2019届二轮复习第十一章第7节　离散型随机变量及其分布列学案（全国通用）

2019届二轮复习第十一章第7节　离散型随机变量及其分布列学案（全国通用）

第7节　离散型随机变量及其分布列 最新考纲　1.理解取有限个值的离散型随机变量及其分布列的概念，了解分布列对于刻画随机现象的重要性；2.理解超几何分布及其导出过程，并能进行简单应用.‎ 知 识 梳 理 ‎1.离散型随机变量 随着试验结果变化而变化的变量称为随机变量，所有取值可以一一列出的随机变量，称为离散型随机变量.‎ ‎2.离散型随机变量的分布列及性质 ‎(1)一般地，若离散型随机变量X可能取的不同值为x1，x2，…，xi，…，xn，X取每一个值xi(i＝1，2，…，n)的概率P(X＝xi)＝pi，则表 X x1‎ x2‎ ‎…‎ xi ‎…‎ xn P p1‎ p2‎ ‎…‎ pi ‎…‎ pn 称为离散型随机变量X的概率分布列.‎ ‎(2)离散型随机变量的分布列的性质：‎ ‎①pi≥0(i＝1，2，…，n)；②p1＋p2＋…＋pn＝1.‎ ‎3.常见离散型随机变量的分布列 ‎(1)两点分布：若随机变量X服从两点分布，其分布列为 X ‎0‎ ‎1‎ P ‎1－p p ‎，其中p＝P(X＝1)称为成功概率.‎ ‎(2)超几何分布：在含有M件次品的N件产品中，任取n件，其中恰有X件次品，则P(X＝k)＝，k＝0，1，2，…，m，其中m＝min{M，n}，且n≤N，M≤N，n，M，N∈N ，称随机变量X服从超几何分布.‎ X ‎0‎ ‎1‎ ‎…‎ m P ‎…‎ ‎[常用结论与微点提醒]‎ ‎1.求离散型随机变量的分布列，首先要根据具体情况确定X的取值情况，然后利用排列、组合与概率知识求出X取各个值的概率.‎ ‎2.要会根据分布列的两个性质来检验求得的分布列的正误.‎ ‎3.超几何分布是一种常见的离散型随机变量的概率分布模型，要会根据问题特征去判断随机变量是否服从超几何分布，然后利用相关公式进行计算.‎ 诊 断 自 测 ‎1.思考辨析(在括号内打“√”或“×”)‎ ‎(1)离散型随机变量的概率分布列中，各个概率之和可以小于1.(　　)‎ ‎(2)对于某个试验，离散型随机变量的取值可能有明确的意义，也可能不具有实际意义.(　　)‎ ‎(3)如果随机变量X的分布列由下表给出，‎ X ‎2‎ ‎5‎ P ‎0.3‎ ‎0.7‎ 则它服从两点分布.(　　)‎ ‎(4)一个盒中装有4个黑球、3个白球，从中任取一球，若是白球则取出来，若是黑球则放回盒中，直到把白球全部取出来，设取到黑球的次数为X，则X服从超几何分布.(　　)‎ 解析　对于(1)，离散型随机变量所有取值的并事件是必然事件，故各个概率之和等于1，故(1)不正确；对于(2)，因为离散型随机变量的所有结果都可用数值表示，其中每一个数值都有明确的实际的意义，故(2)不正确；对于(3)，X的取值不是0和1，故不是两点分布，(3)不正确；对于(4)，因为超几何分布是不放回抽样，所以试验中取到黑球的次数X不服从超几何分布，(4)不正确.‎ 答案　(1)×　(2)×　(3)×　(4)×‎ ‎2.袋中有3个白球、5个黑球，从中任取两个，可以作为随机变量的是(　　)‎ A.至少取到1个白球 B.至多取到1个白球 C.取到白球的个数 D.取到的球的个数 解析　选项A，B表述的都是随机事件，选项D是确定的值2，并不随机；选项C是随机变量，可能取值为0，1，2.‎ 答案　C ‎3.(选修2－3P49A4改编)设随机变量X的分布列如下：‎ X ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎4‎ ‎5‎ P p 则p为(　　)‎ A. B. C. D. 解析　由分布列的性质，＋＋＋＋p＝1，‎ ‎∴p＝1－＝.‎ 答案　C ‎4.一盒中有12个乒乓球，其中9个新的、3个旧的，从盒中任取3个球来用，用完后装回盒中，此时盒中旧球个数X是一个随机变量，则P(X＝4)的值为(　　)‎ A. B. C. D. 解析　{X＝4}表示从盒中取了2个旧球，1个新球，故P(X＝4)＝＝.‎ 答案　C ‎5.设某项试验的成功率是失败率的2倍，用随机变量X去描述1次试验的成功次数，则P(X＝0)＝ .‎ 解析　由已知得X的所有可能取值为0，1，‎ 且P(X＝1)＝2P(X＝0)，由P(X＝1)＋P(X＝0)＝1，‎ 得P(X＝0)＝.‎ 答案　 考点一　离散型随机变量分布列的性质 ‎【例1】 设离散型随机变量X的分布列为 X ‎0‎ ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎4‎ P ‎0.2‎ ‎0.1‎ ‎0.1‎ ‎0.3‎ m ‎(1)求η＝|X－1|的分布列；‎ ‎(2)求P(1<2X＋1<9).‎ 解　(1)易知0.2＋0.1＋0.1＋0.3＋m＝1，∴m＝0.3.‎ 由X的分布列可知η＝|X－1|的取值为0，1，2，3，‎ P(η＝0)＝P(X＝1)＝0.1，‎ P(η＝1)＝P(X＝0)＋P(X＝2)＝0.2＋0.1＝0.3，‎ P(η＝2)＝P(X＝3)＝0.3，‎ P(η＝3)＝P(X＝4)＝0.3，‎ 所以η＝|X－1|的分布列为 η ‎0‎ ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ P ‎0.1‎ ‎0.3‎ ‎0.3‎ ‎0.3‎ ‎(2)由1<2X＋1<9，解得0

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