2020高中数学 专题强化训练3 导数及其应用 新人教A版选修1-1

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文档介绍

2020高中数学 专题强化训练3 导数及其应用 新人教A版选修1-1

专题强化训练(三) 导数及其应用 ‎(建议用时:45分钟)‎ ‎[基础达标练]‎ ‎1.一物体作直线运动,位移s(单位:m)与时间t(单位:s)之间的函数关系为s(t)=-2t2+8t,则这一物体在t=1 s时的加速度为 (  )‎ A.‎4 m/s2      B.-‎4 m/s2‎ C.‎6 m/s2 D.-‎6 m/s2‎ B [由导数的概念可求得速度v(单位:m/s)与时间t(单位:s)的函数关系为v(t)=-4t+8,它在t=1时的导数就是这一物体在t=1时的加速度a,所以a=v′(1),又v′(t)=-4,所以a=-4.]‎ ‎2.函数f(x)=x3+ax2+bx+c,其中a,b,c为实数,当a2-3b<0时,f(x)在R上 (  )‎ A.是增函数 B.是减函数 C.是常函数 D.既不是增函数也不是减函数 A [f′(x)=3x2+2ax+b,方程3x2+2ax+b=0的判别式Δ=(‎2a)2-4×3b=4(a2-3b).因为a2-3b<0,所以Δ=4(a2-3b)<0,所以f′(x)在R上恒大于0,故f(x)在R上是增函数.]‎ ‎3.函数f(x)=x2-ln x的极值点为(  )‎ ‎ 【导学号:97792176】‎ A.0,1,-1 B. C.- D.,- B [f(x)的定义域为(0,+∞),f′(x)=3x-=.‎ 令f′(x)=0得x=或x=-(舍去),‎ 当x>时,f′(x)>0,当00时,令g(x)=mx+m-1,‎ 只需g(0)≥0,得m≥1.‎ 即实数m的取值范围为[1,+∞).‎ 三、解答题 ‎9.已知函数g(x)=1-.‎ ‎(1)求g(x)的单调区间;‎ ‎(2)当0,得x>1;‎ 令g′(x)<0,得0g(y),‎ 即1->1-,‎ 所以<,即<.‎ ‎10.如图33,有一块半椭圆形钢板,其长半轴长为2r,短半轴长为r(r>0),计划将此钢板切割成等腰梯形的形状,下底AB是半椭圆的短轴,上底CD的端点在椭圆上,设CD 6‎ ‎=2x,梯形面积为S.‎ 图33‎ ‎(1)求面积S以x为自变量的函数关系式,并写出其定义域;‎ ‎(2)求面积S的最大值.‎ ‎[解] (1)依题意,设AB的中点为O,以O为原点建立平面直角坐标系xOy,如图所示,‎ 设C的坐标为(x,y),则x,y满足方程+=1(y>0),‎ 解得y=2(00;当0),x∈[1,4],f(x)的最大值为3,最小值为-6,则a+b=(  )‎ A.     B.      C.     D. C [f′(x)=4ax3-12ax2.令f′(x)=0,得x=3或x=0(舍去).当1≤x<3时,f′(x)<0,当30,故x=3为极小值点,也是最小值点.∵f(3)=b-‎27a,f(1)=b-‎3a,f(4)=b,∴f(x)的最小值为f(3)=b-‎27a,最大值为f(4)=b,∴,解得,∴a+b=.]‎ ‎3.函数y=xex在其极值点处的切线方程为__________.‎ y=- [由题知y′=ex+xex,令y′=0,解得x=-1,代入函数解析式可得极值点的坐标为,又极值点处的切线为平行于x轴的直线,故方程为y=-.]‎ ‎4.若函数f(x)=2x2-ln x在定义域内的一个子区间(k-1,k+1)上不是单调函数,则实数k的取值范围是__________.‎  [由题意可知函数f(x)的定义域为(0,+∞),f′(x)=4x-=.由f′(x)>0,得函数f(x)的单调增区间为;由f′(x)<0,得函数f(x)的单调减区间为.由于函数f(x)在区间(k-1,k+1)上不是单调函数,所以k-1<0).‎ ‎(1)若曲线y=f(x)在点A(2,f(2))处的切线斜率为2,求实数a的值;‎ ‎(2)当x>0时,求证:f(x)≥a;‎ ‎(3)若在区间(1,e)上,>1恒成立,求实数a的取值范围. ‎ ‎【导学号:97792178】‎ ‎[解] (1)∵f′(x)=,∴f′(2)==2,∴a=4.‎ ‎(2)证明:令g(x)=f(x)-a,则g(x)=aln x-1+,‎ g′(x)=a.‎ 令g′(x)>0,即a>0,解得x>1,‎ 令g′(x)<0,即a<0,解得x<1,又x>0,∴00,解得xa.‎ 当a≥e时,h(x)在(1,e)上是增函数,∴h(x)>h(1)=0;‎ 当1
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