四川省成都七中2019-2020学年度下学期半期考试高二理科数学试题（解析版）

四川省成都七中2019-2020学年度下学期半期考试高二理科数学试题（解析版）

四川省成都七中2019-2020学年度下学期半期考试高二理科数学试题 ‎（解析版）‎ 一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．‎ ‎1．已知复数z＝1﹣2i，则z‎=‎（　　）‎ A．‎5‎ B．1+2i C．‎1‎‎5‎‎+‎2‎‎5‎i D．‎‎1‎‎5‎‎-‎2‎‎5‎i ‎2．在空间直角坐标系O﹣xyz中，点A（2，﹣1，3）关于yOz平面对称的点的坐标是（　　）‎ A．（2，1，3） B．（﹣2，﹣1，3） C．（2，1，﹣3） D．（2，﹣1，﹣3）[来源:Z&xx&k.Com]‎ ‎3．在极坐标系中，过点（2，π‎2‎）且与极轴平行的直线方程是（　　）‎ A．ρ＝2 B．θ‎=‎π‎2‎ C．ρcosθ＝2 D．ρsinθ＝2‎ ‎4．如图是函数y＝f（x）的导函数y＝f′（x）的图象，则下面判断正确的是（　　）‎ A．在区间（﹣2，1）内f（x）是增函数 B．在（1，3）内f（x）是减函数 ‎ C．在（4，5）内f（x）是增函数 D．在x＝2时f（x）取到极小值 ‎5．函数y＝x+2cosx在[0，π‎2‎]上取得最大值时，x的值为（　　）‎ A．0 B．π‎6‎ C．π‎3‎ D．‎π‎2‎ ‎6．已知实数x、y、z满足x+2y+3z＝6，则x2+y2+z2的最小值是（　　）‎ A．‎6‎ B．3 C．‎18‎‎7‎ D．6‎ ‎7．成都七中某社团小组需要自制实验器材，要把一段长为12cm的细铁丝锯成两段，各自围成一个正三角形，那么这两个正三角形面积之和的最小值是（　　）‎ A．‎3‎‎3‎‎2‎cm‎2‎ B．4cm2 C．‎3‎2‎cm‎2‎ D．‎‎2‎3‎cm‎2‎ ‎8．若f（x）‎=-‎1‎‎3‎x‎3‎+‎1‎‎2‎x‎2‎+‎2ax在（1，+∞）上存在单调递增区间，则a的取值范围是（　　）‎ A．（﹣∞，0] B．（﹣∞，0） C．[0，+∞） D．（0，+∞）‎ ‎9．我国古代数学名著《九章算术》中割圆术有：“割之弥细，所失弥少，割之又割，以至于不可割，则与圆周合体而无所失矣．”其体现的是一种无限与有限的转化过程，比如在‎2+‎‎2+‎‎2+⋯‎中“…”既代表无限次重复，但原式却是个定值x，这可以通过方程‎2+x‎=x确定出来x＝2，类似的不难得到‎1+‎1‎‎1+‎‎1‎‎1+⋯‎=‎（　　）‎ A．‎-‎5‎-1‎‎2‎ B．‎5‎‎-1‎‎2‎ C．‎5‎‎+1‎‎2‎ D．‎‎-‎5‎+1‎‎2‎ ‎10．二面角α﹣l﹣β为60°，A、B是棱l上的两点，AC、BD分别在半平面α、β内，AC⊥l，BD⊥l，且AB＝AC＝a，BD＝2a，则CD的长为（　　）‎ A．2a B．‎5‎a C．a D．‎3‎a ‎11．已知函数f（x）的导数f'（x）满足f（x）+xf'（x）＞﹣f'（x）对x∈R恒成立，且实数x，y满足xf（x）﹣yf（y）＞f（y）﹣f（x），则下列关系式恒成立的是（　　）‎ A．‎1‎x‎3‎‎+1‎‎＜‎‎1‎y‎3‎‎+1‎ B．ln（x2+1）＞ln（y2+1） ‎ C．xex‎＜‎yey D．x﹣y＞sinx﹣siny ‎12．设函数f（x）‎=‎‎3‎sinπxm，若存在f（x）的极值点x0满足x02+[f（x0）]2＜m2，则m的取值范围是（　　）‎ A．（﹣∞，﹣6）∪（6，+∞） B．（﹣∞，﹣4）∪（4，+∞） ‎ C．（﹣∞，﹣2）∪（2，+∞） D．（﹣∞，﹣1）∪（1，+∞）‎ 二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．‎ ‎13．定积分‎0‎‎5‎‎ ‎4xdx＝　 　．‎ ‎14．不等式|x﹣1|﹣|x﹣5|＜2的解集是　 　．‎ ‎15．已知函数f(x)=‎ex‎-‎1‎‎2‎x‎2‎-x+‎1‎e，x≤0，‎lnxx‎，x＞0．‎若方程f（x）﹣m＝0恰有两个实根，则实数m的取值范围是　 　．‎ ‎16．已知函数f（x）＝x2‎-‎‎2‎‎3‎ax3（a＞0），x∈R．若对任意的x1∈（2，+∞），都存在x2∈（1，+∞），使得f（x1）•f（x2）＝1，则a的取值范围是　 　．‎ 三、解答题：本大题共6小题，共70分.其中17题10分，18-22题每小题10分 ‎17．已知函数f(x)=‎1‎‎3‎x‎3‎+‎‎1‎‎2‎．