江西省南昌市10所省重点中学命制2013届高三第二次模拟突破冲刺数学（文）试题（七）

江西省南昌市10所省重点中学命制2013届高三第二次模拟突破冲刺数学（文）试题（七）

南昌市10所省重点中学命制2013届高三第二次模拟突破冲刺（七）‎ 数学（文）试题 本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分．第Ⅰ卷1至2页，第Ⅱ卷3至4页．满分150分，考试时间120分钟．‎ 第Ⅰ卷 一.选择题(本大题10个小题,每小题5分,共50分.在每小题给出的四个选项中,只有一项符合要求)‎ ‎1．已知复数，则的虚部为( ) ‎ A.2 B. C. D. ‎ ‎2．设为非空集合,定义集合A*B为如图阴影部分表示的集合，‎ 若则A*B=( )‎ A．（0，2） B． C．（1,2] D．‎ ‎3．已知，则的值为( )‎ A． B． C．1 D．2‎ ‎4．若，且，则( )‎ ‎ A． B． C． D．‎ ‎5．观察下列各式：，，，…．若，则( )‎ A.43 B．‎57 ‎ C．73 D．91‎ ‎6．一次考试某简答题满分5分，以分为给分区间．这次考试有人 ‎ 参加，该题没有得零分的人，所有人的得分按分 组所得的频率分布直方图如图所示．设其众数、中位数、平均分最大的可 能值分别为，则( )‎ ‎ A. 　B. ‎ ‎ C. 　　　D. ‎ ‎7. 给定下列命题 ‎①过点且与圆相切的直线方程为.‎ ‎②在△中，，，，在上任取一点，使△为钝角三角形的概率为 ‎③是不等式成立的一个充分不必要条件.‎ ‎④“存在实数使”的否定是“存在实数使”.‎ 其中真命题的个数为( )‎ A.1 B.2 C.3 D.4‎ A．　 B．　 C．　 D．‎ ‎9.已知椭圆上一点关于原点的对称点为为其右焦点，若，设，且，则该椭圆离心率的取值范围为( )‎ A． B． C． D．‎ 第Ⅱ卷 二.填空题(本大题5个小题,每小题5分,共25分,把答案填在题中横线上)‎ ‎11. 不等式的解集为　　　　． ‎ ‎12. 已知两个单位向量的夹角为，若向量，= . ‎ ‎13. 曲线在处的切线方程为 ． ‎ ‎14. 已知等差数列的前项和为,、是方程的两根,且,则数列的公差为.‎ ‎15. 执行如下图所示的程序框图，若输出的结果是8，则判断框内的取值范围是 ‎ ‎ ‎ 三.解答题(本大题6个小题,共75分,解答题应写出文字说明、证明过程或演算步骤)‎ ‎16. (本小题满分12分) 已知函数（其中，，）的最大值为2，最小正周期为.‎ ‎（1）求函数的解析式；‎ ‎（2）若函数图象上的两点的横坐标依次为，为坐标原点，求的值.‎ ‎17. (本小题满分12分) 已知是单调递增的等差数列，首项，前项和为，数列是等比数列，首项 ‎ （1）求和的通项公式.‎ ‎ （2）设，数列的前项和为，求证：． ‎ ‎18. (本小题满分12分) 已知集合,,.从集合中各取一个元素分别记为，设方程为．‎ ‎（1）求方程表示焦点在轴上的双曲线的概率.‎ ‎（2）求方程不表示椭圆也不表示双曲线的概率．‎ ‎19. (本小题满分12分) 如图,正三棱柱中,侧面是边长为2的正方形,是的中点,在棱上.‎ ‎(1)当时,求三棱锥的体积.‎ ‎(2)当点使得最小时,判断直线与是否垂直,并证明结论.‎ ‎20. (本小题满分13分) 已知椭圆的中心在坐标原点，两个焦点分别为，，点在椭圆 上，过点的直线与抛物线交于两点，抛物线在点处的切线分别为，且与交于点.‎ ‎(1) 求椭圆的方程；‎ ‎(2) 是否存在满足的点? 若存在，指出这样的点有几个（不必求出点的坐标）; 若不存在，说明理由.‎ ‎21. (本小题满分14分) 已知函数．（1）求函数的单调区间；‎ ‎（2）设函数.若至少存在一个，使得成立，求实数的取值范围．