2017-2018学年天津市第一中学高二下学期期末考试数学理试题（word版）

2017-2018学年天津市第一中学高二下学期期末考试数学理试题（word版）

天津一中 2017-2018-2 高二年级数学学科期末质量调查试卷（理科）‎ 本试卷分为第 I 卷（选择题）、第 II 卷（非选择题）两部分，共 100 分，考试用时 ‎90 分钟。第 I 卷 至 页，第 II 卷 至 页。考生务必将答案涂写答题纸或答题卡的规定 位置上，答在试卷上的无效。‎ 祝各位考生考试顺利! 一．选择题：（每小题 3 分，共 30 分）‎ ìï ‎x æ ö ï ‎1．设集合 A = {x -1 < x < 2} ， B = í x 1 < ç 1 ÷ ‎< 1ý ，则 A I B = （ ）‎ ïî 8‎ ‎è 2 ø þï A． (0, 3) ‎B． (1, 3) ‎C． (0, 2) ‎D． (1, +¥) ‎2．命题“如果 x ³ a 2 + b2 ，那么 x ³ 2ab ”的逆否命题是（ ）‎ A．如果 ‎x < a 2 + b2‎ ‎，那么 ‎x < 2ab ‎B．如果 ‎x ³ 2ab ‎，那么 ‎x ³ a 2 - b2‎ C．如果 x < 2ab ，那么 x < a 2 + b2‎ ‎D．如果 x ³ a 2 - b2 ，那么 x < 2ab ‎3．位于坐标原点的一个质点 P 按下列规则移动：质点每次移动一个单位，移动的方向为 ‎1‎ 向上或向右，并且向上和向右移动的概率都为 是（ ）‎ ‎，质点 P 移动 5 次后位于（2，3）的概率 ‎2‎ ‎1 3‎ A． B．‎ ‎4 4‎ ‎5 7‎ C． D．‎ ‎16 16‎ ‎4．若 f ( x) 在 R 上可导, f ( x) = x 2 + ‎2 f ' (2) x + 3 , 则 f ¢(1) =（ ）‎ A． - 6‎ ‎B． ‎6 ‎C． 4 D． - 4‎ ‎5．设 6 2 6‎ ‎(2 - x)‎ ‎= a‎0 ‎+ a1 x + a2 x ‎+ L + a6 x ‎，则 | a1 | + | a2 | + × × × + | a6 | 的值是（ ）‎ A．665 B．‎729 ‎C．728 D．63‎ ‎6．如图，由曲线 y = x 2 - 1 ，直线 x = 0, x = 2 和 x 轴围成的封闭图 形的面积是（ ） A．1‎ ‎2‎ B．‎ ‎3‎ ‎4‎ C．‎ ‎3‎ D． 2‎ ‎7．若 f ( x) 是定义在 R 上的偶函数，当 x < 0 时， f ( x) + xf ' ( x) < 0 ，且 f (-4) = 0 ，则 不等式 xf ( x) > 0 的解集为（ ）‎ A．(－4,0)∪(4，＋∞) B．(－4,0)∪(0,4) C．(－∞，－4)∪(4，＋∞) D．(－∞，－4)∪(0,4)‎ ‎8．如图为我国数学家赵爽（约 3 世纪初）在为《周髀算经》作注时验证勾股 定理的示意图，现在提供 5 种颜色给其中 5 个小区域涂色，规定每个区域只 ‎ 涂一种颜色，相邻区域颜色不相同，则不同的涂色方案共有（ ）种. A．120 B．260‎ C．340 D．420 （8 题图）‎ ‎9. 已知函数 f ( x) = - x 3 - 7 x + sin x ，若 f (a 2 ) + f (a - 2) > 0 ，则实数 a 的取值范围是 ‎（ ）‎ A． B． C． D．‎ ìx 2 + x, (-2 £ x £ -1)‎ ‎10．已知函数 f ( x) = í îln(x + 2), (-1 < x £ 2)‎ ‎，若 g ( x) = ‎f ( x) - a( x + 2) 的图像与 x 轴 有 3 个不同的交点，则实数 a 的取值范围是（ ）‎ A． (0, 1 )‎ ‎B． (0, 1 )‎ ‎C． [ ln 2 , 1 )‎ ‎D． [ 2 ln 2 , 1 )‎ e - 1 3e ‎2 e 3 3e 二．填空题：（每小题 4 分，共 24 分）‎ ‎11．已知复数 z 满足 1 + i = 2i3 + 2i 4 ，其中 i 为虚数单位，则复数 z = ．‎ z ‎12．若函数 y = x 3 - 3 x ‎2 ‎+ a 在[－1,1]上有最大值 3，则该函数在[－1,1]上的最小值是 ‎2‎ ‎ ．‎ ìïlg x, x > 0 8‎ ‎13．