【新教材】2020-2021学年高中人教A版数学必修第二册习题：9-2-3　总体集中趋势的估计　9-2

【新教材】2020-2021学年高中人教A版数学必修第二册习题：9-2-3　总体集中趋势的估计　9-2

‎9.2.3　总体集中趋势的估计　9.2.4　总体离散程度的估计 课后篇巩固提升 基础达标练 ‎1.贵阳地铁1号线12月28日开通运营,某趟车某时刻从下麦西站驶往贵阳北站的过程中,10个车站上车的人数统计如下:70,60,60,50,60,40,40,30,30,10,则这组数据的众数、中位数、平均数的和为(　　)‎ ‎　　　　　　　　　　　　　　　　‎ A.170 B.165‎ C.160 D.150‎ 解析数据70,60,60,50,60,40,40,30,30,10的众数是60,中位数是45,平均数是45,故众数、中位数、平均数的和为150,故选D.‎ 答案D ‎2.(多选题)保护环境就是保护人类健康.空气中负离子浓度(单位:个/cm3)可以作为衡量空气质量的一个指标,也对人的健康有一定的影响.根据我国部分省市区气象部门公布的数据,规定负离子浓度与空气质量对应标准如下表1.‎ 表1　负离子浓度与空气质量对应标准 负离子浓度 等级 和健康的关系 ‎≤600‎ ‎1级 不利 ‎600~900‎ ‎2级 正常 ‎900~1 200‎ ‎3级 较有利 ‎1 200~1 500‎ ‎4级 有利 ‎1 500~1 800‎ ‎5级 相当有利 ‎1 800~2 100‎ ‎6级 很有利 ‎≥2 100‎ ‎7级 极有利 图2　空气负离子浓度 某地连续10天监测了该地空气负离子浓度,并绘制了如图2所示的折线图.根据折线图,下列说法正确的是(　　)‎ A.这10天的空气负离子浓度总体越来越高 B.这10天中空气负离子浓度的中位数约1 070个/cm3‎ C.后5天的空气质量对身体健康的有利程度明显好于前5天 D.前5天空气质量波动程度小于后5天 解析对于A,从折线图来看,这10天的空气负离子浓度总体越来越高,故A正确;对于B,从折线图来看,这10天中空气负离子浓度的中位数应为第5天和第8天负离子浓度的平均数,约为1 070个/cm3,故B正确;对于C,后5天比前5天空气负离子浓度高,则后5天的空气质量对身体健康的有利程度明显好于前5天,故C正确;对于D,从折线图来看,前5天空气质量波动程度大于后5天,故D错误.‎ 答案ABC ‎3.一组样本数据的频率分布直方图如图所示,则依据图形中的数据,可以估计总体的平均数与中位数分别是(　　)‎ A.12.5,12.5 B.13.5,13‎ C.13.5,12.5 D.13,13‎ 解析根据频率分布直方图可以得到第一组的频率为0.2,第二组的频率为0.5,则第三组的频率为0.3,则平均数为7.5×0.2+12.5×0.5+17.5×0.3=13,由中位数的概念可以得到中位数在第二组区间[10,15)内,设为x,则0.2+(x-10)×0.1=0.5,解得x=13,故选D.‎ 答案D ‎4.某公司10位员工的月工资(单位:元)为x1,x2,…,x10,其平均数和方差分别为和s2,若从下月起每位员工的月工资增加100元,则这10位员工下月工资的平均数和方差分别为(　　)‎ A.,s2+1002 B.+100,s2+1002‎ C.,s2 D.+100,s2‎ 解析由题意知yi=xi+100,则(x1+x2+…+x10+100×10)=(x1+x2+…+x10)+100=+100,方差s2={[(x1+100)-(+100)]2+[(x2+100)-(+100)]2+…+[(x10+100)-(+100)]2}=[(x1-)2+(x2-)2+…+(x10-)2]=s2.