（Ⅰ）求曲线y＝f（x）在点P(1，‎5‎‎6‎)‎处的切线与坐标轴围成的三角形的面积；‎ ‎（Ⅱ）求过点A(2，‎1‎‎2‎)‎作曲线y＝f（x）的切线方程．‎ ‎18．如图，五面体A﹣BCC1B1中，AB1＝4．底面ABC 是正三角形，AB＝2．四边形BCC1B1是矩形，二面角A﹣BC﹣C1为直二面角．（Ⅰ）D在AC上运动，当D在何处时，有AB1∥平面BDC1，并且说明理由；‎ ‎（Ⅱ）当AB1∥平面BDC1时，求二面角C﹣BC1﹣D余弦值．‎ ‎19．已知直线l的参数方程为x=1+tcosαy=tsinα（t为参数，0≤α＜π），以原点为极点，x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，圆C的极坐标方程为ρ2+1＝2ρcosθ+4ρsinθ．（1）求圆C的直角坐标方程；（2）若直线l与圆C相交于A、B两点，且‎|AB|=2‎‎3‎，求α的值．‎ ‎20．已知函数f（x）＝ln（1+x），g（x）＝xf'（x），x≥0，其中f'（x）是f（x）的导函数．若g1（x）＝g（x），gn+1（x）＝g[gn（x）]，n∈N*．（Ⅰ）求gn（x）的表达式；（Ⅱ）求证：g（12﹣1）+g（22﹣1）+g（32﹣1）+…+g（n2﹣1）‎＜‎n‎2‎n+1‎，其中n∈N*．‎ ‎21．已知函数f（x）＝﹣alnx+（a+1）x‎-‎‎1‎‎2‎x‎2‎（a＞0）．（1）讨论函数f（x）的单调性；（2）若f（x）‎≥-‎1‎‎2‎x‎2‎+‎ax+b恒成立，求a∈[‎1‎‎2‎，1]‎时，实数b的最大值．‎ ‎22．已知函数f(x)=exx-ax+lnx．（Ⅰ）a＝1时，求函数f（x）的极值；（Ⅱ）若a∈[1，e‎2‎‎4‎+‎1‎‎2‎]‎，求f（x）的最小值g（a）的取值范围．‎ 一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．‎ ‎1．已知复数z＝1﹣2i，则z‎=‎（　　）‎ A．‎5‎ B．1+2i C．‎1‎‎5‎‎+‎2‎‎5‎i D．‎‎1‎‎5‎‎-‎2‎‎5‎i 利用复数的共轭复数的定义即可得出．‎ 复数z＝1﹣2i，‎ 则z‎=‎1+2i．‎ 故选：B．‎ 本题考查了复数的共轭复数的定义，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．‎ ‎2．在空间直角坐标系O﹣xyz中，点A（2，﹣1，3）关于yOz平面对称的点的坐标是（　　）‎ A．（2，1，3） B．（﹣2，﹣1，3） C．（2，1，﹣3） D．（2，﹣1，﹣3）‎ 在空间直角坐标系O﹣xyz中，点（a，b，c）关于yOz平面对称的点的坐标是（﹣a，b，c）．‎ 在空间直角坐标系O﹣xyz中，‎ 点A（2，﹣1，3）关于yOz平面对称的点的坐标是（﹣2，﹣1，3）．‎ 故选：B．‎ 本题考查点关于yOz平面对称的点的坐标的求法，考查空间直角坐标系的性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．‎ ‎3．在极坐标系中，过点（2，π‎2‎）且与极轴平行的直线方程是（　　）‎ A．ρ＝2 B．θ‎=‎π‎2‎ C．ρcosθ＝2 D．ρsinθ＝2‎ 可将极坐标系下的坐标转化成直角坐标处理，再将结果转化成极坐标方程．‎ 点（2，π‎2‎）在直角坐标系下的坐标为（2cosπ‎2‎，2sinπ‎2‎），即（0，2）‎ ‎∴过点（0，2）且与x轴平行的直线方程为y＝2．‎ 即为ρsinθ＝2．‎ 故选：D．‎ 极坐标是高中选修的内容，站在高考的角度，对于这方面知识的考查并不难，大多比较基础，学生只要掌握课本中基本的转换，方程，习题等就可以解决绝不多数问题．‎ ‎4．如图是函数y＝f（x）的导函数y＝f′（x）的图象，则下面判断正确的是（　　）‎ A．在区间（﹣2，1）内f（x）是增函数 ‎ B．在（1，3）内f（x）是减函数 ‎ C．在（4，5）内f（x）是增函数 ‎ D．在x＝2时f（x）取到极小值 根据函数单调性，极值和导数之间的关系进行判断．‎ 由图象知当‎-‎3‎‎2‎＜‎x＜2或x＞4时，f′（x）＞0，函数为增函数，‎ 当﹣3＜x‎＜-‎‎3‎‎2‎或2＜x＜4时，f′（x）＜0，函数为减函数，‎ 则当x‎=-‎‎3‎‎2‎或x＝4函数取得极小值，在x＝2时函数取得极大值，‎ 故ABD错误，正确的是C，‎ 故选：C．‎ 本题主要考查函数单调性极值和导数的关系，根据图象确定函数的单调性是解决本题的关键．‎ ‎5．