设 f ( x) = í b ï x + ò ‎‎ t 2 dt, x £ 0‎ ‎，若 f ( f (1)) = ，则常数 b = ．‎ ‎3‎ î 0‎ ‎14． 已知函数 f ( x) = ax 2 + bx(a > 0, b > 0) 的图象在点 (1, f (1)) 处的切线的斜率为 2，‎ ‎8a‎ + b 则 的最小值为 ．‎ ab ‎15．已知函数 f ( x) = ‎ ．‎ ‎m x - 1‎ ‎+ ln x 在 [e, +¥) 上存在极值点，则实数 m 的取值范围为 ‎16．已知函数 f ( x) = ( x + 1)e x - 2 x - a, 若 f ( x) < 0 有且只有一个整数解，则 a 的取值范 围为 ．‎ 三、解答题：（共 4 题，共 46 分）‎ ‎17．一盒中装有 9 张各写有一个数字的卡片，其中 4 张卡片上的数字是１，3 张卡片上的 数字是 2,2 张卡片上的数字是 3,从盒中任取 3 张卡片。‎ ‎（1）求所取 3 张卡片上的数字完全相同的概率；‎ ‎（2）设 X 表示所取 3 张卡片上的数字的中位数，求 X 的分布列与数学期望。‎ ‎（注：若三个数 a, b, c 满足 a £ b £ c, 则称 b 为这三个数的中位数）‎ ‎18．‎2017 年 8 月 20 日起，市交警支队全面启动路口秩序环境综合治理，重点整治机动车 不礼让斑马线和行人的行为，经过一段时间的治理，从市交警队数据库中调取了 20 个路 口近三个月的车辆违章数据，经统计得如图所示的频率分布直方图，统计数据中凡违章车 次超过 30 次的设为“重点关注路口”.‎ ‎（1）现从“重点关注路口”中随机抽取两个路口安排交警去执勤，求抽出来的路口的违 章车次一个在，一个在中的概率；‎ ‎（2）现从支队派遣 5 位交警，每人选择一个路口执勤，每个路口至多 1 人，违章车次在 的路口必须有交警去，违章车次在的不需要交警过去，设去“重点关注路口”‎ 的交警人数为 X ，求 X 的分布列及数学期望.‎ ‎19．已知点 (2, 3) 在椭圆 x ‎2 y 2‎ + ‎‎ = 1(a > b > 0) 上，设 A ， B ， C 分别为椭圆的左顶点，‎ a2 b2‎ 上顶点，下顶点，且点 C 到直线 AB 的距离为 4 7 b .‎ ‎7‎ ‎（1）求椭圆的方程；‎ ‎（2）设 O 为坐标原点， M ( x1 , y1 ) ， N ( x2 , y2 )( x1 ¹ x2 ) 为椭圆上两点，且 uuuur uuur ‎a2 x x ‎+ b2 y y OM × ON = 是，说明理由.‎ ‎1 2 1 2 ，试问 DMON 的面积是否为定值，若是，求出定值；若不 a2 + b2‎ ‎1‎ ‎20．已知 f ( x) = ln x + + 1 ， g ( x) = x + x ‎1 ( x > 0) .‎ x ‎（1）求 f ( x) 的极值；‎ ‎（2） 函数 h( x) = ‎f ( x) - ag ( x) 有两个极值点 x1 ， x2 ( x1 < x2 ) ，若 h( x1 ) < m 恒成立，求 实数 m 的取值范围.‎ 参考答案 一．选择题：（每小题 3 分，共 30 分）‎ ‎1．C ‎2．C ‎3．C ‎4．A ‎5．A ‎6．D ‎7．D ‎8．D ‎9．A ‎10．C 二．填空题：（每小题 4 分，共 24 分）‎ i ‎11． 2‎ ‎16．‎1 < a £ 2‎ ‎1‎ ‎12． 2‎ ‎‎ ‎13．2 14．9 15．‎ ‎m ³ e + 1 - 2‎ e 三、解答题：（共 4 题，共 46 分）‎ ‎17．解：‎ ‎5‎ ‎（1）‎ ‎84‎ ‎（2）X 1 2 3‎ P EX = 47‎ ‎28‎ ‎17 43 1‎ ‎42 84 12‎ ‎18．解：‎ ‎（1）根据频率分布直方图，违章车次在的路口有， 在中的路口有， 设抽出来的路口违章车次一个在，一个在的事件为， 则．‎ ‎（2）由题知随机变量可取值 2，3，4，5，‎ ‎， ， ， ．‎ ‎．‎ ‎19．解：‎ x2 y 2‎ ‎（1）‎ ‎+ = 1‎ ‎16 12‎ ‎（2） x1 ¹ x2 知直线 MN 的斜率存在，‎ 设直线 MN 的方程为 y = kx + m(m ¹ 0) ，‎ x2 y 2‎ 代入 + = 1，并整理得 (3 + 4k 2 ) x2 + 8kmx + ‎4m2‎ - 48 = 0 .