高中数学选修2-2课时提升作业(二十三) 3_2_2

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高中数学选修2-2课时提升作业(二十三) 3_2_2

温馨提示:‎ ‎ 此套题为Word版,请按住Ctrl,滑动鼠标滚轴,调节合适的观看比例,答案解析附后。关闭Word文档返回原板块。‎ 课时提升作业(二十三)‎ 复数代数形式的乘除运算 一、选择题(每小题3分,共18分)‎ ‎1.(2014·深圳高二检测)i为虚数单位,则=(  )‎ A.-i B.‎-1 ‎ C.i D.1‎ ‎【解析】选C.因为==i,所以原式=i2 013=i4×503+1=i.‎ ‎2.(2014·东营高二检测)若i为虚数单位,图中复平面内点Z表示复数z,则表示复数的点是(  )‎ A.E B.F C.G D.H ‎【解析】选D.依题意得z=3+i,====2-i,该复数对应的点的坐标是(2,-1).‎ ‎3.(2013·山东高考)复数z=(i为虚数单位),则|z|=(  )‎ A.25 B. C.5 D.‎ ‎【解题指南】从复数的运算法则及复数的模的概念角度处理.‎ ‎【解析】选C.z==-4-3i,‎ 所以|z|==5.‎ ‎4.(2014·江西高考)是z的共轭复数.若z+=2,(z-)i=2(i为虚数单位),则z= ‎ ‎(  )‎ A.1+i B.-1-i C.-1+i D.1-i ‎【解析】选D.设z=a+bi(a,b∈R),则=a-bi,z+=‎2a=2,‎ 故a=1,(z-)i=-2b=2,故b=-1,所以z=1-i.‎ ‎5.(2013·四川高考)如图,在复平面内,点A表示复数z,则图中表示z的共轭复数的点是(  )‎ A.A      B.B      C.C      D.D ‎【解题指南】解决本题的关键是明确复数z=a+bi(a,b∈R)的共轭复数的形式是=a-bi,然后根据图示进行选择即可.‎ ‎【解析】选B.由于点A表示复数z=a+bi(a,b∈R),所以其共轭复数是=a-bi,在图中应该是点B对应的复数,故选B.‎ ‎6.下面关于复数z=的结论,正确的是(  )‎ ‎①=2; ②z2=2i;‎ ‎③z的共轭复数为1+i; ④z的虚部为-1.‎ A.①②    B.②③    C.②④    D.③④‎ ‎【解析】选C.z===-1-i,‎ 所以==,‎ z2=(-1-i)2=2i.‎ z的共轭复数为-1+i.‎ z的虚部为-1,所以②④正确.‎ 二、填空题(每小题4分,共12分)‎ ‎7.计算(7-i)=__________.‎ ‎【解题指南】复数乘法运算可以把虚数单位i看作一个字母,按照实数的多项式乘法运算法则进行运算.‎ ‎【解析】(7-i)‎ ‎=×7-i+i·7-i·i ‎=+i.‎ 答案:+i ‎8.如果x-1+yi与i-3x是共轭复数,则实数x=__________,实数y=__________.‎ ‎【解析】由已知得所以 答案: -1‎ ‎9.(2014·银川高二检测)已知=b+i(a,b∈R),其中i为虚数单位,则a+b=__________.‎ ‎【解析】根据已知可得=b+i⇒2-ai=b+i⇒即从而a+b=1.‎ 答案:1‎ ‎【变式训练】i是虚数单位,若=a+bi(a,b∈R),则乘积ab的值是(  )‎ A.-15 B.‎-3 ‎ C.3 D.15‎ ‎【解析】选B.==-1+3i=a+bi,‎ 所以a=-1,b=3,所以ab=-3.‎ 三、解答题(每小题10分,共20分)‎ ‎10.计算:(1)(2+i)(2-i).‎ ‎(2)(1+2i)2.‎ ‎(3)+.‎ ‎【解析】(1)(2+i)(2-i)=4-i2=4-(-1)=5.‎ ‎(2)(1+2i)2=1+4i+(2i)2=1+4i+4i2=-3+4i.‎ ‎(3)原式=+‎ ‎=i6+‎ ‎=-1+i.‎ ‎【一题多解】(3)原式=+=i6+i=-1+i.‎ ‎【拓展延伸】复数的运算顺序 复数的运算顺序与实数运算顺序相同,都是先进行高级运算乘方、开方,再进行次级运算乘、除,最后进行低级运算加、减,如i的幂运算,先利用i的幂的周期性,将其次数降低,然后再进行四则运算.‎ ‎11.(2014·天津高二检测)已知复数z满足z=(-1+3i)(1-i)-4.‎ ‎(1)求复数z的共轭复数.‎ ‎(2)若w=z+ai,且复数w对应向量的模不大于复数z所对应向量的模,求实数a的取值范围.‎ ‎【解题指南】‎ 先利用乘法法则计算出z,再求出复数z,w的模,进而计算出a的范围.