函数y＝x+2cosx在[0，π‎2‎]上取得最大值时，x的值为（　　）‎ A．0 B．π‎6‎ C．π‎3‎ D．‎π‎2‎ 先求导函数，令导数等于0 求出满足条件的x，然后讨论导数符号，从而求出何时函数取最大值．‎ y′＝1﹣2sinx＝0 x∈[0，π‎2‎]‎ 解得：x‎=‎π‎6‎ 当x∈（0，π‎6‎）时，y′＞0，∴函数在（0，π‎6‎）上单调递增 当x∈（π‎6‎，π‎2‎）时，y′＜0，∴函数在（π‎6‎，π‎2‎）上单调递减，‎ ‎∴函数y＝x+2cosx在[0，π‎2‎]上取得最大值时x‎=‎π‎6‎ 故选：B．‎ 本题主要考查了函数的最值及其几何意义，以及利用导数研究函数的最值，属于中档题．‎ ‎6．已知实数x、y、z满足x+2y+3z＝6，则x2+y2+z2的最小值是（　　）‎ A．‎6‎ B．3 C．‎18‎‎7‎ D．6‎ 直接利用柯西不等式求解即可．‎ 由柯西不等式有，（12+22+32）（x2+y2+z2）≥（x+2y+3z）2，则x‎2‎‎+y‎2‎+z‎2‎≥‎(x+2y+3z‎)‎‎2‎‎14‎=‎36‎‎14‎=‎‎18‎‎7‎，‎ 当且仅当“‎1‎x‎=‎2‎y=‎‎3‎z”时取等号．‎ 故x2+y2+z2的最小值是‎18‎‎7‎．‎ 故选：C．‎ 本题主要考查利用柯西不等式求最值，考查运算求解能力，属于基础题．‎ ‎7．成都七中某社团小组需要自制实验器材，要把一段长为12cm的细铁丝锯成两段，各自围成一个正三角形，那么这两个正三角形面积之和的最小值是（　　）‎ A．‎3‎‎3‎‎2‎cm‎2‎ B．4cm2 C．‎3‎2‎cm‎2‎ D．‎‎2‎3‎cm‎2‎ 设出两段铁丝的长度，由三角形面积公式建立函数关系，结合二次函数性质易求最小值 设一段长x，则另一段为12﹣x，‎ 所以两个正三角形面积之和S‎=‎‎1‎‎2‎（x‎3‎）2sin60°‎+‎‎1‎‎2‎（‎12-x‎3‎）2sin60°‎=‎‎3‎‎18‎（x2﹣12x+72），‎ 则x＝6时，函数取得最小值2‎3‎，‎ 故选：D．‎ 本题考查二次函数应用题，属于基础题．‎ ‎8．若f（x）‎=-‎1‎‎3‎x‎3‎+‎1‎‎2‎x‎2‎+‎2ax在（1，+∞）上存在单调递增区间，则a的取值范围是（　　）‎ A．（﹣∞，0] B．（﹣∞，0） C．[0，+∞） D．（0，+∞）‎ f（x）在（1，+∞）上存在单调递增区间，即f′（x）＞0在（1，+∞）上有解，因为f′（x）＝﹣x2+x+2a的对称轴为x=‎‎1‎‎2‎，所以f′（x）在（1，+∞）上递减，所以只需f′（1）＞0即可，由此求出a的范围．‎ 若f（x）‎=-‎1‎‎3‎x‎3‎+‎1‎‎2‎x‎2‎+‎2ax在（1，+∞）上存在单调递增区间，‎ 只需f′（x）＞0在（0，+∞）上有解即可．‎ 由已知得f′（x）＝﹣x2+x+2a，该函数开口向下，对称轴为x=‎‎1‎‎2‎，‎ 故f（x）在（1，+∞）上递减，所以f′（1）＝2a＞0，解得a＞0．‎ 故选：D．‎ 已知函数在某区间上存在单调增区间或减区间时，一般转化为导函数在该区间上大于零或小于零有解的问题．属于中档题．‎ ‎9．我国古代数学名著《九章算术》中割圆术有：“割之弥细，所失弥少，割之又割，以至于不可割，则与圆周合体而无所失矣．”其体现的是一种无限与有限的转化过程，比如在‎2+‎‎2+‎‎2+⋯‎中“…”既代表无限次重复，但原式却是个定值x，这可以通过方程‎2+x‎=x确定出来x＝2，类似的不难得到‎1+‎1‎‎1+‎‎1‎‎1+⋯‎=‎（　　）‎ A．‎-‎5‎-1‎‎2‎ B．‎5‎‎-1‎‎2‎ C．‎5‎‎+1‎‎2‎ D．‎‎-‎5‎+1‎‎2‎ 由已知代数式的求值方法：先换元，再列方程，解方程，求解（舍去负根），可得要求的式子 可以令‎1+‎1‎‎1+‎‎1‎‎1+⋯‎=‎t（t＞0），由1‎+‎1‎t=‎t解的其值为‎5‎‎+1‎‎2‎，‎ 故选：C．‎ 本题考查类比推理的思想方法，考查从方法上类比，是一道基础题 ‎10．二面角α﹣l﹣β为60°，A、B是棱l上的两点，AC、BD分别在半平面α、β内，AC⊥l，BD⊥l，且AB＝AC＝a，BD＝2a，则CD的长为（　　）‎ A．2a B．‎5‎a C．a D．‎3‎a 先利用现有图形构造出一个四棱柱，再利用空间向量进行计算，欲求CD的长，即求向量CD‎→‎的模，也就是求向量CA‎→‎‎+AB‎→‎+‎BD‎→‎的模，利用向量的数量积运算即可求得．