的直线为y=kx+2，‎ 联立，整理得（1+3k2）x2+12kx+9=0．‎ ‎∵直线y=kx+2与椭圆相切，∴△=144k2﹣4×9（1+3k2）=0，解得k=±1，‎ ‎∴l1，l2方程为y=x+2，y=﹣x+2．∵=1，=﹣1，‎ ‎∴•=﹣1，则l1⊥l2．‎ ‎（2）①当直线l1，l2中有一条斜率不存在时，不妨设直线l1斜率不存在，‎ 则l1：x=±，‎ 当l1：x=时，l1与准圆交于点（，1）（，﹣1），‎ 此时l2为y=1（或y=﹣1），显然直线l1，l2垂直；‎ 同理可证当l1：x=时，直线l1，l2垂直．‎ ‎②当l1，l2斜率存在时，设点P（x0，y0），其中x02+y02=4．‎ 设经过点P（x0，y0）与椭圆相切的直线为y=t（x﹣x0）+y0，‎ ‎∴由得 （1+3t2）x2+6t（y0﹣tx0）x+3（y0﹣tx0）2﹣3=0．‎ 由△=0化简整理得 （3﹣x02）t2+2x0y0t+1﹣y02=0，‎ ‎∵x02+y02=4．，∴有（3﹣x02）t2+2x0y0t+（x02﹣3）=0．‎ 设l1，l2的斜率分别为t1，t2，‎ ‎∵l1，l2与椭圆相切，∴t1，t2满足上述方程（3﹣x02）t2+2x0y0t+（x02﹣3）=0，‎ ‎∴t1•t2=﹣1，即l1，l2垂直．‎ 综合①②知：∵l1，l2经过点P（x0，y0），又分别交其准圆于点M，N，且l1，l2垂直．‎ ‎∴线段MN为准圆x2+y2=4的直径，|MN|=4，‎ ‎∴线段MN的长为定值．‎ ‎　‎ ‎21．（12分）已知函数f（x）=（t﹣1）xex，g（x）=tx+1﹣ex．‎ ‎（Ⅰ）当t≠1时，讨论f（x）的单调性；‎ ‎（Ⅱ）f（x）≤g（x）在[0，+∞）上恒成立，求t的取值范围．‎ ‎【解答】解：（Ⅰ）由f（x）=（t﹣1）xex，得f′（x）=（t﹣1）（x+1）ex，‎ 若t＞1，则x＜﹣1时，f′（x）＜0，f（x）递减，x＞﹣1时，f′（x）＞0，f（x）递增，‎ 若t＜1，则x＜﹣1时，f′（x）＞0，f（x）递增，x＞﹣1时，f′（x）＜0，f（x）递减，‎ 故t＞1时，f（x）在（﹣∞，﹣1）递减，在（﹣1，+∞）递增，‎ t＜1时，f（x）在（﹣∞，﹣1）递增，在（﹣1，+∞）递减；‎ ‎（2）f（x）≤g（x）在[0，+∞）上恒成立，‎ 即（t﹣1）xex﹣tx﹣1+ex≤0对∀x≥0成立，‎ 设h（x）=（t﹣1）xex﹣tx﹣1+ex，‎ h（0）=0，h′（x）=（t﹣1）（x+1）ex﹣t+ex，h′（0）=0，‎ h″（x）=ex[（t﹣1）x+2t﹣1]，‎ t=1时，h″（x）=ex≥0，h′（x）在[0，+∞）递增，‎ ‎∴h′（x）≥h′（0）=0，故h（x）在[0，+∞）递增，‎ 故h（x）≥h（0）=0，显然不成立，‎ ‎∴t≠1，则h″（x）=ex（x+）（t﹣1），‎ 令h″（x）=0，则x=﹣，‎ ‎①当﹣≤0即t＜或t＞1时，‎ 若t≤，则h″（x）在[0，+∞）为负，h′（x）递减，‎ 故有h′（x）≤h′（0）=0，h（x）在[0，+∞）递减，‎ ‎∴h（x）≤h（0）=0成立，‎ 若t≥1，则h″（x）在[0，+∞）上为正，h′（x）递增，‎ 故有h′（x）≥h′（0）=0，故h（x）在[0，+∞）递增，‎ 故h（x）≥h（0）=0，不成立，‎ ‎②﹣≥0即≤t≤1时，‎ h″（x）在[0，﹣）内有h′（x）≥h′（0）=0，h（x）递增，‎ 故h（x）在[0，﹣）内有h（x）≥h（0）=0不成立，‎ 综上，t的范围是（﹣∞，]．‎ ‎　‎ 选修4-4：极坐标与参数方程 ‎22．（10分）已知直线l：3x﹣y﹣6=0，在以坐标原点O为极点，x轴正半轴为极轴的极坐标系中，曲线C：ρ﹣4sinθ=0．‎ ‎（Ⅰ）将直线l写成参数方程（t为参数，α∈[0，π），）的形式，并求曲线C的直角坐标方程；‎ ‎（Ⅱ）过曲线C上任意一点P作倾斜角为30°的直线，交l于点A，求|AP|的最值．‎ ‎【解答】解：（Ⅰ）直线l：3x﹣y﹣6=0，转化为直角坐标方程为：（t为参数），‎ 曲线C：ρ﹣4sinθ=0．转化为直角坐标方程为：x2+y2﹣4y=0．‎ ‎（Ⅱ）首先把x2+y2﹣4y=0的方程转化为：x2+（y﹣2）2=4，‎ 所以经过圆心，且倾斜角为30°的直线方程为：，‎ 则：，‎ 解得：，‎ 则：=，‎ 则：|AP|的最大值为：，‎ ‎|AP|的最小值为：．‎ ‎　‎ 选修4-5：不等式选讲 ‎23．已知关于x的不等式|x+1|+|2x﹣1|≤3的解集为{x|m≤x≤n}．‎ ‎（I）求实数m、n的值；‎ ‎（II）设a、b、c均为正数，且a+b+c=n﹣m，求++的最小值．‎ ‎【解答】解：（Ⅰ）∵|x+1|+|2x﹣1|≤3，‎ ‎∴或或，‎ 解得：﹣1≤x≤1，‎ 故m=﹣1，n=1；‎ ‎（Ⅱ）由（Ⅰ）a+b+c=2，‎ 则++‎ ‎=（++）（a+b+c）‎ ‎=[1+1+1+（+）+（+）+（+）]‎ ‎≥+（2+2+2）‎ ‎=+3=，‎ 当且仅当a=b=c=时“=”成立．‎ ‎　‎