2020高中数学 专题强化训练3 导数及其应用 新人教A版选修1-1
专题强化训练(三) 导数及其应用
(建议用时:45分钟)
[基础达标练]
1.一物体作直线运动,位移s(单位:m)与时间t(单位:s)之间的函数关系为s(t)=-2t2+8t,则这一物体在t=1 s时的加速度为 ( )
A.4 m/s2 B.-4 m/s2
C.6 m/s2 D.-6 m/s2
B [由导数的概念可求得速度v(单位:m/s)与时间t(单位:s)的函数关系为v(t)=-4t+8,它在t=1时的导数就是这一物体在t=1时的加速度a,所以a=v′(1),又v′(t)=-4,所以a=-4.]
2.函数f(x)=x3+ax2+bx+c,其中a,b,c为实数,当a2-3b<0时,f(x)在R上 ( )
A.是增函数 B.是减函数
C.是常函数 D.既不是增函数也不是减函数
A [f′(x)=3x2+2ax+b,方程3x2+2ax+b=0的判别式Δ=(2a)2-4×3b=4(a2-3b).因为a2-3b<0,所以Δ=4(a2-3b)<0,所以f′(x)在R上恒大于0,故f(x)在R上是增函数.]
3.函数f(x)=x2-ln x的极值点为( )
【导学号:97792176】
A.0,1,-1 B.
C.- D.,-
B [f(x)的定义域为(0,+∞),f′(x)=3x-=.
令f′(x)=0得x=或x=-(舍去),
当x>时,f′(x)>0,当0
0时,令g(x)=mx+m-1,
只需g(0)≥0,得m≥1.
即实数m的取值范围为[1,+∞).
三、解答题
9.已知函数g(x)=1-.
(1)求g(x)的单调区间;
(2)当0,得x>1;
令g′(x)<0,得0g(y),
即1->1-,
所以<,即<.
10.如图33,有一块半椭圆形钢板,其长半轴长为2r,短半轴长为r(r>0),计划将此钢板切割成等腰梯形的形状,下底AB是半椭圆的短轴,上底CD的端点在椭圆上,设CD
6
=2x,梯形面积为S.
图33
(1)求面积S以x为自变量的函数关系式,并写出其定义域;
(2)求面积S的最大值.
[解] (1)依题意,设AB的中点为O,以O为原点建立平面直角坐标系xOy,如图所示,
设C的坐标为(x,y),则x,y满足方程+=1(y>0),
解得y=2(00;当0),x∈[1,4],f(x)的最大值为3,最小值为-6,则a+b=( )
A. B. C. D.
C [f′(x)=4ax3-12ax2.令f′(x)=0,得x=3或x=0(舍去).当1≤x<3时,f′(x)<0,当30,故x=3为极小值点,也是最小值点.∵f(3)=b-27a,f(1)=b-3a,f(4)=b,∴f(x)的最小值为f(3)=b-27a,最大值为f(4)=b,∴,解得,∴a+b=.]
3.函数y=xex在其极值点处的切线方程为__________.
y=- [由题知y′=ex+xex,令y′=0,解得x=-1,代入函数解析式可得极值点的坐标为,又极值点处的切线为平行于x轴的直线,故方程为y=-.]
4.若函数f(x)=2x2-ln x在定义域内的一个子区间(k-1,k+1)上不是单调函数,则实数k的取值范围是__________.
[由题意可知函数f(x)的定义域为(0,+∞),f′(x)=4x-=.由f′(x)>0,得函数f(x)的单调增区间为;由f′(x)<0,得函数f(x)的单调减区间为.由于函数f(x)在区间(k-1,k+1)上不是单调函数,所以k-1<0).
(1)若曲线y=f(x)在点A(2,f(2))处的切线斜率为2,求实数a的值;
(2)当x>0时,求证:f(x)≥a;
(3)若在区间(1,e)上,>1恒成立,求实数a的取值范围.
【导学号:97792178】
[解] (1)∵f′(x)=,∴f′(2)==2,∴a=4.
(2)证明:令g(x)=f(x)-a,则g(x)=aln x-1+,
g′(x)=a.
令g′(x)>0,即a>0,解得x>1,
令g′(x)<0,即a<0,解得x<1,又x>0,∴00,解得xa.
当a≥e时,h(x)在(1,e)上是增函数,∴h(x)>h(1)=0;
当1
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