‎ ‎∵AC⊥l，BD⊥l，‎ ‎∴‎＜‎AC‎→‎，BD‎→‎‎＞=‎60°，且AC‎→‎•BA‎→‎‎=‎0，AB‎→‎•BD‎→‎‎=‎0，‎ ‎∴CD‎→‎‎=CA‎→‎+AB‎→‎+‎BD‎→‎，‎ ‎∴|CD‎→‎|‎‎=‎‎(CA‎→‎+AB‎→‎+BD‎→‎)‎‎2‎ ‎=a‎2‎‎+a‎2‎+(2a‎)‎‎2‎+2a⋅2acos120°‎=‎‎2a．‎ 故选：A．‎ 本题主要考查了空间向量，以及空间几何体的概念、空间想象力，属于基础题．‎ ‎11．已知函数f（x）的导数f'（x）满足f（x）+xf'（x）＞﹣f'（x）对x∈R恒成立，且实数x，y满足xf（x）﹣yf（y）＞f（y）﹣f（x），则下列关系式恒成立的是（　　）‎ A．‎1‎x‎3‎‎+1‎‎＜‎‎1‎y‎3‎‎+1‎ B．ln（x2+1）＞ln（y2+1） ‎ C．xex‎＜‎yey D．x﹣y＞sinx﹣siny 先把要处理的问题转化为：已知函数f（x）的导数f'（x）满足f（x）+（x+1）f'（x）＞0对x∈R恒成立，且实数x，y满足（x+1）f（x）﹣（y+1）f（y）＞0，则下列关系式恒成立的是（　　），再构造函数g（x）＝（x+1）f（x），对其求导，利用题设条件判断其单调性，得出x＞y．再逐个选项进行研究，选出正确答案即可．‎ 原问题可转化为：已知函数f（x）的导数f'（x）满足f（x）+（x+1）f'（x）＞0对x∈R恒成立，且实数x，y满足（x+1）f（x）﹣（y+1）f（y）＞0，则下列关系式恒成立的是（　　）‎ 令g（x）＝（x+1）f（x），则g′（x）＝f（x）+（x+1）f'（x）＞0对x∈R恒成立，‎ ‎∴g（x）在x∈R时单调递增．又由实数x，y满足（x+1）f（x）﹣（y+1）f（y）＞0，即g（x）＞g（y），‎ ‎∴x＞y，‎ 取x＝1，y＝﹣2，则有‎1‎‎1+‎x‎3‎‎＞‎‎1‎‎1+‎y‎3‎成立，故A选项错误；‎ 又当x＝1，y＝﹣1时，有ln（1+x2）＝ln（1+y2），故B选项错误；‎ 令h（x）‎=‎xex，则h′（x）‎=‎‎1-xex，当x＜1时，h′（x）＞0，此时h（x）单调递增，当x＞1时，h′（x）＜0，此时h（x）单调递减，当y＜x＜1时，有h（x）＞h（y）成立，即有xex‎＞‎yey成立，故C选项错误；[来源:Zxxk.Com]‎ 令t（x）＝x﹣sinx，则t′（x）＝1﹣cosx≥0，此时t（x）单调递增，又∵x＞y，∴t（x）＞t（y），‎ ‎∴x﹣sinx＞y﹣siny，即x﹣y＞sinx﹣siny，故D选项正确．‎ 故选：D．‎ 本题主要考查导数在抽象函数单调性中的应用，属于基础题．‎ ‎12．设函数f（x）‎=‎‎3‎sinπxm，若存在f（x）的极值点x0满足x02+[f（x0）]2＜m2，则m的取值范围是（　　）‎ A．（﹣∞，﹣6）∪（6，+∞） B．（﹣∞，﹣4）∪（4，+∞） ‎ C．（﹣∞，﹣2）∪（2，+∞） D．（﹣∞，﹣1）∪（1，+∞）‎ 由题意可得，f（x0）＝±‎3‎，且 πx‎0‎m‎=‎kπ‎+‎π‎2‎，k∈Z，再由题意可得当m2最小时，|x0|最小，而|x0|最小为‎1‎‎2‎|m|，可得m2 ‎＞‎‎1‎‎4‎m2+3，由此求得m的取值范围．‎ 由题意可得，f（x0）＝±‎3‎，即 πx‎0‎m‎=‎kπ‎+‎π‎2‎，k∈z，即 x0‎=‎‎2k+1‎‎2‎m．‎ 再由x02+[f（x0）]2＜m2，即x02+3＜m2，可得当m2最小时，|x0|最小，而|x0|最小为‎1‎‎2‎|m|，‎ ‎∴m2 ‎＞‎‎1‎‎4‎m2+3，∴m2＞4． ‎ 求得 m＞2，或m＜﹣2，‎ 故选：C．‎ 本题主要正弦函数的图象和性质，函数的零点的定义，体现了转化的数学思想，属于中档题．‎ 二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．‎ ‎13．定积分‎0‎‎5‎‎ ‎4xdx＝　50　．‎ 先找到被积函数的原函数，然后运用微积分基本定理计算定积分即可．‎ ‎∫054xdx＝2x2|05＝2×52＝50．‎ 故答案为：50．‎ 本题主要考查了定积分，运用微积分基本定理计算定积分的关键是找到被积函数的原函数，属于积分中的基础题．‎ ‎14．不等式|x﹣1|﹣|x﹣5|＜2的解集是　（﹣∞，4）　．‎ 通过讨论x的范围，求出各个区间上的x的解集，从而求出不等式的解集．‎ x＜1时，原不等式可化为：1﹣x+x﹣5＜2，恒成立，‎ ‎1≤x≤5时，原不等式可化为：x﹣1+x﹣5＜2，解得：1≤x＜4，‎ x＞5时，原不等式可化为：x﹣1﹣x+5＜2，无解，‎ 综上：原不等式的解集是（﹣∞，4）．