‎ ‎【解析】(1)z=-1+i+3i+3-4=-2+4i,所以复数z的共轭复数为-2-4i.‎ ‎(2)w=-2+(4+a)i,复数w对应向量为(-2,4+a),其模为=.‎ 又复数z所对应向量为(-2,4),其模为2.由复数w对应向量的模不大于复数z所对应向量的模得,20+‎8a+a2≤20,a2+‎8a≤0,a(a+8)≤0,‎ 所以,实数a的取值范围是-8≤a≤0.‎ 一、选择题(每小题4分,共16分)‎ ‎1.(2014·武汉高二检测)已知复数z1=cos23°+isin23°和复数z2=sin53°+isin37°,则z1·z2=(  )‎ A.+i B.+i C.-i D.-i ‎【解析】选A.由已知及复数乘法与三角公式得,z1·z2=(cos23°+isin23°)‎ ‎(sin53°+isin37°)‎ ‎=(cos23°+isin23°)(cos37°+isin37°)‎ ‎=(cos23°cos 37°-sin 23°sin 37°)‎ ‎+i(cos 23°sin 37°+sin 23°cos 37°)‎ ‎=cos 60°+isin 60°‎ ‎=+i.‎ 故选A.‎ ‎2.(2014·长春高二检测)已知3-i=z·(-2i),那么复数z在复平面内对应的点应位于(  )‎ A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 ‎【解题指南】先计算出z,再判断z所在的象限.‎ ‎【解析】选A.z==+i.‎ ‎【举一反三】若结论改为求复数z的共轭复数的模,则结果如何?‎ ‎【解析】z==+i.‎ 则=-i,‎ 即得||===1.‎ ‎3.(2014·安徽高考)设i是虚数单位,复数i3+= (  )‎ A.-i B.i C.-1 D.1‎ ‎【解题指南】利用复数的运算性质进行计算.‎ ‎【解析】选D.i3+=-i+‎ ‎=-i+‎ ‎=-i+=1.‎ ‎4.(2014·长沙高二检测)定义:复数b+ai是z=a+bi(a,b∈R)的转置复数,记为z′=b+ai;复数a-bi是z=a+bi(a,b∈R)的共轭复数,记为=a-bi.给出下列命题:‎ ‎①z′=i;②′+=0;③z′1·z′2=;其中真命题的个数为(  )‎ A.0 B‎.1 ‎ C.2 D.3‎ ‎【解析】选C.i=i(a-bi)=b+ai=z′,①正确;‎ ‎′+=(a-bi)′+‎ ‎=-b+ai+b-ai=0,②正确;‎ 设z1=a1+b1i,z2=a2+b2i(a1,a2,b1,b2∈R).z′1·z′2=(a1+b1i)′·(a2+b2i)′‎ ‎=(b1+a1i)·(b2+a2i)‎ ‎=(b1b2-a‎1a2)+(b‎1a2+a1b2)i.‎ ‎=‎ ‎=‎ ‎=(a‎1a2-b1b2)-(b‎1a2+a1b2)i,‎ 所以z′1·z′2≠,③错,故选C.‎ 二、填空题(每小题5分,共10分)‎ ‎5.(2014·石家庄高二检测)若复数z=的实部为3,则z的虚部为__________.‎ ‎【解析】z===,‎ 由条件知,=3,所以a=-1,‎ 所以z=3+i,所以z的虚部为1.‎ 答案:1‎ ‎6.复数z满足方程i=1-i,则z=__________.‎ ‎【解析】·i=1-i,‎ 所以==‎ ‎=-i(1-i)=-1-i,‎ 所以z=-1+i.‎ 答案:-1+i 三、解答题(每小题12分,共24分)‎ ‎7.定义运算=ad-bc,复数z满足=1+i,求z.‎ ‎【解析】由题意知,=i·z-i=1+i,‎ 所以iz=1+2i,所以z==2-i.‎ ‎8.已知1+i是方程x2+bx+c=0的一个根(b,c为实数).‎ ‎(1)求b,c的值.‎ ‎(2)试说明1-i也是方程的根吗?‎ ‎【解析】(1)因为1+i是方程x2+bx+c=0的根,‎ 所以(1+i)2+b(1+i)+c=0,‎ 即(b+c)+(2+b)i=0.‎ 所以得 ‎(2)方程为x2-2x+2=0.‎ 把1-i代入方程左边得(1-i)2-2(1-i)+2=0,显然方程成立,所以1-i也是方程的一个根.‎ ‎【变式训练】若1+i是关于x的实系数方程x2+bx+c=0的一个复数根,求b,c的值.‎ ‎【解析】由于1+i是关于x的实系数方程x2+bx+c=0的一个根,则(1+i)2+b(1+i)+c=0,整理得(b+c-1)+(2+b)i=0,则 解得 关闭Word文档返回原板块
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