故选D.‎ 答案D ‎5.如图是某市甲、乙两地五月上旬日平均气温的统计图(温度为整数),则甲、乙两地这十天的日平均气温和日平均气温的标准差s甲,s乙的大小关系应为(　　)‎ A.,s甲s乙 C.,s甲s乙 解析由折线统计图可得甲、乙两地五月上旬10天的日平均气温,从方差的统计意义是“各数据浮动的大小”可得乙的标准差比较小.则只需要计算均值即可.‎ ‎=26,‎ ‎=26.‎ 故选B.‎ 答案B ‎6.某次体检,6位同学的身高(单位:米)分别为1.72,1.78,1.75,1.80,1.69,1.77,则这组数据的中位数是　　　　　. ‎ 解析∵6位同学的身高(单位:米)分别为1.72,1.78,1.75,1.80,1.69,1.77,从小到大排列为1.69,1.72,1.75,1.77,1.78,1.80,位于中间的两个数值为1.75,1.77,∴这组数据的中位数是=1.76.‎ 答案1.76‎ ‎7.已知样本9,10,11,x,y的平均数是10,标准差为,则xy=　　　　　. ‎ 解析由平均数得9+10+11+x+y=50,‎ 所以x+y=20.又由(9-10)2+(10-10)2+(11-10)2+(x-10)2+(y-10)2=()2×5=10,得x2+y2-20(x+y)=-192,(x+y)2-2xy-20(x+y)=-192,所以xy=96.‎ 答案96‎ ‎8.抽样统计甲、乙两位射击运动员的5次训练成绩(单位:环),结果如下:‎ 运动员 第一次 第二次 第三次 第四次 第五次 甲 ‎87‎ ‎91‎ ‎90‎ ‎89‎ ‎93‎ 乙 ‎89‎ ‎90‎ ‎91‎ ‎88‎ ‎92‎ 则成绩较为稳定(方差较小)的那位运动员成绩的方差为　　　　　. ‎ 解析由图表中甲、乙两位射击运动员的训练成绩得 ‎=90,‎ ‎=90.‎ 方差=‎ ‎=4,‎ ‎=‎ ‎=2.‎ 所以乙运动员的成绩较稳定,且方差为2.‎ 答案2‎ ‎9.某校从参加高一年级期末考试的学生中抽出60名学生,将其成绩(单位:分,均为整数)分成六段[40,50),[50,60),…,[90,100]后画出如图所示的频率分布直方图.观察图形的信息,回答下列问题:‎ ‎(1)求第四小组的频率,并补全这个频率分布直方图;‎ ‎(2)估计这次考试的及格率(60分及以上为及格)、众数和中位数.‎ 解(1)因为各组的频率和等于1,故第四组的频率为1-(0.025+0.015×2+0.01+0.005)×10=0.3.‎ 补全频率分布直方图如图所示:‎ ‎(2)依题意,60及以上的分数所在的是第三、四、五、六组,频率和为(0.015+0.03+0.025+0.005)×10=0.75,所以抽样学生成绩的及格率是75%,众数为最高小长方形底边中点的横坐标,所以众数是75.‎ 由0.1+0.15+0.15=0.4,0.4+0.3=0.7,得中位数在[70,80)分内,设中位数为x,则(x-70)×0.03+0.4=0.5,解得x≈73.3,所以估计中位数是73.3.‎ 能力提升练 ‎1.(多选题)(2019湖南长沙一中高三月考)在某次高中学科竞赛中,4 000名考生的参赛成绩统计如图所示,60分以下视为不及格,若同一组中的数据用该组区间中点值为代表,则下列说法中正确的是(　　)‎ A.成绩在[70,80)内的考生人数最多 B.不及格的考生人数为1 000‎ C.考生竞赛成绩的平均分约为70.5分 D.