[来源:学&科&网Z&X&X&K]‎ 本题考查了绝对值不等式的解法，考查分类讨论，是一道基础题．‎ ‎15．已知函数f(x)=‎ex‎-‎1‎‎2‎x‎2‎-x+‎1‎e，x≤0，‎lnxx‎，x＞0．‎若方程f（x）﹣m＝0恰有两个实根，则实数m的取值范围是　‎(-∞，0)∪{‎1‎e}‎　．‎ 研究x＞0与x≤0时，f（x）的单调性、极值情况，画出图象，然后研究y＝a与y＝f（x）恰有两个交点时a的取值范围．‎ ‎（1）x≤0时，f′（x）＝ex﹣x﹣1，易知f′（0）＝0，而f″（x）＝ex﹣1＜0，‎ 所以f′（x）在（﹣∞，0]上递减，故f′（x）≥f′（0）＝0，故f（x）在（﹣∞，0]上递增，‎ 且f（x）≤f（0）‎=1+‎‎1‎e，当x→﹣∞时，f（x）→﹣∞．‎ ‎（2）x＞0时，f'(x)=‎‎1-lnxx‎2‎，令f′（x）＞0，得0＜x＜e；f′（x）＜0得x＞e；‎ 故f（x）在（0，e）上递增，在（e，+∞）递减，‎ 故x＞0时，f(x‎)‎max=f(e)=‎‎1‎e；x→0时，f（x）→﹣∞；x→+∞时，f（x）→0．‎ 由题意，若方程f（x）﹣m＝0恰有两个实根，只需y＝m与y＝f（x）恰有两个交点，同一坐标系画出它们的图象如下：‎ 如图所示，当直线y＝m在图示①，②位置时，与y＝f（x）有两个交点，所以m的范围是：‎(-∞，0)∪{‎1‎e}‎．‎ 故答案为：‎(-∞，0)∪{‎1‎e}‎．‎ 本题考查利用导数研究函数的单调性、极值等性质，进而结合图象研究函数的零点问题．属于中档题．‎ ‎16．已知函数f（x）＝x2‎-‎‎2‎‎3‎ax3（a＞0），x∈R．若对任意的x1∈（2，+∞），都存在x2∈（1，+∞），使得f（‎ x1）•f（x2）＝1，则a的取值范围是　‎[‎3‎‎4‎，‎3‎‎2‎]‎　．‎ 只需要y＝f（x），x＞2时函数值倒数的取值范围，是y＝f（x），x＞1时值域的子区间即可．研究函数f（x）在（1，2），（2，+∞）的单调性，求值域即可解决问题．‎ 因为f′（x）＝﹣2ax2+2x‎=-2ax(x-‎1‎a)‎，‎ 令f′（x）＝0得x=0或x=‎‎1‎a，‎ ‎①：当‎1‎a‎≤1‎，即a≥1时，f′（x）＜0，x∈[1，+∞），此时f（x）在[1，+∞）递减，‎ ‎∵f(1)=1-‎2‎‎3‎a，f(2)=4-‎16‎‎3‎a，‎ x∈R．若对任意的x1∈（2，+∞），都存在x2∈（1，+∞），使得f（x1）•f（x2）＝1，‎ 故f（x1）的值域为（‎-∞，4-‎‎16a‎3‎），f（x2）的值域为（‎-∞，1-‎2‎‎3‎a），‎ 由f（x1）•f（x2）＝1得：‎1‎f(x‎1‎)‎‎=f(x‎2‎)‎．‎ 显然，当f（x1）→﹣∞时，‎1‎f(x‎1‎)‎→0（负数），故要满足结论，首先需满足：‎ ‎1-‎2‎‎3‎a≥0‎‎，解得a≤‎‎3‎‎2‎．‎ 同时须有‎4-‎16a‎3‎≤0‎，即a≥‎‎3‎‎4‎．‎ 所以‎1≤a≤‎‎3‎‎2‎．‎ ‎②当‎1＜‎1‎a≤2‎，即‎1‎‎2‎‎≤a＜1‎时，f（x1）在（2，+∞）上递减，故此时f（x1）‎＜4-‎‎16a‎3‎，‎ f（x2）在（1，‎1‎a）递增，在（‎1‎a‎，+∞‎）递减，故f(x‎2‎)≤f(‎1‎a)=‎1‎‎3‎a‎2‎＞‎0．‎ 此时只需‎4-‎16a‎3‎≤0‎即可，解得‎3‎‎4‎‎≤a＜1‎．‎ ‎③当‎1‎a‎＞2‎，即‎0＜a＜‎‎1‎‎2‎时，f（x1），f（x2）的最大值都是f(‎1‎a)=‎1‎‎3a‎2‎＞‎0，所以‎1‎f(x‎1‎)‎能取到所有正实数，‎ 而f(x‎2‎)≤‎‎1‎‎3‎a‎2‎，故此时不满足题意．‎ 综上，a的取值范围是[‎3‎‎4‎‎，‎‎3‎‎2‎]．‎ 本题考查利用导数研究函数的单调性、极值、最值等问题，同时考查了学生利用分类讨论、函数思想以及转化思想的应用，属于中档题．‎ 三、解答题：本大题共6小题，共70分.其中17题10分，18-22题每小题10分 ‎17．已知函数f(x)=‎1‎‎3‎x‎3‎+‎‎1‎‎2‎．‎ ‎（Ⅰ）求曲线y＝f（x）在点P(1，‎5‎‎6‎)‎处的切线与坐标轴围成的三角形的面积；‎ ‎（Ⅱ）求过点A(2，‎1‎‎2‎)‎作曲线y＝f（x）的切线方程．‎ ‎（Ⅰ）求得f（x）的导数，可得曲线f（x）在x＝1处切线的斜率，由点斜式方程可得切线方程，分别令x＝0，y＝0，求得切线与坐标轴的交点，再由三角形的面积公式，计算可得所求值；‎ ‎（Ⅱ）判断A不在曲线y＝f（x）上，设切点为（m，n），由切点既在曲线f（x）上，又在切线上，结合两点的斜率公式，可得m，n的方程组，解方程可得m，n的值，进而得到所求切线方程．