‎ ‎16 12‎ ‎∵ D= 64k ‎2 m2‎ -16(3 + 4k 2 )(m2 - 12) = 48(12 + 16k ‎2 - ‎m2 ) > 0 ，‎ ‎2‎ ‎∴12 + 16k ‎2 - m2 > 0 ，‎ x + x = - ‎‎‎8km ‎， x x = 4(m ‎- 12)‎ ‎，‎ ‎∴ 1 2‎ ‎3 + 4k 2‎ ‎1 2 3 + 4k 2‎ ‎2 2‎ ‎‎ ‎3m‎ 2 - 48k 2‎ ‎∴ y1 y2 = (kx‎1 + m)(kx‎2 + m) = k x1 x‎2 + ‎km( x1 + x2 ) + m = uuuur uuur 又 OM × ON = x1 x2 + y1 y2 ，‎ ‎.‎ ‎3 + 4k 2‎ a2 x x ‎+ b2 y y ‎16 x x ‎+ 12 y y ‎∴ x1 x2 + y1 y2 = ‎1 2 1 2 = a2 + b2‎ ‎1 2 1 2 ，‎ ‎16 + 12‎ 整理得 m2 = 6 + 8k 2 （满足 D> 0 ），‎ ‎∵ 2 2 2‎ MN = ‎1 + k ‎× x1 - x2 = ‎2 2‎ ‎1 + k × ‎( x1 + x2 )‎ ‎2‎ ‎- 4x1 x2‎ = 1 + k 2 × ‎48(‎2m - m )‎ æ m2 ö ‎= 8 3 ´ 1 + k .‎ m ç 2 ÷ è ø 又点 O 到直线 MN 的距离 d = ‎‎ m ‎，‎ ‎1 + k 2‎ ‎1 1 1 + k ‎2 ‎m ‎∴ S = ´ MN ´ d = ´ 8 3 ´ ´ = 4 3 ，‎ DMON 2‎ ‎‎2 ‎m 1 + k 2‎ ‎∴ DMON 的面积为定值 4 3 .‎ ‎20．解：‎ ‎（1）域为 (0, +¥) ， f '( x) = 1 - 1‎ ‎‎ = x - 1 ，‎ x x2 x2‎ 令 f '( x) = 0 ，得 x = 1 ，当 x Î (0,1) 时， f '( x) < 0 ， f ( x) 单调递减，当 x Î (1, +¥) 时，‎ f '( x) > 0 ， f ( x) 单调递增，‎ 所以 f ( x) 在 x = 1 处取得极小值，且极小值 f (1) = 2 ，无极大值.‎ ‎（2） h( x) = ‎f ( x) - ag ( x) = ln x + 1 + 1 - ax - a ，其定义域为 (0, +¥) ，‎ x x h '( x) = 1 - 1‎ ‎ a -ax 2 + x + a -1 ( x -1)(ax + a -1)‎ - a + = = - ，‎ 则 x x2 x2 x2 x2‎ 当 a = 0 时， h '( x) = 0 仅有一解 x = 1 ，不合题意.‎ 当 a ¹ 0 时，令 h '( x) = 0 得 x = 1 或 x = ‎1 - a .‎ a 由题意得，‎ ‎‎1 - a a ‎> 0 ，且 ‎‎1 - a a ‎¹ 1 ，所以 a Î (0, 1 ) U ( 1 ,1) ，‎ ‎2 2‎ 此时 h( x) 的两个极值点分别为 x = 1 ， x = ‎1 - a .‎ a ‎1‎ 当 a Î (0, ) 时，‎ ‎2‎ ‎‎1 - a a ‎> 1 ，所以 x = 1 ， x = ‎1 - a ，‎ ‎1 ‎2 ‎ a h( x1 ) = h(1) = 2 - ‎2a ，而 2 - ‎2a Î (1, 2) ，又 h( x1 ) < m 恒成立，则 m ³ 2 .‎ ‎1‎ 当 a Î ( ,1) 时，‎ ‎2‎ ‎‎1 - a a ‎< 1 ，所以 x = ‎1 - a ， x = 1 ，‎ ‎1 ‎‎ a 2‎ h( x ) = h ‎1 - a ) = ln ‎1 - a + ‎2a .‎ ‎1 ( a a ‎1 ‎- a ‎‎ -‎2a2 + ‎2a -1‎ ‎‎ ‎2(a - 1 )2 + 1‎ ‎2 2‎ 设 j (a) = ln a ‎+ ‎2a ，则 j '(a) = ‎‎ a(‎1 - a)‎ ‎= - < 0 ，‎ a(‎1 - a)‎ 所以 j (a) 在 ( 1 ,1) 上为减函数， j (a) < j ( 1 ) = 1 ，‎ ‎2 2‎ 所以 h( x1 ) < 1，‎ 又 h( x1 ) < m 恒成立，则 m ³ 1.‎ 综上所述，实数 m 的取值范围为 [2, +¥) .‎