考生竞赛成绩的中位数为75‎ 解析由频率分布直方图可得,成绩在[70,80)内的频率最高,因此考生人数最多,故A正确;由频率分布直方图可得,成绩在[40,60)内的频率为0.25,因此,不及格的人数为4 000×0.25=1 000,故B正确;由频率分布直方图可得,平均分为45×0.1+55×0.15+65×0.2+75×0.3+85×0.15+95×0.1=70.5(分),故C正 确;因为成绩在[40,70)内的频率为0.45,[70,80)内的频率为0.3,所以中位数为70+10×≈71.67,故D错误.‎ 答案ABC ‎2.(2020天津中学高三月考)如图是某学校的教研处根据调查结果绘制的本校学生每天放学后的自学时间情况的频率分布直方图.根据频率分布直方图,求出自学时间的中位数和众数的估计值(精确到0.01)分别是(　　)‎ A.2.20　2.25 B.2.29　2.20‎ C.2.29　2.25 D.2.25　2.25‎ 解析由频率分布直方图得,自学时间在[0.5,2)内的频率为(0.16+0.2+0.34)×0.5=0.35,自学时间在[2,2.5)内的频率为0.52×0.5=0.26,所以自学时间的中位数为2+×0.5≈2.29,众数为=2.25.故选C.‎ 答案C ‎3.样本(x1,x2,…,xn)的平均数为,样本(y1,y2,…,ym)的平均数为),若样本(x1,x2,…,xn,y1,y2,…,ym)的平均数为=a+(1-a),其中0m C.n=m D.不能确定 解析x1+x2+…+xn=n,y1+y2+…+ym=m,x1+x2+…+xn+y1+y2+…+ym=(m+n)=(m+n)[a+(1-a)]=(m+n)a+(m+n)(1-a),所以n+m=(m+n)a+(m+n)(1-a),‎ 所以 故n-m=(m+n)[a-(1-a)]=(m+n)(2a-1).‎ 因为00,∴=2.‎ 故数据x1+2,x2+2,x3+2,x4+2的平均数为'=(xi+2)=xi+2=+2=4.‎ 答案4‎ ‎5.某人5次上班途中所花的时间(单位:分钟)分别为x,y,10,11,9,已知这组数据的平均数为10,方差为2,则|x-y|的值为　　　　　. ‎ 解析根据题意知n=5,s2=2,=10.‎ 由方差的简易计算公式s2=,‎ 则有=5(s2+)=5×(2+102)=510,‎ 即x2+y2+102+112+92=510,所以x2+y2=208.‎ 又=10,即x+y=20.‎ 所以x2+y2=(x+y)2-2xy=208,解得2xy=192,‎ 所以|x-y|==4.‎ 答案4‎ 素养培优练 ‎　某校高一(1)、(2)班各有49名学生,两班学生在一次数学测试(满分100分)中的成绩(单位:分)统计如下表:‎ 班级 平均分 众数 中位数 标准差 高一(1)班 ‎79‎ ‎70‎ ‎87‎ ‎19.8‎ 高一(2)班 ‎79‎ ‎70‎ ‎79‎ ‎5.2‎ ‎(1)请你对下面的一段话给予简要分析:‎ 高一(1)班的小刚回家对妈妈说:“昨天的数学测试中,全班的平均分为79分,得70分的人最多,我得了85分,在班里算是上游了.”‎ ‎(2)请你根据表中的数据分析两班的测试情况,并提出教学建议.‎ 解(1)由高一(1)班成绩的中位数是87可知,85分排在25名以后,从名次上讲并不能说85分在班里是上游,但也不能从这次测试的名次上来判断学习的好坏.小刚得了85分,说明他对这阶段的学习内容掌握得较好,从掌握的学习内容上讲也算是上游.‎ ‎(2)高一(1)班成绩的中位数是87,说明高于87分的人数占一半左右,而平均分为79分,标准差又很大,说明低分者很多,两极分化严重,建议对学习差的学生给予帮助.‎ 高一(2)班成绩的中位数和平均数都是79,标准差较小,说明学生成绩之间的差别也较小,学习差的学生较少,但学习优秀的学生也很少,建议采取措施提高优秀学生的人数.‎