‎ ‎（Ⅰ）函数f(x)=‎1‎‎3‎x‎3‎+‎‎1‎‎2‎的导数为f′（x）＝x2，曲线y＝f（x）在点P(1，‎5‎‎6‎)‎处的切线的斜率为k＝1，‎ 则切线的方程为y‎-‎5‎‎6‎=‎x﹣1，即为6x﹣6y﹣1＝0，令x＝0，可得y‎=-‎‎1‎‎6‎；y＝0，可得x‎=‎‎1‎‎6‎．‎ 则切线与坐标轴围成的三角形的面积为S‎=‎1‎‎2‎×‎1‎‎6‎×‎1‎‎6‎=‎‎1‎‎72‎；‎ ‎（Ⅱ）由A（2，‎1‎‎2‎）和f(x)=‎1‎‎3‎x‎3‎+‎‎1‎‎2‎，可得f（2）‎=‎8‎‎3‎+‎1‎‎2‎≠‎‎1‎‎2‎，即A不在f（x）的图象上，‎ 可设切点为（m，n），则切线的斜率为m2，‎ 切线的方程为y﹣n＝m2（x﹣m），‎ 则n-‎‎1‎‎2‎m-2‎‎=‎m‎2‎n=‎1‎‎3‎m‎3‎+‎‎1‎‎2‎，解得m=0‎n=‎‎1‎‎2‎或m=3‎n=‎‎19‎‎2‎，‎ 故切线的方程为y‎=‎‎1‎‎2‎或18x﹣2y﹣35＝0．‎ 本题考查导数的运用：求切线的方程，注意区分在某点处的切线和过某点的切线，考查方程思想和化简运算能力，属于中档题．‎ ‎18．如图，五面体A﹣BCC1B1中，AB1＝4．底面ABC 是正三角形，AB＝2．四边形BCC1B1是矩形，二面角A﹣BC﹣C1为直二面角．‎ ‎（Ⅰ）D在AC上运动，当D在何处时，有AB1∥平面BDC1，并且说明理由；‎ ‎（Ⅱ）当AB1∥平面BDC1时，求二面角C﹣BC1﹣D余弦值．‎ ‎（I）由题意连接B1C交BC1于O，连接DO由于四边形BCC1B1是矩形且O为B1C中点又D为AC中点，从而DO∥AB1，在由线线平行，利用线面平行的判定定理即可；‎ ‎（II）由题意建立空间直角坐标系，先求出点B，A，C，D及点C1的坐标，利用先求平面的法向量，在由法向量的夹角与平面的夹角的关系求出二面角的余弦值的大小．‎ ‎（Ⅰ）当D为AC中点时，有AB1∥平面BDC1，‎ 证明：连接B1C交BC1于O，连接DO∵四边形BCC1B1是矩形 ‎∴O为B1C中点又D为AC中点，从而DO∥AB1，‎ ‎∵AB1⊄平面BDC1，DO⊂平面BDC1∴AB1∥平面BDC1‎ ‎（Ⅱ）建立空间直角坐标系B﹣xyz如图所示，则B（0，0，0），A（‎3‎，1，0），C（0，2，0），D（‎3‎‎2‎，‎3‎‎2‎，0），C1（0，2，2‎3‎），‎ 所以BD‎→‎‎=‎（‎3‎‎2‎，‎3‎‎2‎，0），BC‎1‎‎→‎‎=‎（0，2，2‎3‎）．‎ 设n‎1‎‎→‎‎=‎（x，y，z）为平面BDC1的法向量，则有‎3‎‎2‎x+‎3‎‎2‎y=0‎‎2y+2‎3‎z=0‎，即x=3zy=-‎3‎z 令Z＝1，可得平面BDC1的一个法向量为n‎1‎‎→‎‎=‎（3，‎-‎‎3‎，1），‎ 而平面BCC1的一个法向量为n‎2‎‎→‎‎=‎（1，0，0），‎ 所以cos‎＜‎n‎1‎‎→‎，n‎2‎‎→‎‎＞=n‎1‎‎→‎‎⋅‎n‎2‎‎→‎‎|n‎1‎‎→‎||n‎2‎‎→‎|‎=‎3‎‎13‎=‎‎3‎‎13‎‎13‎，故二面角C﹣BC1﹣D的余弦值为‎3‎‎13‎‎13‎．‎ ‎（I）此问重点考查了线面平行的判定定理，还考查了中位线的平行的性质定理，及学生的空间想象能力 ‎（II）此问重点考查了利用空间向量的知识，及平面的法向量的夹角与二面角的大小联系；此外还考查了学生的计算能力．‎ ‎19．已知直线l的参数方程为x=1+tcosαy=tsinα（t为参数，0≤α＜π），以原点为极点，x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，圆C的极坐标方程为ρ2+1＝2ρcosθ+4ρsinθ．‎ ‎（1）求圆C的直角坐标方程；‎ ‎（2）若直线l与圆C相交于A、B两点，且‎|AB|=2‎‎3‎，求α的值．‎ ‎（1）由圆C的极坐标方程能求出圆C的直角坐标方程．‎ ‎（2）将直线l的参数方程代入到圆C的直角坐标方程，得到：t2﹣4tsinα＝0，由此利用直线l与圆C相交于A、B两点，且‎|AB|=2‎‎3‎，能求出α的值．‎ ‎（1）∵圆C的极坐标方程为ρ2+1＝2ρcosθ+4ρsinθ．‎ ‎∴圆C的直角坐标方程为x2+y2﹣2x﹣4y+1＝0．‎ ‎（2）将直线l的参数方程为x=1+tcosαy=tsinα（t为参数，0≤α＜π）‎ 代入到圆C的直角坐标方程x2+y2﹣2x﹣4y+1＝0中，‎ 得到：t2﹣4tsinα＝0，‎ ‎∵直线l与圆C相交于A、B两点，且‎|AB|=2‎‎3‎，‎ ‎∴sinα=‎‎3‎‎2‎，解得α=‎π‎3‎或α=‎‎2π‎3‎．