‎ ‎2013届高三模拟试卷（07）数学(文)参考答案 ‎ ‎ ‎， ∴. ‎ ‎∴. ‎ ‎∴.‎ 解法2：∵， ， ‎ ‎∴.∴. ‎ ‎∴. ‎ 解法3: ∵，‎ ‎，‎ ‎∴. 作轴, 轴,垂足分别为,‎ ‎∴,. ‎ 设,则.‎ ‎∴.‎ ‎17. (本小题满分12分) ‎ ‎ 解：(1)设公差为，公比为，则 ‎ ‎ ‎,，‎ ‎ 是单调递增的等差数列，.‎ 则,,‎ ‎（2）∵， ‎ ‎∴‎ ‎ . ‎ ‎18. (本小题满分12分) ‎ 解：、所有可能的取法有：，，，，共27种，‎ ‎ （1）其中表示焦点在x轴上的双曲线的有：‎ 共6种，故方程 表示焦点在轴的上双曲线的概率为：；‎ ‎ （2）其中不表示椭圆也不表示双曲线的有：‎ ‎ 共11种，故方程不表示椭圆也不表示双曲线的概率为：‎ ‎19. (本小题满分12分)‎ 解：(1)因为侧面是边长为2的正方形，‎ 又 ‎(2)解法1：将侧面展开到侧面得到矩形,连结,交于点,此时点使得最小.此时平行且等于的一半,为的中点.连接 在中，得 在中，得 在等腰中，得 所以由，，得有勾股定理知 解法2：将侧面展开到侧面得到矩形,连结,交于点,此时点使得最小.此时平行且等于的一半,为的中点.过点作交于,连接，由且知四边形为所以.在正三棱柱中知面,而，所以面.‎ ‎20. (本小题满分13分)‎ (1) 解法1：设椭圆的方程为,依题意: ‎ 解得: ∴ 椭圆的方程为. ‎ 解法2：设椭圆的方程为，根据椭圆的定义得，即， ∵， ∴. ∴ 椭圆的方程为. ‎ ‎(2) 解法1：显然直线的斜率存在，设直线的方程为，‎ ‎ 由消去，得. ‎ 设,则. ‎ 由,即得. ‎ ‎∴抛物线在点处的切线的方程为，即.‎ ‎∵， ∴. ‎ 同理,得抛物线在点处的切线的方程为. ‎ ‎ 由解得 ‎ ‎∴. ∵,‎ ‎∴点在椭圆上. ∴.‎ 化简得.(*) 由, ‎ 可得方程(*)有两个不等的实数根. ∴满足条件的点有两个. ‎ 解法2：设点,，，由,即得. ‎ ‎∴抛物线在点处的切线的方程为，‎ 即.∵， ∴ .‎ ‎∵点在切线上, ∴. ① ‎ ‎ 同理， . ② 综合①、②得，点的坐标都满足方程.∵经过的直线是唯一的，∴直线的方程为， ‎ ‎∵点在直线上， ∴. ∴点的轨迹方程为. ‎ 若 ，则点在椭圆上，又在直线上，∵直线经过椭圆内一点,∴直线与椭圆交于两点. ‎ ‎∴满足条件 的点有两个. ‎ 解法3：设点,，则，，‎ ‎∵三点共线, . ‎ 化简得：. ① 由,即得. ‎ ‎∴抛物线在点处的切线的方程为，即. ②‎ 同理，抛物线在点处的切线的方程为 . ③ ‎ 设点，由②③得：，而，则 . ‎ 代入②得 ， 则，代入 ① 得 ，‎ 即点的轨迹方程为.若 ，则点在椭圆上，而点又在直线上，∵直线经过椭圆内一点,‎ ‎∴直线与椭圆交于两点. ∴满足条件 的点有两个. ‎ ‎21. (本小题满分14分) 解：（1）函数的定义域为，．设 ， ‎ ‎①当时，，在上恒成立，则在上恒成立，此时在上单调递减． ‎ ‎②当时，（I）由得.‎ ‎ 当时，恒成立，‎ 在上单调递增． 当时，‎ 恒成立，在上单调递减．‎ ‎（II）由得或；.当时，开口向下，在上恒成立，则在上恒成立，此时在上单调递减．‎ 当，开口向上，在上恒成立，则在上恒成立，‎ 此时 在上单调递增． ‎ ‎（III）由得 若，开口向上，，且，，都在上. 由，即，得或； ‎ 由，即，得．‎ 所以函数的单调递增区间为和，‎ 单调递减区间为． ‎ 当时，抛物线开口向下，在 恒成立，即在（0，+恒成立，所以在单调递减 综上所述：‎ 递减 递增 递减 递增 递增 其中 ‎ ‎（2）因为存在一个使得，‎ 则，等价于.令，等价于“当 时，”.‎ 对求导，得. 因为，由，所以在上单调递增，在上单调递减. ‎ 由于，所以，因此. ‎