‎ 本题考查圆的直角坐标方程、角的求法，考查参数方程、直角坐标方程、极坐标方程的互化等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．‎ ‎20．已知函数f（x）＝ln（1+x），g（x）＝xf'（x），x≥0，其中f'（x）是f（x）的导函数．若g1（x）＝g（x），gn+1（x）＝g[gn（x）]，n∈N*．‎ ‎（Ⅰ）求gn（x）的表达式；‎ ‎（Ⅱ）求证：g（12﹣1）+g（22﹣1）+g（32﹣1）+…+g（n2﹣1）‎＜‎n‎2‎n+1‎，其中n∈N*．‎ ‎（Ⅰ）根据条件猜想gn‎(x)=x‎1+nx，n∈‎N‎*‎，然后利用数学归纳法证明猜想成立；[来源:学科网ZXXK]‎ ‎（Ⅱ）由题意可得g(n‎2‎-1)=1-‎‎1‎n‎2‎，然后由g（12﹣1）+g（22﹣1）+g（32﹣1）+…+g（n2﹣1）‎=n-(‎1‎‎1‎‎2‎+‎1‎‎2‎‎2‎+‎1‎‎3‎‎2‎+⋯+‎1‎n‎2‎)‎，利用放缩法得到g（12﹣1）+g（22﹣1）+g（32﹣1）+…+g（n2﹣1）‎＜‎n‎2‎n+1‎．‎ ‎（Ⅰ）由题意可知，g(x)=x‎1+x，x≥0‎，‎ 由已知 ‎g‎1‎‎(x)=x‎1+x，g‎2‎(x)=g[g‎1‎(x)]=g(x‎1+x)‎ ‎=x‎1+xx‎1+x‎+1‎=‎x‎1+2x‎，g‎3‎‎(x)=x‎1+3x，⋯‎，‎ 猜想gn‎(x)=x‎1+nx，n∈‎N‎*‎，下面用数学归纳法证明：‎ ‎（i）当 n＝1 时，g‎1‎‎(x)=‎x‎1+x，结论成立：‎ 假设 n＝k（k≥1，k∈N*） 时结论成立，即gk‎(x)=‎x‎1+kx，‎ 那么，当n＝k+1（k≥1，k∈N*）时，‎ gk+1‎‎(x)=g[gk(x)]=gk‎(x)‎‎1+gk(x)‎=x‎1+kx‎1+‎x‎1+kx=‎x‎1+(k+1)x‎，即结论成立．‎ 由（i）（ii）可知，结论对 n∈N* 成立．‎ ‎（Ⅱ）∵g(x)=x‎1+x，x≥0‎，‎ ‎∴g(x)=x‎1+x=1-‎1‎‎1+x⇒g(n‎2‎-1)=1-‎‎1‎n‎2‎，‎ ‎∴g（12﹣1）+g（22﹣1）+g（32﹣1）+…+g（n2﹣1）‎ ‎=(1-‎1‎‎1‎‎2‎)+(1-‎1‎‎2‎‎2‎)+(1-‎1‎‎3‎‎2‎)+⋯+(1-‎1‎n‎2‎)‎‎ ‎ ‎=n-(‎1‎‎1‎‎2‎+‎1‎‎2‎‎2‎+‎1‎‎3‎‎2‎+⋯+‎1‎n‎2‎)‎‎ ‎ ‎＜n-[‎1‎‎1×2‎+‎1‎‎2×3‎+‎1‎‎3×4‎+⋯+‎1‎n(n+1)‎]‎‎ ‎ ‎[来源:学科网]=n-[(‎1‎‎1‎-‎1‎‎2‎)+(‎1‎‎2‎-‎1‎‎3‎)+⋯+(‎1‎n-‎1‎n+1‎)]‎‎ ‎ ‎=n-(1-‎1‎n+1‎)=‎n‎2‎n+1‎‎，‎ ‎∴g（12﹣1）+g（22﹣1）+g（32﹣1）+…+g（n2﹣1）‎＜‎n‎2‎n+1‎．‎ 本题考查了数学归纳法，放缩法在数列中的应用和利用裂项相消法求数列的前n项和，考查了转化思想和推理能力，属难题．‎ ‎21．已知函数f（x）＝﹣alnx+（a+1）x‎-‎‎1‎‎2‎x‎2‎（a＞0）．‎ ‎（1）讨论函数f（x）的单调性；‎ ‎（2）若f（x）‎≥-‎1‎‎2‎x‎2‎+‎ax+b恒成立，求a∈[‎1‎‎2‎，1]‎时，实数b的最大值．‎ ‎（1）求出函数的导数，通过讨论a的范围，确定导函数的符号，从而求出函数的单调区间；‎ ‎（2）问题转化为b≤﹣alnx+x恒成立，令g（x）＝﹣alnx+x，x＞0，即b≤g（x）min，根据函数的单调性求出g（x）的最小值，从而求出b的最大值即可．‎ ‎（1）∵f（x）＝﹣alnx+（a+1）x‎-‎‎1‎‎2‎x‎2‎（a＞0），定义域为（0，+∞）…（1分），‎ ‎∴f‎'‎‎(x)=-ax+a+1-x=‎‎-(x-a)(x-1)‎x，x＞0…（2分）‎ 令f′（x）＝0，则x1＝a，x2＝1‎ ‎①当0＜a＜1时，令f′（x）＞0，则a＜x＜1；‎ 令f′（x）＜0，则0＜x＜a，或x＞1，‎ ‎∴f（x）在（0，a），（1，+∞）单调递减；（a，1）单调递增； …‎ ‎②当a＝1时，f′（x）≤0，且仅在x＝1时，f′（x）＝0，‎ ‎∴f（x）在（0，+∞）单调递减； …‎ ‎③当a＞1时，令f′（x）＞0，则1＜x＜a；‎ 令f′（x）＜0，则 0＜x＜1，或x＞a，‎ ‎∴在（0，1 ），（a，+∞）单调递减；（1，a）单调递增．…‎ 综上所述，‎ 当0＜a＜1时，f（x）在（0，a），（1，+∞）单调递减；（a，1）单调递增；‎ 当a＝1时，f（x）在（0，+∞）单调递减；‎ 当a＞1时，f（x）在（0，1），（a，+∞）单调递减；（1，a）单调递增．…（6分）‎ ‎（2）∵‎f(x)=-alnx+(a+1)x-‎1‎‎2‎x‎2‎(a＞0)‎ 若f(x)≥-‎1‎‎2‎x‎2‎+ax+b恒成立，‎ ‎∴b≤﹣alnx+x恒成立 …（7分）‎ 令g（x）＝﹣alnx+x，x＞0，‎ 即b≤g（x）min…，‎ ‎∵g′（x）‎=1-ax=‎x-ax，（a＞0），‎ ‎∴g（x） 在（0，a）单调递减，（a，+∞） 单调递增；‎ g（x）min＝g（a）＝﹣alna+a…‎ ‎∴b≤﹣alna+a，a∈[‎1‎‎2‎，1]，‎ 令h（a）＝﹣alna+a ‎∴h′（a）＝﹣lna＞0，∴h（a）单调递增，‎ ‎∴h（a）min＝h（‎1‎‎2‎）‎=‎‎1‎‎2‎（1+ln2），‎ ‎∴‎b≤‎1‎‎2‎(1+ln2)‎ 即b的最大值为‎1‎‎2‎‎(1+ln2)⋯‎ 本题考查了函数的单调性、最值问题，考查导数的应用以及函数恒成立问题，考查分类讨论思想，是一道中档题．‎ ‎22．已知函数f(x)=exx-ax+lnx．‎ ‎（Ⅰ）a＝1时，求函数f（x）的极值；‎ ‎（Ⅱ）若a∈[1，e‎2‎‎4‎+‎1‎‎2‎]‎，求f（x）的最小值g（a）的取值范围．‎ ‎（Ⅰ）将a＝1代入，求导，可知在（0，1）上，f′（x）＜0，f（x）单调递减，在（1，+∞）上，f′（x）＞0，f（x）单调递增，由此得出极值；‎ ‎（Ⅱ）利用导数可知f（x）的最小值为g(a)=f(x‎0‎)=ex‎0‎x‎0‎-ax‎0‎+lnx‎0‎，而a=ex‎0‎‎(x‎0‎-1)‎x‎0‎‎2‎+‎‎1‎x‎0‎，代入g（a）得，g(a)=ex‎0‎‎(2-x‎0‎)‎x‎0‎-1+lnx‎0‎，x‎0‎∈[1，2]‎，构造函数φ(x)=ex‎(2-x)‎x-1+lnx，x∈[1，2]‎，利用导数求其取值范围即可．‎ ‎（Ⅰ）当a＝1时，f(x)=exx-x+lnx(x＞0)‎，则f'(x)=ex‎(x-1)‎x‎2‎-1+‎1‎x=x-1‎x‎2‎(ex-x)‎，‎ 令h（x）＝ex﹣x，当x∈（0，+∞）时，h′（x）＝ex﹣1＞0，‎ ‎∴在（0，+∞）上，h（x）＞h（0）＝1，即ex＞x，‎ 令f′（x）＝0，则x＝1，经检验，在（0，1）上，f′（x）＜0，f（x）单调递减，在（1，+∞）上，f ‎′（x）＞0，f（x）单调递增，‎ ‎∴当x＝1时，函数y＝f（x）取得极小值e﹣1，无极大值；‎ ‎（Ⅱ）f'(x)=ex‎(x-1)‎x‎2‎-a+‎1‎x(x＞0)‎，令p(x)=f'(x)=ex‎(x-1)‎x‎2‎-a+‎1‎x(x＞0)‎，则p'(x)=ex‎(x‎2‎-2x+2)-xx‎2‎(x＞0)‎，‎ 由（Ⅰ）知，当x∈（0，+∞）时，ex＞x，ex（x2﹣2x+2）﹣x＞x（x2﹣2x+2）﹣x＝x（x﹣1）2≥0，‎ ‎∴p′（x）＞0在（0，+∞）上恒成立，‎ ‎∴f′（x）在定义域上单调递增，‎ ‎∵a∈[1，e‎2‎‎4‎+‎1‎‎2‎]‎，‎ ‎∴f'(1)=-a+1≤0，f'(2)=e‎2‎‎4‎-a+‎1‎‎2‎≥0‎，‎ ‎∴方程f′（x）＝0在（0，+∞）上有唯一解，‎ 设方程f′（x）＝0的解为x0，则在（0，x0）上f′（x）＜0，在（x0，+∞）上f′（x）＞0，且1≤x0≤2，‎ ‎∴f（x）的最小值为g(a)=f(x‎0‎)=ex‎0‎x‎0‎-ax‎0‎+lnx‎0‎，‎ 由f′（x）＝0得，a=ex‎0‎‎(x‎0‎-1)‎x‎0‎‎2‎+‎‎1‎x‎0‎代入g（a）得，g(a)=ex‎0‎‎(2-x‎0‎)‎x‎0‎-1+lnx‎0‎，x‎0‎∈[1，2]‎，‎ 令φ(x)=ex‎(2-x)‎x-1+lnx，x∈[1，2]‎，则φ'(x)=‎ex‎(2x-x‎2‎-2)+xx‎2‎，‎ ‎∵﹣x2+2x﹣2＝﹣（x﹣1）2﹣1≤﹣1，‎ ‎∴ex（﹣x2+2x﹣2）+x≤x﹣ex＜0，‎ ‎∴φ（x）在[1，2]上为减函数，‎ ‎∴φ（x）∈[φ[2]，φ[1]]，‎ ‎∴g（a）∈[ln2﹣1，e﹣1]．‎ 本题考查利用导数研究函数的单调性，极值及最值，考查转化思想，消元思想，考查运算求解能力，属于较难题目．‎